高等數(shù)學(xué)課件-D81向量及運(yùn)算

高等數(shù)學(xué)課件--d81向量及運(yùn)算2023REPORTING向量及其表示向量的基本運(yùn)算向量的數(shù)量積向量的向量積向量的混合積目錄CATALOGUE2023PART01向量及其表示2023REPORTING向量的定義向量是一個有方向和大小的幾何量，通常用有向線段表示。向量的表示方法：在平面或空間中，起點(diǎn)固定，終點(diǎn)可以任意移動的有向線段表示一個向量。向量的模向量的模是指向量的長度或大小，用符號表示。向量的模的計算公式：$|vec{A}|=sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}$，其中$A_x,A_y,A_z$分別表示向量的三個分量。用坐標(biāo)形式表示向量，例如$vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$。代數(shù)表示法用有向線段表示向量，起點(diǎn)為$O$，終點(diǎn)為$A$，記作$vec{OA}$。幾何表示法用矩陣形式表示向量，例如$begin{bmatrix}A_xA_yA_zend{bmatrix}$。矩陣表示法向量的表示方法PART02向量的基本運(yùn)算2023REPORTING總結(jié)詞向量加法是向量的基本運(yùn)算之一，通過平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行。詳細(xì)描述向量加法是將兩個向量首尾相接，形成一個平行四邊形，則所得向量即為這兩個向量的和。在三角形法則中，兩個向量首尾相接，以第三個頂點(diǎn)為起點(diǎn)作向量，與前兩個向量相加，結(jié)果為第三個頂點(diǎn)的位置。向量的加法數(shù)乘是向量的一種基本運(yùn)算，通過將一個標(biāo)量與一個向量相乘得到新的向量?？偨Y(jié)詞數(shù)乘是將一個標(biāo)量與一個向量相乘，得到一個新的向量。標(biāo)量為實數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零。數(shù)乘的結(jié)果是原向量的長度或方向發(fā)生變化，但不會改變向量的模長。詳細(xì)描述向量的數(shù)乘向量減法是通過將一個向量的起點(diǎn)移動到另一個向量的終點(diǎn)，從而得到一個新的向量。總結(jié)詞向量減法是將一個向量的起點(diǎn)移動到另一個向量的終點(diǎn)，形成一個平行四邊形，則所得向量即為這兩個向量的差。在三角形法則中，兩個向量首尾相接，以第三個頂點(diǎn)為起點(diǎn)作向量，與前兩個向量相減，結(jié)果為第三個頂點(diǎn)的位置。詳細(xì)描述向量的減法PART03向量的數(shù)量積2023REPORTING數(shù)量積的定義兩個向量的數(shù)量積定義為它們的模長之積與它們夾角的余弦值的乘積，記作a·b。數(shù)學(xué)表達(dá)式a·b=∣a∣∣b∣cos〈a,b〉數(shù)量積的定義一個向量在另一個向量上的投影長度等于該向量與另一個向量的數(shù)量積。兩個向量的夾角等于它們的數(shù)量積除以它們的模長之積。數(shù)量積的幾何意義角度定理投影定理a·b=b·a交換律(a+b)·c=a·c+b·c分配律(a·b)·c=a·(b·c)結(jié)合律(a+b)·c=a·c+b·c=∣a∣∣c∣cos〈a,c〉+∣b∣∣c∣cos〈b,c〉分配律擴(kuò)展數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)PART04向量的向量積2023REPORTING向量積的定義向量積是一個向量運(yùn)算，其結(jié)果為一個向量，記作a×b，其中a和b為給定向量。定義公式a×b=||a||*||b||*sinθ*n，其中θ為a與b之間的夾角，n為垂直于a與b的單位向量。幾何意義向量積表示兩個向量之間的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，其方向垂直于a與b，其大小等于a與b的模之積乘以它們之間的夾角的正弦值。向量積的定義面積計算向量積可以用于計算平行四邊形的面積。設(shè)平行四邊形相鄰兩邊為a和b，則其面積為S=||a×b||。旋轉(zhuǎn)方向向量積的方向表示以原點(diǎn)為中心的旋轉(zhuǎn)方向。當(dāng)a×b為正時，表示逆時針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)a×b為負(fù)時，表示順時針旋轉(zhuǎn)。方向判斷向量積可以用于判斷兩向量的相對位置關(guān)系。若a×b=0，則表示a與b共線；若a×b>0，則表示a與b之間的夾角為銳角；若a×b<0，則表示a與b之間的夾角為鈍角。向量積的幾何意義123a×b=-(b×a)。交換律對于任意向量c，有(a+b)×c=a×c+b×c。分配律k(a×b)=(ka)×b=a×(kb)，其中k為標(biāo)量。與標(biāo)量乘法結(jié)合律向量積的運(yùn)算性質(zhì)PART05向量的混合積2023REPORTING混合積的定義三個向量的混合積是一個標(biāo)量，記作$acdot(btimesc)$，其值等于以$a,b,c$為鄰邊的平行四邊形的面積?；旌戏e$acdot(btimesc)=|a|cdot|b|cdot|c|cdotsintheta$，其中$theta$為$b$和$c$之間的夾角。定義公式VS表示以$a,b,c$為鄰邊的平行四邊形的面積。計算方法先求出向量$b$和$c$的叉積，再與向量$a$點(diǎn)乘，即得平行四邊形的面積?；旌戏e的幾何意義混合積的幾何意義交換律$acdot(btimesc)=-(btimesc)cdota$結(jié)合律$(atimesb)cdot(ctimesd)=acdot(btimes(ctimes