高中數(shù)學配套課件：第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解

高中數(shù)學配套課件第1部分第三章31312用二分法求方程的近似解目錄二分法簡介二分法的基本步驟用二分法求解方程的近似解二分法的應用實例二分法的注意事項和誤差分析01二分法簡介Part0102二分法的定義它基于函數(shù)的零點存在定理，通過不斷縮小搜索區(qū)間來找到方程的近似解。二分法是一種通過不斷將區(qū)間一分為二來逼近方程根的數(shù)值方法。二分法的基本思想選擇一個初始區(qū)間，并確定一個目標精度。重復上述步驟，直到達到目標精度。找到區(qū)間的中點，并檢查中點處的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)值在左右兩側的表現(xiàn)，將區(qū)間縮小為更小的子區(qū)間。二分法的適用范圍二分法適用于求解實數(shù)范圍內的單根或重根問題。適用于連續(xù)且在區(qū)間內單調變化的函數(shù)。不適用于多根或非單調函數(shù)的情況。02二分法的基本步驟PartSTEP01STEP02STEP03確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間的目的是為了縮小搜索范圍，以便更快地找到方程的近似解。在確定初始區(qū)間時，需要考慮方程的性質和已知條件，以確保所選區(qū)間包含解。確定初始區(qū)間是求解方程近似解的第一步，通常選擇包含解的區(qū)間作為初始區(qū)間。中點的計算公式為：$x_{mid}=frac{x_1+x_2}{2}$，其中$x_1$和$x_2$分別是初始區(qū)間的左右端點。計算中點是二分法中關鍵的一步，中點的計算精度直接影響最終求解的精度。中點是初始區(qū)間的中點，通過計算中點可以將初始區(qū)間一分為二。計算中點判斷中點處的函數(shù)值是二分法中的重要步驟，需要根據(jù)函數(shù)在$x_{mid}$處的值來判斷解所在的區(qū)間。如果函數(shù)在$x_{mid}$處的值為正，則解在$x_{mid}$的右側；如果函數(shù)值為負，則解在$x_{mid}$的左側。判斷中點處的函數(shù)值有助于縮小搜索范圍，加速求解過程。判斷中點處的函數(shù)值根據(jù)判斷中點處的函數(shù)值結果，需要決定新的區(qū)間，即選擇包含解的子區(qū)間繼續(xù)進行搜索。如果函數(shù)值在$x_{mid}$處為正，則選擇$x_{mid}$右側的區(qū)間作為新的搜索區(qū)間；如果函數(shù)值為負，則選擇$x_{mid}$左側的區(qū)間作為新的搜索區(qū)間。決定新的區(qū)間是二分法中的關鍵步驟，它決定了最終求解的精度和速度。決定新的區(qū)間重復以上步驟，直到滿足精度要求或搜索區(qū)間長度足夠小為止。在重復步驟時，需要不斷更新搜索區(qū)間和計算中點，并根據(jù)中點處的函數(shù)值判斷解所在的區(qū)間。當滿足精度要求或搜索區(qū)間長度足夠小時，即可得到方程的近似解。重復步驟直至滿足精度要求03用二分法求解方程的近似解Part求解一元方程的近似解定義域和值域確定一元方程的定義域和值域，以便確定求解的區(qū)間范圍。精度要求設定一個精度要求，當區(qū)間長度小于該精度時，停止迭代，輸出近似解。初始區(qū)間選擇一個初始區(qū)間，其中包含方程的根。迭代過程根據(jù)二分法原理，不斷將初始區(qū)間一分為二，并選取合適的點進行檢驗，逐步逼近方程的根。1423求解多元方程的近似解線性化將多元方程組轉化為一系列一元方程，每個一元方程對應一個變量的解。分區(qū)求解將定義域劃分為若干個小區(qū)間，每個小區(qū)間內近似為一元方程。迭代過程對每個小區(qū)間應用二分法，逐步逼近該區(qū)間內的一元方程的根。精度要求設定一個精度要求，當區(qū)間長度小于該精度時，停止迭代，輸出近似解。求解非線性方程的近似解線性化將非線性方程通過泰勒級數(shù)展開或其它方法轉化為線性方程或一元方程。精度要求設定一個精度要求，當區(qū)間長度小于該精度時，停止迭代，輸出近似解。初始條件和邊界條件根據(jù)問題的實際情況，設定初始條件和邊界條件。迭代過程對轉化后的線性方程或一元方程應用二分法，逐步逼近方程的根。04二分法的應用實例Part用二分法求解一元方程的近似解的實例實例1求解方程$f(x)=x^3-x-1=0$的近似解。實例2求解方程$ln(x)=2$的近似解。實例3求解方程$xsin(x)=1$的近似解。求解方程組$begin{cases}x+y=1xy=2end{cases}$的近似解。實例1實例2實例3求解方程組$begin{cases}x+y+z=1xyz=2end{cases}$的近似解。求解方程組$begin{cases}x-y=1y-z=2z-x=3end{cases}$的近似解。030201用二分法求解多元方程的近似解的實例STEP01STEP02STEP03用二分法求解非線性方程的近似解的實例實例1求解方程$sin(x)=x$的近似解。實例2實例3求解方程$xln(x)=1$的近似解。求解方程$e^x=x$的近似解。05二分法的注意事項和誤差分析Part初始區(qū)間選擇收斂性判斷停止條件異常處理使用二分法的注意事項在每一步迭代中，需要判斷新的區(qū)間長度是否小于預設的精度要求，以決定是否繼續(xù)迭代。當區(qū)間長度小于預設的精度要求時，應停止迭代，并輸出近似解。當?shù)^程中出現(xiàn)無法計算的中間值或區(qū)間長度不減反增時，應停止迭代，并考慮是否需要重新選擇初始區(qū)間或調整精度要求。選擇一個合適的初始區(qū)間，使得該區(qū)間內包含方程的根。初始區(qū)間的選擇會影響二分法的收斂速度和精度。區(qū)間長度越短，誤差越小。因此，選擇合適的初始區(qū)間和迭代過程中的區(qū)間長度是關鍵。區(qū)間長度與誤差關系隨著迭代次數(shù)的增加，誤差會逐漸減小。但迭代次數(shù)過多也可能導致計算量增加，影響效率。迭代次數(shù)與誤差關系