同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)課后習(xí)題解析

書(shū)后部分習(xí)題解答

P21頁(yè)

,、，.\+a+a~+???+a

3.(3)hm------------------(M<1,河<1)

X*l+b+b~+---+b"

知識(shí)點(diǎn)：1)等比級(jí)數(shù)求和a+aq+aq2+...+a/-i=型二^2。(共n項(xiàng))

"q

2)用P14例4的結(jié)論：當(dāng)<1時(shí)，limq"=O

1100

1c，1+l

1—a

..\+a+a~----1-a"i—a1—b

解：hm--------；---------=lim\=-----

l+b+b~+---+b"\-h\-a

\-b

5.(1)判斷下列數(shù)列是否收斂，若收斂，則求出極限：

設(shè)a為正常數(shù)，x0>0,x“+|=-(x?+—)

2

證：由題意，x?>0,x?+l=-(x?+—)>--2x?--=y/^(數(shù)列有下界)

2X”2\x?

2

又X"+I-X"='1(X"+幺)一X"=na—~X"W°(因x“+|之&)(數(shù)列單調(diào)減少)

2%2x?

由單調(diào)有界定理，此數(shù)列收斂；記limx〃=b,對(duì)七出=’(%+4)兩邊取極限，得

“T82X,,

b=-{b+^-),解得b=&i(負(fù)的舍去)，故此數(shù)列的極限為JZ.

2h

=/、川舊.x"”—(n+l)x+”..[1+(%-l)],,+l—(n+1)%+n

P35頁(yè)4.(8)極限hm-------——:-----=hm-~~-——-----——-----

5(x-1)2—(x-1)2

(若以后學(xué)了洛必達(dá)法則(Q型未定型)，則lim*""一("+?x+〉

0—(1)2

1.(〃+l))xw—(〃+1)[.(〃+l)nxn~]n(n+1)、

=lim=lim-----------=--------)

xf2(x-l)I22

書(shū)后部分習(xí)題解答2

P36頁(yè)

1

8.已知當(dāng)元一>0時(shí)，(1+。％2)3一]?COSX-1,求常數(shù)。?

知識(shí)點(diǎn)：1)等價(jià)無(wú)窮小的概念；

2）熟記常用的等價(jià)無(wú)窮小，求極限時(shí)可用等價(jià)無(wú)窮小的替換定理。

!12

應(yīng)…21.(1+。/)3-12aX2ale3

解：由題意：lim-----------=lim—~~—=----=1得a=——

3cosx-1K%232

.（1+cix^）3—11+cix^—12a

或lim-----------=lim--------------；------------；----=----=］

1。cosx-1\13

-y［（1+ax2）3+（l+af）3+i］

（根式有理化）

P42頁(yè)3（4）

關(guān)于間斷點(diǎn)：f（x）=-sin一

xx

x=（）為第二類(lèi)間斷點(diǎn)

說(shuō)明：lim'sin,不存在（在xf0的過(guò)程中，函數(shù)值不穩(wěn)定，不趨向與8）

Xf0XX

P43頁(yè)7（1）證明方程2*—4犬=0在（0,L）內(nèi)必有一實(shí)根。

2

知識(shí)點(diǎn)：閉區(qū)間（一定要閉）上連續(xù)函數(shù)的根的存在定理

證明：設(shè)/（x）=2*—4x,易知，/（x）在［0,；］上連續(xù)；（注:設(shè)函數(shù)，閉區(qū)間）

/（0）=1>0,/（l）=V2-2<0,

故由根的存在定理，至少在（0,；）內(nèi)存在一點(diǎn)使/（g）=o,

即方程2*-4x=0在（0,；）內(nèi)必有一實(shí)根.

