數學九年級上冊專題22.6 實際問題與二次函數-重難點題型（人教版）（教師版）

專題22.6實際問題與二次函數-重難點題型【人教版】【知識點1解二次函數的實際應用問題的一般步驟】審：審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個，已知量與變量之間的基本關系是什么，找出等量關系（即函數關系）；設：設出兩個變量，注意分清自變量和因變量，同時還要注意所設變量的單位要準確；列：列函數解析式，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數；解：按題目要求結合二次函數的性質解答相應的問題；檢：檢驗所得的解，是否符合實際，即是否為所提問題的答案；答：寫出答案.【題型1利用二次函數解決幾何圖形問題】【例1】（2020春?蕭山區(qū)月考）如圖窗戶邊框的上部分是由4個全等扇形組成的半圓，下部分是矩形，現在制作一個窗戶邊框的材料總長度為6米．（π取3）（1）若設扇形半徑為x，請用含x的代數式表示出AB．并求出x的取值范圍．（2）當x為何值時，窗戶透光面積最大，最大面積為多少？（窗框厚度不予考慮）【解題思路】（1）根據2AB+7半徑+弧長＝6列出代數式即可；（2）設面積為S，列出關于x的二次函數求得最大值即可．【解答過程】解：（1）根據題意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根據3﹣5x＞0，所以x的取值范圍是：0＜x＜3（2）設面積為S，則S＝2x（3﹣5x）+32x2=?172x2+6x=?172（當x=617時，S最大【變式1-1】（2020?安徽模擬）如圖，某住宅小區(qū)有一塊矩形場地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，開發(fā)商準備對這塊地進行綠化，分別設計了①②③④⑤五塊地，其中①③兩塊形狀大小相同的正方形地用來種花，②④兩塊形狀大小相同的矩形地用來種植草坪，⑤為矩形地用來養(yǎng)殖觀賞魚．（1）設矩形觀賞魚用地LJHF的面積為ym2，AG長為xm，求y與x之間的函數關系式；（2）求矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值．【解題思路】（1）根據矩形的性質得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根據正方形AEFG和正方形JKCI形狀大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形狀大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根據矩形的面積公式即可得到結論；（2）根據二次函數的性質即可得到結論．【解答過程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形狀大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形狀形狀大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL?LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴當x＝7時，y的最大值＝4；故矩形觀賞魚用地LJHF面積的最大值為4m2．【變式1-2】（2020?富順縣三模）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD（籬笆只圍AB，BC兩邊），設AB＝xm，花園的面積為Sm2．（1）若花園的面積為192m2，求x的值；（2）寫出花園面積S與x的函數關系式．x為何值時，花園面積S有最大值？最大值為多少？（3）若在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離分別是a（14≤a≤22）和6m，要將這棵樹圍在花園內（含邊界，不考慮樹的粗細），設花園面積S的最大值為y，直接寫出y與a的關系式．【解題思路】（1）根據題意得出長×寬＝192，進而得出答案；（2）由題意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函數增減性求得最值；（3）根據題意確定x的取值范圍，利用二次函數增減性計算即可．【解答過程】解：（1）依題意得S＝x（28﹣x），當S＝192時，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花園的面積為192m2，x的值為12m或16m；（2）由題意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x為14m時，花園面積S有最大值，最大值為196m2；（3）依題意得：28?x≥ax≥6解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，當x≤14，y隨x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴當x＝28﹣a時，函數有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【變式1-3】（2020?