數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)專題27.4 相似三角形的性質(zhì)-重難點(diǎn)題型（人教版）（學(xué)生版）

專題27.4相似三角形的性質(zhì)-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識(shí)點(diǎn)1相似三角形的性質(zhì)】①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線，高線和對(duì)應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)角相等問(wèn)題）】【例1】（2020秋?岳陽(yáng)期末）如圖，AE與BD相交于點(diǎn)C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6．求證：AB∥DE．【變式1-1】（2020秋?德江縣期末）如圖，∠1＝∠2，ABAE=ACAD，求證：∠【變式1-2】（2020秋?遂川縣期末）如圖，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D為平面上一動(dòng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程上保持AD⊥BD于點(diǎn)D，將△BCD沿BD翻折得到△BED，在直線AD上取點(diǎn)F，作CF∥DE．（1）如圖1，若AD與BC相交于點(diǎn)G，求證DGCG（2）猜想△CDF的形狀，并說(shuō)明理由．【變式1-3】（2020秋?中方縣期末）在銳角△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AC、AB上，AG⊥BC與點(diǎn)G，AF⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．（1）求證：△AEF∽△ACG．（2）求證：∠ADE＝∠B．（3）若AD＝3，AB＝5，求AFAG【題型2相似三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊成比例問(wèn)題）】【例2】（（2020秋?崇左期末）如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交DC于點(diǎn)F．若AB＝4，BC＝6，則DF的長(zhǎng)為（）A．94 B．74 C．3【變式2-1】（2020秋?萬(wàn)榮縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，若AEEC=23，DEA．522 B．5 C．22【變式2-2】（2021?岳麓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是對(duì)角線上一點(diǎn)，CG的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AG．（1）求證：AG＝CG；（2）若GE?GF＝9，求CG的長(zhǎng)．【變式2-3】（2021?滕州市一模）在矩形ABCD中，E為DC上的一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝23，AD＝4，求CE的長(zhǎng)．【題型3相似三角形的性質(zhì)（周長(zhǎng)問(wèn)題）】【例3】（2020春?羅定市月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的邊長(zhǎng)分別為3，4，5，△A′B′C′中最小的邊長(zhǎng)為7，求△A′B′C′的周長(zhǎng)．【變式3-1】．（2020秋?北碚區(qū)校級(jí)期中）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比為3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周長(zhǎng)是72cm，求△ABC的各邊的長(zhǎng)．【變式3-2】（2020秋?泰興市期末）如圖，分別以△ABC的邊AC和BC為腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，連接DE．（1）求證：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC與△DEC的周長(zhǎng)比．【變式3-3】（2020秋?東莞市校級(jí)月考）如圖，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2．△OAB與△OCD的面積分別是S1與S2，周長(zhǎng)分別是C1與C2．則下列說(shuō)法正確的是（）A．OAOD=32 B．OBCD=【題型4相似三角形的性質(zhì)（面積問(wèn)題）】【例4】（2021春?海陽(yáng)市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD與BD分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC，∠ABC的平分線，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，△ABC∽△EDA．（1）求∠ABC的度數(shù)；（2）求S△ABCS△EDA【變式4-1】（2020秋?道里區(qū)期末）如圖，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，則S△ADEA．12 B．13 C．23【變式4-2】（2020?河北模擬）如圖，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，圖中所有三角形均相似，其中最小的三角形面積為1，△ABC的面積為44，則四邊形DBCE的面積是（）A．22 B．24 C．26 D．28【變式4-3】（2020秋?德江縣期末）如圖，在?ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，EC交BD于點(diǎn)F，那么S△BEF：S△BCF＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【題型5相似三角形的性質(zhì)（多結(jié)論問(wèn)題）】【例5】（2021?大埔縣模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，BP＝CQ，連接AQ，DP交于點(diǎn)O，并分別與邊CD，BC交于點(diǎn)F，E，連接AE，下列結(jié)論：①AQ⊥DP；②OA2＝OE?OP；③S△AOD＝S四邊形OECF；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（）A．1 B．3 C．2 D．0【變式5-1】（2021春?淮陽(yáng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2BC．AE平分∠BAD，交CD于點(diǎn)E，點(diǎn)F為AB邊的中點(diǎn)，AE與DF交于點(diǎn)M，BD與EP交于點(diǎn)N，連接MN．則下列結(jié)論：①四邊形ADEF是菱形；②與△BFN全等的三角形有5個(gè)；③S四邊形BCEN＝7S△FMN；④當(dāng)FM＝FN時(shí)，∠BAD＝60°．其中正確的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【變式5-2】（2020秋?松桃縣期末）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)作等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE（∠ABC和∠AED是直角），連接BE，CD交于點(diǎn)P，CD與AE邊交于點(diǎn)M，對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②∠BPC＝45°；③MP?MD＝MA?ME；④2CB2＝CP?CM，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-3】（2021春?龍泉驛區(qū)期末）如圖，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列結(jié)論中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD?BD；④BC2＝BD?AD，一定成立的有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【題型6相似三角形的性質(zhì)（輔助線問(wèn)題）】【例6】（2020秋?開(kāi)江縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)F．若AF＝7，DF＝1，則△ABC的邊長(zhǎng)等于（）A．57?2 B．58?2 C．【變式6-1】（2020秋?天長(zhǎng)市期末）如圖，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是四個(gè)全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG，GI在同一直線上，且AB＝4，BC＝2，連接AI交FG于點(diǎn)Q，則QI的值為（）A．4 B．103 C．3 D．【變式6-2】（2021?利辛縣二模）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BC＝3CE，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，EF的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)G，連接BG．（1）求AGDG（2）求證：BG＝EG；（3）如圖2，M為AB的中點(diǎn)，DM交BG于點(diǎn)N，連接CN，求證：CN∥GE．【變式6-3】