高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件：平面與空間向量第4課時(shí)平面向量的數(shù)量積

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件平面與空間向量第4課時(shí)平面向量的數(shù)量積目錄平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積的應(yīng)用典型例題解析練習(xí)題與答案01平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)總結(jié)詞平面向量數(shù)量積的定義詳細(xì)描述平面向量數(shù)量積是兩個(gè)非零向量的模的乘積與這兩個(gè)向量夾角的余弦值的乘積，記作數(shù)量積或點(diǎn)積。數(shù)學(xué)表達(dá)式為：a·b=|a|·|b|·cosθ，其中a和b是非零向量，|a|和|b|分別是向量a和b的模，θ是向量a和b的夾角。定義平面向量數(shù)量積的性質(zhì)總結(jié)詞性質(zhì)平面向量數(shù)量積具有以下性質(zhì)詳細(xì)描述a·b≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向共線時(shí)取等號(hào)；非負(fù)性(a+b)·c=a·c+b·c；分配性a·b=b·a；對(duì)稱性a·b=0當(dāng)且僅當(dāng)a與b正交（即夾角為90°）。正交性平面向量數(shù)量積的幾何意義總結(jié)詞平面向量數(shù)量積的幾何意義是表示兩個(gè)向量在方向上的相似程度。具體來(lái)說(shuō)，如果兩個(gè)非零向量a和b的夾角為θ，那么它們的數(shù)量積a·b等于|a|和|b|在θ角方向上的投影的乘積。因此，當(dāng)兩個(gè)向量同向共線時(shí)，它們的數(shù)量積最大；當(dāng)兩個(gè)向量正交時(shí)，它們的數(shù)量積為0。詳細(xì)描述幾何意義02平面向量數(shù)量積的運(yùn)算線性運(yùn)算包括加法、數(shù)乘和減法，是向量運(yùn)算中最基本的運(yùn)算。向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，數(shù)乘滿足實(shí)數(shù)與向量的乘法結(jié)合律和分配律。線性運(yùn)算具有交換律、結(jié)合律和數(shù)乘的分配律，這些性質(zhì)在解決向量問(wèn)題時(shí)非常有用。線性運(yùn)算數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是基于向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行的，通過(guò)向量的坐標(biāo)可以方便地計(jì)算出向量的數(shù)量積。設(shè)向量$overset{longrightarrow}{a}=(x_{1},y_{1})$，$overset{longrightarrow}=(x_{2},y_{2})$，則$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$。坐標(biāo)運(yùn)算在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)非常有用，例如在物理中的力矩、功等計(jì)算中都會(huì)用到。數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算向量的模長(zhǎng)是指向量的長(zhǎng)度或大小，記作$|\overset{\longrightarrow}{a}|$。向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)之間有關(guān)系：$|\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}|\leq|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}|$，即兩向量的數(shù)量積的模長(zhǎng)小于或等于兩向量模長(zhǎng)的乘積。這個(gè)性質(zhì)在解決向量問(wèn)題時(shí)非常有用，例如在判斷向量的夾角范圍或解決最值問(wèn)題時(shí)都會(huì)用到。向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系03平面向量數(shù)量積的應(yīng)用利用平面向量的數(shù)量積，可以計(jì)算三角形中的角度，如已知兩個(gè)向量的夾角和大小，可以求出第三個(gè)向量的大小和夾角。計(jì)算角度通過(guò)計(jì)算三角形的兩邊向量的數(shù)量積，可以判斷三角形是等腰三角形、等邊三角形還是直角三角形。判斷三角形的形狀利用向量的數(shù)量積，可以求解三角形的面積，特別是當(dāng)已知三角形的兩邊和夾角時(shí)，這種方法非常方便。求解三角形面積在三角形中的應(yīng)用

在物理中的應(yīng)用力的合成與分解在物理中，力的合成與分解可以通過(guò)平面向量的數(shù)量積來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而計(jì)算出合力或分力的大小和方向。速度和加速度平面向量的數(shù)量積可以用于計(jì)算物體的速度和加速度，特別是在分析曲線運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)非常有用。功和功率在分析力學(xué)問(wèn)題時(shí)，平面向量的數(shù)量積可以用于計(jì)算力對(duì)物體做的功或功率。在建筑、機(jī)械等領(lǐng)域中，利用平面向量的數(shù)量積可以判斷物體是否處于平衡狀態(tài)，以及如何調(diào)整力的方向和大小以實(shí)現(xiàn)平衡。力的平衡在航空、航海和陸地導(dǎo)航中，平面向量的數(shù)量積可以用于計(jì)算方向、速度和加速度等參數(shù)，從而確定物體的位置和航行軌跡。