溫州模擬）某植物園有一塊足夠大的空地，其中有一堵長為a米的墻，現準備用20米的籬笆圍兩間矩形花圃，中間用籬笆隔開．小俊設計了如圖甲和乙的兩種方案：方案甲中AD的長不超過墻長；方案乙中AD的長大于墻長．（1）若a＝6．①按圖甲的方案，要圍成面積為25平方米的花圃，則AD的長是多少米？②按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪種方案能圍成面積最大的矩形花圃？請說明理由．【解題思路】（1）①設AB的長是x米，根據矩形的面積公式列出方程；②列出面積關于x的函數關系式，再根據函數的性質解答；（2）設AB＝x，能圍成的矩形花圃的面積為S，根據題意列出S關于x的函數關系，再通過求最值方法解答．【解答過程】解：（1）①設AB的長是x米，則AD＝20﹣3x，根據題意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2=5當x=53時，∴x＝5，∴AD＝5，答：AD的長是5米；②設BC的長是x米，矩形花圃的最大面積是y平方米，則AB=13[20﹣x﹣（x﹣6）]根據題意得，y＝x（263?23x）=?23x∴當x=132時，y有最大值為答：按圖乙的方案，能圍成的矩形花圃的最大面積是1696（2）設BC＝x，能圍成的矩形花圃的面積為S，按圖甲的方案，S＝x×20?x3=?∴在x＝a＜10時，S的值隨x的增大而增大，∴當x＝a的最大值n時，S的值最大，為S=?1按圖乙方案，S=13[20﹣x﹣（x﹣a）]x∴當x=a+204時，S的值最大為S=(a+20)224，此時a取最大值n∵(n+20)224?[?13（n∴(n+20)故第二種方案能圍成面積最大的矩形花圃．【知識點2銷售問題中的常用公式】（1）利潤=售價-進價=進價×利潤率（2）利潤率=（3）總利潤=總售價-總進價=銷售量×（單件售價-單件成本）【題型2利用二次函數解決銷售利潤問題】【例2】2020年1月，全國爆發(fā)新型冠狀病毒肺炎，2月某工廠購進某防護材料若干千克，成本為每千克30元，物價部門規(guī)定其銷售單價不低于成本價但不高于成本價2倍，經試銷，銷售量y（千克）與銷售單價x（元）的關系如圖所示．（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若在銷售過程中每天還要支付其他費用450元，當銷售單價為多少元時，當天該工廠日利潤最大，最大日利潤為多少元？【解題思路】（1）直接利用待定系數法求出一次函數關系式；（2）利用銷量×每件利潤＝總利潤，進而結合二次函數增減性得出答案．【解答過程】解：（1）設y與x的函數關系式為：y＝kx+b（k≠0），根據圖象可得方程組30k+b=14050k+b=100解得：k=?2b=200∴y與x的函數關系式為：y＝﹣2x+200，x的取值范圍是：30≤x≤60；（2）設日利潤為w，則可以列出函數關系式為：w＝（﹣2x+200）（x﹣30）﹣450＝﹣2x2+260x﹣6450，當x=?b又∵30≤x≤60，∴當x＝60時，w取得最大值，w＝1950，答：當銷售單價為60元時，當天該工廠日利潤最大，最大日利潤為1950元．【變式2-1】某公司推出一款產品，經市場調查發(fā)現，該產品的日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系關于銷售單價，日銷售量，日銷售利潤的幾組對應值如表：銷售單價x（元）8595105115日銷售量y（個）17512575m日銷售利潤w（元）87518751875875（注：日銷售利潤＝日銷售量×（銷售單價﹣成本單價））（1）求y關于x的函數解析式（不要求寫出x的取值范圍）及m的值；（2）根據以上信息，填空：該產品的成本單價是元，當銷售單價x＝元時，日銷售利潤w最大，最大值是元；（3）公司計劃開展科技創(chuàng)新，以降低該產品的成本，預計在今后的銷售中，日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關系．若想實現銷售單價為90元時，日銷售利潤不低于3750元的銷售目標，該產品的成本單價應不超過多少元？【解題思路】（1）根據題意和表格中的數據可以求得y關于x的函數解析式；（2）根據題意可以列出相應的方程，從而可以求得生產成本和w的最大值；（3）根據題意可以列出相應的不等式，從而可以取得科技創(chuàng)新后的成本．