P61頁(yè)

3.設(shè)了‘（/）存在，求:

⑴iim/(^o)-/Uo-Ar)⑵Vimf(xo+h)-f(xo-h)

AxfoAr/?->oh

⑶lim/Uo+3O-/(xo)

/->0t

分析：因f\xa）存在，則極限lim/（/+?）―/」o）的值為尸（與）o

把（1）（2）（3）化為相應(yīng)可用極限的形式

lim/—,)

解:(1)=Hm=/u)

-Ax-(—Ax)

所/…=］而"％+力)一小。)一/"一")+"%)

20h20h

lim/(^o+3?)-/(xo)二愿『—.3=3/5)

/->0t

x,x<0

8.用導(dǎo)數(shù)的定義求/0)=<在元=0處的導(dǎo)數(shù).(可參看P51例1-2)

ln(14-x),x>0

.,/、「/(x+Ax)—f(x)

知識(shí)點(diǎn)：1)導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)％處的定義：/'(%)=hm土口0-----八儲(chǔ)0;

-TOZLr

2)點(diǎn)/處的左右導(dǎo)數(shù)的定義與記號(hào)：

左導(dǎo)數(shù)1(X。)=lim/(/+.)-/(/)

-—Ax

右導(dǎo)數(shù)/：(/)=lim/(/+?)T(Xo)

八°AD+

3)分段函數(shù)在分界點(diǎn)(具體的點(diǎn))處的導(dǎo)數(shù)必須用導(dǎo)數(shù)的定義或左右導(dǎo)數(shù)的定義做■

解：因/(O)=0(先寫(xiě)出x=0處的函數(shù)值)

又尸(。)=]而當(dāng)*9=的生於=1

AX->O_AxAi。-AX

(在x=O處的左導(dǎo)數(shù)定義)

(在x=()處的右導(dǎo)數(shù)定義)

而￡(0)=力(0)故/''(0)=1

/XW]

10.設(shè)函數(shù)/(x)=〈'一，為了使函數(shù)在X=1處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？

ax+h,x>1

題型：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性與導(dǎo)數(shù)的求法。

解：由題意，函數(shù)在％=1處連續(xù)，則/(I-0)=/(1+0)=/(1)=1,即

/(I+0)=lim/(x)=lim(or+/?)=〃+/?,得a+/?=l

xfi-x-^r

又函數(shù)在X=1處可導(dǎo)，則￡(1)=力(1)

而/，⑴=Hm加+-)=lim"紅二1=2

AXAr->0-AX

工,.，(1+Ax)—f(1).Q[\+Ax)+h—1.

f+(1)=hm---------------=hm----------------=a(用到了〃+/?=1)

右->0-AxArT(rAx

故。=2,Z?=-1

書(shū)后部分習(xí)題解答3（關(guān)于隱函數(shù)求導(dǎo)）

P62頁(yè)

14.設(shè)e取一/+,3=0,求今

分析：1）隱函數(shù)求導(dǎo)；2）由x=（）代入方程要求出y的值。

解：方程兩邊對(duì)X求導(dǎo):

”5步2皿備。得:務(wù)委與

又由x=0代入方程，得y=—l,所以:

2

20.已知孫-sinQ^2)=o,求dy\

dx1(0,-1)'

要點(diǎn)：求隱函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的方法。

解：方程兩邊對(duì)X求導(dǎo)：

(1?y+x?—)-cos(豉2)?2沖?—=0(1)

dxdx

把X=0,y=—1代入式(1),1

（。一）=、

(或由式(1)解得：少=-------J——

(2)

dx2nycos(^y_)-x

再把點(diǎn)代入得白1。i）=一￡）

（求隱函數(shù)二階求導(dǎo)的方法）

方法1：式（1）兩邊對(duì)X求導(dǎo)，（記生=y',=

axdx~

把x=°，y=f如。:代入，得碧,。f=-專(zhuān)

(代入：一一?-----+0+0-(-1)-2^(---)2-1-(-1)-2^-(-1)-/=0)

27r27r27r

方法2：式(2)對(duì)x求導(dǎo)：

d2y_y'[2^ycos(^2)-x]-y\27ty'cos(^y2)-2^rysin(^y2)-l^ryy'-1]

dx1[2zrycos(^f2)-x]2

點(diǎn)、一階導(dǎo)數(shù)直接代入（不用化簡(jiǎn)，注意式中有。處的值）即可.

P62頁(yè)15題.利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)

說(shuō)明：1）一定要用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)；2）取對(duì)數(shù)后，先化簡(jiǎn).