導(dǎo)航在實(shí)際生活中的應(yīng)用04典型例題解析總結(jié)詞：考察平面向量數(shù)量積的基本概念和運(yùn)算規(guī)則。題目1：已知向量$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$的夾角為$theta$，且$|overset{longrightarrow}{a}|=2,|overset{longrightarrow}|=3$，若$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}|costheta$，則$theta$的值為____。題目2：已知向量$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$的夾角為$theta$，且$|overset{longrightarrow}{a}|=2,|overset{longrightarrow}|=3$，若$overset{longrightarrow}{a}cdotoverset{longrightarrow}=|overset{longrightarrow}{a}|cdot|overset{longrightarrow}|costheta$，則$costheta$的值為____?；A(chǔ)題型題目2：在三角形ABC中，已知$overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{AC}=|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{AC}|cosA$，若$sinA=frac{5sqrt{3}}{7}$，則A的度數(shù)為____?？偨Y(jié)詞：考察平面向量數(shù)量積與其他知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合運(yùn)用。題目1：在三角形ABC中，已知$overset{longrightarrow}{AB}cdotoverset{longrightarrow}{AC}=|overset{longrightarrow}{AB}|cdot|overset{longrightarrow}{AC}|cosA$，若$cosA=-frac{11}{14}$，則A的度數(shù)為____。綜合題型總結(jié)詞考察平面向量數(shù)量積在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。題目1一艘船以速度v向北航行，途中遇到一股自西向東的風(fēng)速為v的風(fēng)，船帆受到風(fēng)力而傾斜，若船帆與水平方向的夾角為$theta$，則風(fēng)對(duì)船帆的作用力大小為____。題目2一架飛機(jī)以速度v向北飛行，途中遇到一股自西向東的風(fēng)速為v的風(fēng)，飛機(jī)受到風(fēng)力而傾斜，若飛機(jī)與水平方向的夾角為$theta$，則風(fēng)對(duì)飛機(jī)的作用力大小為____。創(chuàng)新題型05練習(xí)題與答案已知向量$overset{longrightarrow}{a}=(1,2)$，$overset{longrightarrow}=(-2,3)$，則向量$overset{longrightarrow}{a}$與$overset{longrightarrow}$的夾角為____．題目1已知向量$overset{longrightarrow}{a}=(1,2)$，$overset{longrightarrow}=(-2,3)$，則向量$overset{longrightarrow}{a}$在向量$overset{longrightarrow}$上的投影為____．題目2練習(xí)題答案解析題目1解析：首先，我們需要計(jì)算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$的模長(zhǎng)。根據(jù)模長(zhǎng)的定義，有$|\overset{\longrightarrow}{a}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\overset{\longrightarrow}|=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$。然后，我們計(jì)算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$和$\overset{\longrightarrow}$的數(shù)量積：$\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}=1\times(-2)+2\times3=4$。最后，根據(jù)夾角的余弦公式，有$\cos<\overset{\longrightarrow}{a},\overset{\longrightarrow}>=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\cdot\overset{\longrightarrow}}{|\overset{\longrightarrow}{a}|\cdot|\overset{\longrightarrow}|}=\frac{4}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}$。因此，向量$\overset{\longrightarrow}{a}$與$\overset{\longrightarrow}$的夾角為$arccos\frac{4\sqrt{65}}{65}$。題目2解析：首先，我們計(jì)算向量$\overset{\longrightarrow}{a}$在向量$\overset{\longrightarrow}$上的投影長(zhǎng)度。根據(jù)投影的定義，有$Proj_{\overset{\longrightarrow}}\overset{\longrightarrow}{a}=\frac{\overset{\longrightarrow}{a}\