【解答過程】解；（1）設y關于x的函數解析式為y＝kx+b，85k+b=17595k+b=125，得k=?5即y關于x的函數解析式是y＝﹣5x+600，當x＝115時，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）設成本為a元/個，當x＝85時，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴當x＝100時，w取得最大值，此時w＝2000，故答案為：80，100，2000；（3）設科技創(chuàng)新后成本為b元，當x＝90時，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：該產品的成本單價應不超過65元．【變式2-2】（2020?安徽二模）某市在黨中央實施“精準扶貧”政策的號召下，大力開展科技扶貧工作，幫助農民組建農副產品銷售公司，某農副產品的年產量不超過100萬件，該產品的生產費用y（萬元）與年產量x（萬件）之間的函數圖象是頂點為原點的拋物線的一部分（如圖①所示）；該產品的銷售單價z（元/件）與年銷售量x（萬件）之間的函數圖象是如圖②所示的一條線段，生產出的產品都能在當年銷售完，達到產銷平衡，所獲毛利潤為w萬元．（毛利潤＝銷售額﹣生產費用）（1）請直接寫出y與x以及z與x之間的函數關系式；（2）求w與x之間的函數關系式；并求年產量多少萬件時，所獲毛利潤最大？最大毛利潤是多少？（3）由于受資金的影響，今年投入生產的費用不會超過360萬元，今年最多可獲得多少萬元的毛利潤？【解題思路】（1）利用待定系數法可求出y與x以及z與x之間的函數關系式；（2）根據（1）的表達式及毛利潤＝銷售額﹣生產費用，可得出w與x之間的函數關系式，再利用配方法求函數最值即可；（3）首先求出x的取值范圍，再利用二次函數增減性得出答案即可．【解答過程】解：（1）圖①可得函數經過點（100，1000），設拋物線的解析式為y＝ax2（a≠0），將點（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1故y與x之間的關系式為y=110x圖②可得：函數經過點（0，30）、（100，20），設z＝kx+b，則100k+b=20b=30解得：k=?1故z與x之間的關系式為z=?110（2）W＝zx﹣y=?110x2+30x?=?15x2=?15（x2﹣150=?15（x﹣75）∵?1∴當x＝75時，W有最大值1125，∴年產量為75萬件時毛利潤最大，最大毛利潤為1125萬元；（3）令y＝360，得110x2解得：x＝±60（負值舍去），由圖象可知，當0＜y≤360時，0＜x≤60，由W=?15（x﹣75）當0＜x≤60時，W隨x的增大而增大，故當x＝60時，W有最大值1080，答：今年最多可獲得毛利潤1080萬元．【變式2-3】（2020?邢臺二模）一家經營打印耗材的門店經銷各種打印耗材，其中某一品牌硒鼓的進價為a元/個，售價為x元/個（a≤x≤48）．下面是門店在銷售一段時間后銷售情況的反饋：①若每個硒鼓按定價30元的8折出售，可獲20%的利潤；②如果硒鼓按30元/個的價格出售，每月可售出500個，在此基礎上，售價每增加5元，月銷售量就減少50個．（1）求a的值，并寫出該品牌硒鼓每月的銷售量y（個）與售價x（元/個）之間的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；（2）求該耗材店銷售這種硒鼓每月獲得的利潤W（元）與售價x（元/個）之間的函數關系式，并求每月獲得的最大利潤；（3）在新冠肺炎流行期間，這種硒鼓的進價降低為n元/個，售價為x元/個（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照銷售量與售價關系不變的方式銷售，并決定將當月銷售這種硒鼓獲得的利潤全部捐贈給火神山醫(yī)院，支援武漢抗擊新冠肺炎．若要使這個月銷售這種硒鼓獲得的利潤G（元）隨售價x（元/個）的增大而增大，請直接寫出n的取值范圍．【解題思路】（1）根據實際售價﹣進價＝進價×利潤率建立關于a的方程，解之可得a的值；用原銷售量﹣因價格上漲而減少的銷售量可得答案．（2）根據“總利潤＝每個硒鼓利潤×銷售量”列出關于x的函數，配方成頂點式，再利用二次函數的性質求解可得；（3）根據以上相等關系，并結合新進價列出關于x的二次函數，找到其對稱軸，利用二次函數的增減性求解可得．【解答過程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根據題意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，銷售單價不能超過48元/個，即當20≤x≤48時，W隨x的增大而增大，∴當x＝48時，W有最大值，最大值為8960．答：當售價為48元/個時，每月獲得的利潤最大，最大利潤為8960元．（3）根據題意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，對稱軸x=80+n∵a＝﹣10＜0，∵當n≤x≤48時，該商品利潤G隨x的增大而增大，∴80+n2解得n≥16．∵進價是降低的，∴n的取值范圍是16≤n＜20．