解：取對(duì)數(shù)：lny=21nx+g［ln(l—x)—ln(l+x)］(化簡(jiǎn))

兩邊對(duì)x求導(dǎo)：=2-+-(-----—)

yx21-x1+x

所以：y'-x2(--12)()'代入)

V1+xx1-x

書(shū)后部分習(xí)題解答4(關(guān)于中值定理與未定式極限)

P82頁(yè)

1.檢驗(yàn)羅爾定理對(duì)函數(shù)/(x)=(x-l)(x—2)(x-3)是否成立？

分析：1)即檢驗(yàn)是否符合羅爾定理的條件；

2)若符合，《是否存在？

解：易知/(x)=(x-l)(x—2)(x-3)在上連續(xù)，(1,2),(2,3)內(nèi)可導(dǎo)，且

/(1)=/(2)=/(3)=0,故符合羅爾定理的條件。

,V3

又由/'(X)=3X2—12X+11=0,得”2土片,故有/'?)=0&e(l,2)

/(與)=0胃2e(2,3),符合羅爾定理的結(jié)論.

故羅爾定理對(duì)函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)成立。

4.(3)證：|arctana—arctan&|<|a—ZJ|

證：設(shè)/(x)=arctanx,當(dāng)a=6時(shí)，等式成立；

若a<b,則易知/(x)=arctaiu在［a,加上連續(xù)，在(a,份內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日定理

1

存在火(a在),使f(b)-f(a)=-a)=(b—a)

1+片

取絕對(duì)值，=—二S-a)<\b-a\

1+11?

同理a>b,可證arctaiYZ-arctan&|<|^-Z?|

綜合：有卜1日@112-01'戊@閉<|。一4

6.設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［1,2］上可微，證明：/(2)—/(1)=號(hào)。，其中1<J<2.

提示：對(duì)/(x),g(x)=/用柯西中值定理.

其中層.

8.證明:3arccosx-arccos0x-4x3)=71,|x

題型：證明函數(shù)為常數(shù);

用到的知識(shí)：書(shū)78頁(yè)定理3.4(3)的結(jié)論，若/'(X)三0,貝ij/(x)三C.(C=/(x。))

證明：設(shè)/(x)=3arccosi^-arccosGx-")，貝!)

/'(X)=3(—.)+,?/(3-12x2),

Jl-/yjl-(3x-4x3y

整理，當(dāng)卜|<；，尸(幻=0,故/(幻三C,又/(0)=3?5一]=》

3

所以：3arccosx-arccos0x-4x)=TI當(dāng)

P89頁(yè)(用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可以適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、整理等，目的簡(jiǎn)化計(jì)算)

tanx

2(3)lim

XT三tan3x

2

s「tanx「sinxcos3x「lcos3x

解：lim-------=lim--------------=lim-------------

_>￡tan3xXT三sin3xcosx(-1)?cosx

x222

7t

(用到連續(xù)性與極限的運(yùn)算，相當(dāng)于X=不代入)

2

“、「Insin/nr.八、

(5)lim----------(m>0)

x->o+Insinx

cos/nx

i.---------m

解：Hm皿也竺=1而迎J

x->o+Insinxcosx

sinx

(整理，等價(jià)無(wú)窮小的代換)

3.(2)lim(cotx--)(函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限)

10X

51、vxcosx-sinx..xcosx-sinx/巾十"/人十大?山小花、

解：lim(cotx一一)=lim-------；--------=lim---------z-------(用了等價(jià)無(wú)窮小的代換)

x-oxx->oxsinxx

4.(3)limtlnC-)]"(募指函數(shù)的極限)

XT0+X

1limAln[ln(—)]

解：lim[ln(-)]A=et->o+

XTO+x

先求limxln[ln4)]=lim"產(chǎn)=-叫x=ii(—_=o

++lim4m

x—>oxXTO+1.v->o1x—>o]nx

XX2

(用至nn(')=—lnx,1-0+時(shí)，111》——，無(wú)窮大量的倒數(shù)為無(wú)窮小)

X

故lim[ln(-)]x=e°=1

*fO+X

(4)lim(-arctanx)x

XTXC冗

2limxln(—arctanx)

解：lim(—arctanx)r=ex^兀

XT+OO冗

cln(—)+ln(arctanv)------------5

而limxln(—arctanx)=lim——--------------=limarctanx1+x

XT4001X->4<X>JX—>+00j

—XZ—X71

=lim------------=——(用至(jlim------=-1,limarctanx=-)

XT”(1+x)arctanxTI網(wǎng)(1+x)”一制2

故lim(—arctanx)'=e

XT飲兀

2

L3依士心“,任4al.ln(14-x)-(6TX+Z?x)c

7.試確定常數(shù)Q,〃，使得hm---------%--------=2.