【題型3利用二次函數解決拋物線形軌跡問題】【例3】（2020秋?澠池縣期末）如圖，小明在一次高爾夫球爭霸賽中，從山坡下O點打出一球向球洞A點飛去，球的路線為拋物線，如果不考慮空氣阻力，當球移動的水平距離為9米時，球達到最大高度12米．已知山坡OA與水平方向OC的夾角為30o，O、A兩點相距83（1）求出球的飛行路線所在拋物線的解析式；（2）判斷小明這一桿能否把高爾夫球從O點直接打入球洞A點，并說明理由．【解題思路】（1）分析題意可知，拋物線的頂點坐標為（9，12），經過原點（0，0），設頂點式可求拋物線的解析式；（2）OA與水平方向OC的夾角為30°，OA＝83米，解直角三角形可求點A的坐標，把點A的橫坐標x＝12代入拋物線解析式，看函數值與點A的縱坐標是否相符．【解答過程】解：（1）∵頂點B的坐標是（9，12），∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣9）2+12，∵點O的坐標是（0，0）∴把點O的坐標代入得：0＝a（0﹣9）2+12，解得a=?4∴拋物線的解析式為y=?427（x﹣9）即y=?427x2+（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝83，∴AC＝OA?sin30°＝83×12OC＝OA?cos30°＝83×∴點A的坐標為（12，43），∵當x＝12時，y=323≠∴小明這一桿不能把高爾夫球從O點直接打入球洞A點．【變式3-1】如圖，運動員甲在距籃下4m處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5m時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．（1）建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的解析式．（2）該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少？（3）運動員乙跳離地面時，最高能摸到3.3m，問：在（2）的條件下，運動員乙在運動員甲與籃板之間的什么范圍內能在空中截住球？【解題思路】（1）設拋物線的表達式為y＝ax2+3.5，依題意可知圖象經過的坐標，由此可得a的值．（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，則可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）當y＝3.3m，進而代入函數解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答過程】解：（1）∵當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，∴拋物線的頂點坐標為（0，3.5），∴設拋物線的表達式為y＝ax2+3.5．由圖知圖象過以下點：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴拋物線的表達式為y＝﹣0.2x2+3.5．（2）設球出手時，他跳離地面的高度為hm，因為（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，則球出手時，球的高度為h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手時，他跳離地面的高度為0.2m．（3）由題意可得出：y＝3.3，則3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距離甲1.5米以內或離籃板0.5米以內能在空中截住球．【變式3-2】（2021?嘉善縣一模）已知，足球球門高2.44米，寬7.32米（如圖1）在射門訓練中，一球員接傳球后射門，擊球點A距離地面0.4米，即AB＝0.4米，球的運動路線是拋物線的一部分，當球的水平移動距離BC為6米時，球恰好到達最高點D，即CD＝4.4米．以直線BC為x軸，以直線AB為y軸建立平面直角坐標系（如圖2）．（1）求該拋物線的表達式；（2）若足球恰好擊中球門橫梁，求該足球運動的水平距離；（3）若要使球直接落在球門內，則該球員應后退m米后接球射門，擊球點為A'（如圖3），請直接寫出m的取值范圍．【解題思路】（1）根據條件可以得到拋物線的頂點坐標是（6，4.4），利用待定系數法即可求得函數的解析式；（2）求出當y＝2.44時，x的值，取正；（3）先求出y＝0時，x的值，取正，減去恰好擊中球門橫梁時，足球的水平距離．【解答過程】解：（1）拋物線的頂點坐標是（6，4.4），設拋物線的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=?1則拋物線是y=?19（x﹣6）（2）∵球門高為2.44米，即y＝2.44，則有2.44=?19（x﹣6）解得：x1＝10.2，x2＝1.8，從題干圖2中，發(fā)現球門在CD右邊，∴x＝10.2，即足球運動的水平距離是10.2米；（3）不后退時，剛好擊中橫梁，∴往后退，則球可以進入球門，而當球落地時，球剛好在門口，是一個臨界值，當y＝0時，有0=?19（x﹣6）解得：x1＝6+35110，x2取正值，x＝6+3∴后退的距離需小于6+35110故0＜m＜3【變式3-3】（2020?紹興）如圖1，排球場長為18m，寬為9m，網高為2.24m，隊員站在底線O點處發(fā)球，球從點O的正上方1.9m的C點發(fā)出，運動路線是拋物線的一部分，當球運動到最高點A時，高度為2.88m，即BA＝2.88m，這時水平距離OB＝7m，以直線OB為x軸，直線OC為y軸，建立平面直角坐標系，如圖2．（1）若球向正前方運動（即x軸垂直于底線），求球運動的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數關系式（不必寫出x取值范圍）．并判斷這次發(fā)球能否過網？是否出界？說明理由．（2）若球過網后的落點是對方場地①號位內的點P（如圖1，點P距底線1m，邊線0.5m），問發(fā)球點O在底線上的哪個位置？（參考數據：2取1.4）【解題思路】（1）求出拋物線表達式；再確定x＝9和x＝18時，對應函數的值即可求解；（2）當y＝0時，y=?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6【解答過程】解：（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣7）2+2.88，將x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=?1故拋物線的表達式為：y=?150（x﹣7）當x＝9時，y=?150（x﹣7）當x＝18時，y=?150（x﹣7）故這次發(fā)球過網，但是出界了；（2）如圖，分別過點O，P作邊線的平行線交于點Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，當y＝0時，?150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝62=∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴發(fā)球點O在底線上且距右邊線0.1米處．【題型4利用二次函數解決車過隧道問題】【例4】（2020秋?海淀區(qū)校級月考）小宇遇到了這樣一個問題：如圖是一個單向隧道的斷面，隧道頂MCN是一條拋物線的一部分，經測量，隧道頂的跨度MN為4m，最高處到地面的距離CO為4m，兩側墻高AM和BN均為3m，今有寬2.4m的卡車在隧道中間行駛，如果卡車載物后的最高點E到隧道頂面對應的點D的距離應不小于0.6m，那么卡車載物后的限高應是多少米？（精確到0.1m）為解決這個問題，小宇以AB中點O為原點，建立了如圖所示的平面直角坐標系，根據上述信息，設拋物線的表達式為y＝ax2+c．（1）寫出M、C、N、F四個點的坐標；（2）求出拋物的表達式；（3）利用求出的表達式，幫助小宇解決這個問題．【解題思路】（1）根據題中信息直接寫出M、C、N、F四個點的坐標即可；（2）將點M、C點的坐標代入拋物線的表達式為y＝ax2+c，利用待定系數法求解即；（3）在y=?14x2+4中，令x＝1.2，求得相應的y值，從而可得點D的坐標，結合卡車載物后的最高點E到隧道頂面對應的點D的距離應不小于0.6m，可得卡車載物最高點距地面的距離，然后精確到0.1【解答過程】解：（1）由題意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）將M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：4a+c=3c=4解得：a=?1∴拋物的表達式為y=?14x（3）在y=?14x2+4中，令y=?14×∴點D的坐標為（1.2，3.64），即點D與地面的距離為3.64m，∵卡車載物后的最高點E到隧道頂面對應的點D的距離應不小于0.6m，∴點E離地面的距離不超過3.04m，∴卡車載物后的限高應是3.0m．【變式4-1】（2021?海城市模擬）如圖，隧道的橫截面由拋物線形和矩形OABC構成．矩形一邊OA的長是12m，另一邊OC的長是1m．拋物線上的最高點D到地面OA的距離為7m．以OA所在直線為x軸，以OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系．（1）求該拋物線所對應的函數表達式．（2）在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等，如果燈離地面的高度為5m，求兩排燈之間的水平距離．（3）隧道內車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心線兩側行駛，并保持車輛頂部與隧道有不少于13m的空隙．