x2

1+

_mvln(l4-x)—{ax+bx)-i+x^hx)

解：因hm二———---------=lim-^----------,

zox*T02x

又xfO,上式分母2xf0,且極限存在，則必須分子」一一a-2hx^0

1+x

得。=1；貝IJ

---------2b

-(t/+2bx)2

lim^^----------=lim(1+x)-1-2/75

A->02X2——2~2

書(shū)后部分習(xí)題解答4（關(guān)于中值定理與未定式極限）

P82頁(yè)

1.檢驗(yàn)羅爾定理對(duì)函數(shù)/（x）=（X—1）?！?）（x-3）是否成立?

分析：1）即檢驗(yàn)是否符合羅爾定理的條件；

2）若符合，自是否存在？

解：易知/(x)=(x-l)(x—2)(x—3)在[1,2],[2,3]上連續(xù)，(1,2),(）內(nèi)可導(dǎo)，且

/(1)=/(2)=/(3)=0,故符合羅爾定理的條件。

巧

又由/(%)=3%2—12x+ll=0,得J=2±、，故有/'C|)=0;&e(l,2)

./(統(tǒng))=0;。2e(2,3),符合羅爾定理的結(jié)論.

故羅爾定理對(duì)函數(shù)，(幻=。一1)。一2)。一3)成立。

4.(3)證：|arctaiYz-arctan&|<|<2-Z?|

證：設(shè)/(x)=arctanx,當(dāng)〃=人時(shí)，等式成立;

若a<b,則易知/(x)=arctanr在［a,加上連續(xù)，在(a,切內(nèi)可導(dǎo)，則由拉格朗日定理

1

存在六(a,b),使于⑥-/(a)=rG)(b—a)=(b-a)

1+十

1

取絕對(duì)值，得,「以2助-21'媒21￥/|=(b-d)<|Z?-a|

1+十

同理a>b,可證arctaiYz-arctan&|<|々一.

綜合：有|arctana-arctaM-母

3/W

6.設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［1,2］上可微，證明:/(2)-/(1)=,其中

2g

提示：對(duì)/*),g(x)=x?用柯西中值定理.

8.證明：3arcco&r-arccos0x-4x3)=7t,其中

題型；證明函數(shù)為常數(shù);

用到的知識(shí)：書(shū)78頁(yè)定理3.4(3)的結(jié)論，若/'(x)三0,則/(幻三C.(C=/(x(,))

證明：^f(x)-3arccosx—arccos0x-4x3),貝I]

1

rw=3(—^=)+GT"),

71-(3X-4X3)2

整理，當(dāng)W<；，/'(x)=0,故/(x)三C,又/(0)=3?、一^=萬(wàn)

當(dāng)卜唱.

所以；3arcco&r-arccos0x-4x3)=zr?

P89頁(yè)(用洛必達(dá)法則求極限時(shí)，可以適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)、整理等，目的簡(jiǎn)化計(jì)算)

c,c、i.tanx

2(3)hm-------

x_>￡tan3x

2

皿..tanxsinxcos3x「lcos3x

解：hm-----=hm----------=lim---------

X^Ltan3xxf巴sin3xcosxV(-1)-cosx

222

,,一71

(用到連續(xù)性與極限的運(yùn)算，相當(dāng)于％=二代入)

2

一、..Insin/ra:.小

(5)lim-------(m>0)

Insinx

cosmx

.?m

切Insinsin

解：hm------IT-IX=hm包"四ITIX—

*->o+Insinx^->o+cosx

sinx

(整理，等價(jià)無(wú)窮小的代換)

3.(2)lim(cotx--)(函數(shù)差的極限，一定要整理成函數(shù)商的極限)

1°X

5/1、「xcosx-sinx「xcosx-sinx,十小,人丁士.小心、

解：lim(cotx——)=lim----；------=lim-------；-----(用了等價(jià)無(wú)窮小r的代換)

iox工->°xsinxiox

4.(3)limLln(-)Jv(寡指函數(shù)的極限)

XT0+X

1limA'ln[ln(-)]

解：Iimfln(一)「二63x

10+x

1(1)

先求limxln[lnd)]=lim=j(一_=。