現有一輛貨運汽車，在隧道內距離道路邊緣2m【解題思路】（1）設拋物線所對應的函數表達式為y＝a（x﹣6）2+7，將點C（0，1）代入所設解析式求出a的值即可得出函數解析式；（2）將y＝5代入解析式求出x的值，將所求x的值相減可得答案；（3）求出x＝2時y的值，再減去13【解答過程】解：（1）由題意設拋物線所對應的函數表達式為y＝a（x﹣6）2+7，將點C（0，1）代入上式，36a+7＝1，解得a=?1∴該拋物線所對應的函數表達式為y=?1（2）把y＝5代入y=?16(x?6解得x1=6+236+23所以兩排燈之間的水平距離為43m（3）把x＝2代入y=?16(x?6133所以這輛貨運汽車載物后的最大高度為4m．【變式4-2】（2020?武漢模擬）某坦克部隊需要經過一個拱橋（如圖所示），拱橋的輪廓是拋物線形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相鄰兩支柱的距離均為5m．（1）以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸，支柱CD所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，求拋物線的解析式；（2）若支柱每米造價為2萬元，求5根支柱的總造價；（3）拱橋下面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道是坦克的行進方向，現每輛坦克長4m，寬2m，高3m，行駛速度為24km/h，坦克允許并排行駛，坦克前后左右距離忽略不計，試問120輛該型號坦克從剛開始進入到全部通過這座長1000m的拱橋隧道所需最短時間為多少分鐘？【解題思路】（1）根據題目可知A，B，C的坐標，設出拋物線的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的長度，然后算出總造價即可．（3）先求出坦克方隊的長，然后算出速度，從而求得通過隧道的時間即可．【解答過程】【解】（1）設y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=?350，∴y=?350x（2）當x＝5時，y=?350×52∴EF＝10?92=支柱的總造價為2（2×11（3）∵坦克的高為3米，令y＝3時，?350x解得：x＝±52，∵7＜52＜∴可以并排3輛坦克行駛，此時坦克方陣的長為120÷3×4＝160（米），坦克的行駛速度為24km/h＝400米/分，∴通過隧道的最短時間為1000+160400【變式4-3】（2020秋?海州區(qū)校級期末）施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為8米，寬度OM為16米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系（如圖1所示）．（1）求出這條拋物線的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬1米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬3.5米、高5.8米的特種車輛？請通過計算說明；（3）施工隊計劃在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A．D點在拋物線上．B、C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．【解題思路】（1）拋物線的頂點坐標為（8，8），則其表達式為：y＝a（x﹣8）2+8，將點O（0，0）代入上式，即可求解；（2）雙向行車道，正中間是一條寬1米的隔離帶，則每個車道寬為7.5米，車沿著隔離帶邊沿行駛時，車最左側邊沿的x＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）點A、D關于函數對稱軸對稱，則設AD＝2m，則AB＝y(tǒng)=?18（x﹣8）2+8＝8?18m2，w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=?1【解答過程】解：（1）拋物線的頂點坐標為（8，8），則其表達式為：y＝a（x﹣8）2+8，將點O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a=?1故函數的表達式為：y=?18（x﹣8）2+8，即y=?18x2+2（2）雙向行車道，正中間是一條寬1米的隔離帶，則每個車道寬為7.5米，車沿著隔離帶邊沿行駛時，車最左側邊沿的x＝7.5﹣3.5＝4，當x＝4時，y＝6，即允許的最大高度為6米，5.8＜6，故該車輛能通行；（3）設點B（m，0），則點A（m，?18m2+2由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝8，則BC＝2（8﹣m）＝16﹣2m＝AD，則AB=?18m2+2則設：w＝AB+AD+DC＝2m+2AB=?14m2+2∵?14＜當m＝4時，w的最大值為20，故AB、AD、DC的長度之和的最大值是20．【題型5利用二次函數解決拱橋形問題】【例5】（2020秋?渝水區(qū)校級月考）某河上有拋物線形拱橋，當水面離拱頂5m時，水面寬8m．一木船寬4m，高2m，載貨后，木船露出水面的部分為34m．以拱頂O為坐標原點建立如圖所示的平面直角坐標系，A、B（1）B點的坐標為；（2）求拋物線解析式；（3）當水面離拱頂1.8米時，木船能否通過拱橋？【解題思路】（1）當水面距拱頂5m時，水面寬8m，則B（4，﹣5）；（2）設拋物線的解析式為y＝ax2，將點B的坐標代入上式即可求解；（3）將x＝2代入上式，得y=?516x2=?5【解答過程】解：（1）當水面距拱頂5m時，水面寬8m，則點B（4，﹣5），故答案為（4，﹣5）；（2）設拋物線的解析式為y＝ax2，將點B的坐標代入上式得﹣5＝a×42，解得a=?5∴該拋物線的解析式為y=?516x（3）將x＝2代入上式，得y=?516x2∵54而1.8＜2，當水面離拱頂1.8米時，木船不能通過拱橋．【變式5-1】（2020秋?泗陽縣期末）河上有一座拋物線形的石拱橋，水面寬6m時，水面離橋拱頂部3m．（1）如圖建立平面直角坐標系，試求拋物線的解析式；（2）一艘裝滿貨物的小船，露出水面部分的高為0.5m，寬為4m．現因暴雨河水水位上升了1m，這艘小船能從這座石拱橋下通過嗎？請說明理由．【解題思路】（1）根據題意可以知道A、B的坐標，在利用點C得坐標從而求出拋物線的解析式．（2）代入x＝2求出y的值，用其減去1求出可通過船的做最高高度，與0.5比較大小從而得出答案．【解答過程】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．A（﹣3，0），B（3，0），C（0，3）．y＝a（x+3）（x﹣3）．在將點C（0，3）帶入y＝a（x+3）（x﹣3）中的得a=?1所以拋物線的解析式為y=?1（2）小船可以通過，理由：當x＝2時，y=?1∵53∴暴雨后這艘船能從這座拱橋下通過．【變式5-2】（2021?衢州）如圖1是一座拋物線型拱橋側面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數表達式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．【解題思路】根據題意設出適當的二次函數表達式，利用待定系數法求出表達式，再結合圖形進行求解即可；【解答過程】解：（1）根據題意可知點F的坐標為（6，﹣1.5），可設拱橋側面所在二次函數表達式為：y1═a1x2．將F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═?1∴y1═?124x當x═12時，y1═?124×∴橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標為（6，1），可設其表達式為y2═a2（x﹣6）2+1，將H（0，4）代入其表達式有：4═a2（0﹣6）2+1，求得a2═112∴右邊鋼纜所在拋物線表達式為：y2═112（x﹣6）2+1，左邊鋼纜所在拋物線表達式為：y3═112（x+6）②設彩帶的長度為Lm，則L═y2﹣y1═112（x﹣6）2+1﹣（?124x2）═1∴當x═4時，L最小值═2，答：彩帶長度的最小值是2m．【變式5-3】（2021?貴陽）甲秀樓是貴陽市一張靚麗的名片．如圖①，甲秀樓的橋拱截面OBA可視為拋物線的一部分，在某一時刻，橋拱內的水面寬OA＝8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m．（1）按如圖②所示建立平面直角坐標系，求橋拱部分拋物線的函數表達式；（2）一只寬為1.2m的打撈船徑直向橋駛來，當船駛到橋拱下方且距O點0.4m時，橋下水位剛好在OA處，有一名身高1.68m的工人站立在打撈船正中間清理垃圾，他的頭頂是否會觸碰到橋拱，請說明理由（假設船底與水面齊平）．（3）如圖③，橋拱所在的函數圖象是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），該拋物線在x軸下方部分與橋拱OBA在平靜水面中的倒影組成一個新函數圖象．將新函數圖象向右平移m（m＞0）個單位長度，平移后的函數圖象在8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結合函數圖象，求m的取值范圍．【解題思路】（1）根據題意結合圖象可以求出函數的頂點B（4，4），先設拋物線的頂點式y(tǒng)＝a（x﹣4）2+4，再根據圖象過原點，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原點的距離，再把距離代入函數解析式求出y的值，然后和1.68比較即可；（3）根據倒影與橋對稱，先求出倒影的解析式，再平移m各單位，根據二次函數的性質求出m的取值范圍．【解答過程】解：（1）如圖②，由題意得：水面寬OA是8m，橋拱頂點B到水面的距離是4m，結合函數圖象可知，頂點B（4，4），點O（0，0），設二次函數的表達式為y＝a（x﹣4）2+4，將點O（0，0）代入函數表達式，解得：a=?1∴二次函數的表達式為y=?14（x﹣4）即y=?14x2+2x（0≤（2）工人不會碰到頭，理由如下：∵小船距O點0.4m，小船寬1.2m，工人直立在小船中間，由題意得：工人距O點距離為0.4+1∴將＝1代入y=?14x2+2解得：y=7∵1.75m＞1.68m，∴此時工人不會碰到頭；（3）拋物線y=?14x2+2x在x軸上方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影關于如圖所示，新函數圖象的對稱軸也是直線x＝4，此時，當0≤x≤4或x≥8時，y的值隨x值的增大而減小，將新函數圖象向右平移m個單位長度，可得平移后的函數圖象，如圖所示，∵平移不改變圖形形狀和大小，∴平移后函數圖象的對稱軸是直線x＝4+m，∴當m≤x≤4+m或x≥8+m時，y的值隨x值的增大而減小，∴當8≤x≤9時，y的值隨x值的增大而減小，結合函數圖象，得m的取值范圍是：①m≤8且4+m≥9，得5≤m≤8，②8+m≤8，得m≤0，由題意知m＞0，∴m≤0不符合題意，舍去，綜上所述，m的取值范圍是5≤m≤8．【題型6利用二次函數解決路程-速度問題】【例6】（2021春?拱墅區(qū)期中）一個物體從地面豎直向上拋，有這樣的關系式：h＝vt?12gt2（不計空氣阻力），其中h是物體距離地面的高度，v是初速度，g是重力加速度（g取10m/s2），t是拋出后所經歷的時間．圓圓用發(fā)射器（發(fā)射器的高度忽略不計）將一個小球以10m/（1）當小球的高度為1.8米時，求時間t的值；（2）小球的高度能達到5.4米嗎？請作出判斷，并說明理由；（3）若方方在圓圓拋出之后將另一個完全相同的小球以相同的速度從地面豎直向上拋，這兩個小球在某一時刻的高度均為4.2米，求方方與圓圓拋球的時間差．【解題思路】（1）把v＝10，g＝10，代入所給關系式求出二次函數解析式，再h＝1.8代入解析式求t的值即可；（2）把h＝5.4代入函數解析式得到關于t的一元二次方程，由判別式判定方程是否有解即可；（3）把h＝4.2代入函數解析式得到關于t的一元二次方程，求出方程的兩個根，兩根之差即為所求．【解答過程】解：（1）把v＝10，g＝10代入h＝vt?12gth＝﹣5t2+10t，當h＝1.8時，1.8＝﹣5t2+10t，即5t2﹣10t+1.8＝0，解得：t1＝0.2，t2＝1.8答：小球的高度為1.8米時，所用時間為0.2s或1.8s；（2）小球的高度不能達到5.4米，理由如下：把t＝5.4代入h＝﹣5t2+10t得：5.4＝﹣5t2+10t，∴5t2﹣10t+5.4＝0，∵△＝（﹣10）2﹣4×5×5.4＝﹣8＜0，∴5.4＝﹣5t2+10t無實數解，∴小球的高度不能達到5.4米；（3）由題意得：4.2＝﹣5t2+10t，∴5t2﹣10t+4.2＝0，解得：t1＝＝0.6，t2＝1.4，t2﹣t1＝0.8，答：方方與圓圓拋球的時間差為0.8s．【變式6-1】（2021?臨沂）公路上正在行駛的甲車，發(fā)現前方20m處沿同一方向行駛的乙車后，開始減速，減速后甲車行駛的路程s（單位：m）、速度v（單位：m/s）與時間t（單位：s）的關系分別可以用二次函數和一次函數表示，其圖象如圖所示．（1）當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是多少？（2）若乙車以10m/s的速度勻速行駛，兩車何時相距最近，最近距離是多少？【解題思路】（1）根據圖像分別求出一次函數和二次函數解析式，令v＝9求出t，代入求出s即可；（2）分析得出當v＝10m/s時，兩車之間距離最小，代入計算即可．【解答過程】解：（1）由圖可知：二次函數圖象經過原點，設二次函數表達式為s＝at2+bt，一次函數表達式為v＝kt+c，∵一次函數經過（0，16），（8，8），則8=8k+c16=c，解得：k=?1∴一次函數表達式為v＝﹣t+16，令v＝9，則t＝7，∴當t＝7時，速度為9m/s，∵二次函數經過（2，30），（4，56），則4a+2b=3016a+4b=56，解得：a=?∴二次函數表達式為s=?1令t＝7，則s=?49∴當甲車減速至9m/s時，它行駛的路程是87.5m；（2）∵當t＝0時，甲車的速度為16m/s，∴當10＜v＜16時，兩車之間的距離逐漸變小，當0＜v＜10時，兩車之間的距離逐漸變大，∴當v＝10m/s時，兩車之間距離最小，將v＝10代入v＝﹣t+16中，得t＝6，將t＝6代入s=?12t此時兩車之間的距離為：10×6+20﹣78＝2m，∴6秒時兩車相距最近，最近距離是2米．【變式6-2】（2020?龍泉驛區(qū)模擬）隨著城市化建設的發(fā)展，交通擁堵成為上班高峰時難以避免的