小學(xué)奧數(shù) 換元法

目錄

換元法學(xué)生版

換元法教師版

目1M睡圓等回陶

對(duì)于六年級(jí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)乘法算式的一些計(jì)算技巧必須開(kāi)始掌握.這既與基礎(chǔ)課程進(jìn)度結(jié)合，

更是小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典內(nèi)容.裂項(xiàng)、換元與通項(xiàng)歸納這三項(xiàng)內(nèi)容，通稱(chēng)“分?jǐn)?shù)計(jì)算之三大絕招考察近年來(lái)的

小升初計(jì)算部分，分?jǐn)?shù)計(jì)算成為熱點(diǎn).可以這么說(shuō)：“一道非常難的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，要么是裂項(xiàng)，要么是換元,

要么是通項(xiàng)歸納.如果都不是，那它一定是比較簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運(yùn)算.”

三、換元思想

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換

元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn).

【例1】計(jì)算：（l+g+；）x（g+；+：）_（l+g+；+3x（g+；）

I1

【鞏固】（1+-+-++-+—+

2334

四+交艮空+458+378^J621739458378、/739?458]

【鞏固】計(jì)算:++-----+赤森+詬J

126358947)<358947207；1126358947

【鞏固】計(jì)算：(0.1+0.21+0.3214-0.4321)x(0.21+0.321+0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.54321)x(0.21+0.321+0.4321)

【鞏固】計(jì)算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【鞏固】(1+0.12+0.23)x(0.120.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【鞏固】計(jì)算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)一(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

621739458739458378621739458378739458

⑵----1-----1----x----1-----1--------1-----1-----1----x358+947

126358947358947207126358947207

73473

【鞏固】計(jì)算：——+—+——9+2+2+年—+—

32171312321713J3217

1

【例2】+

2008J(232007

【鞏固】

【鞏固】計(jì)算小*+()嗎111)-(111

+9+11+135+7+9+

［鞏固］i+Mfl+-+-+-+-1xf-+-+-+-+

l2345八23456八

【例3】計(jì)算:

3

++一+

wj4

【例4】計(jì)算---------、-------十—

2+-----------5---------1+

1+^F=

+2009

【例5】

20102

［例6］計(jì)算:

2009x2011+1

由，4省2008+2009x2(X)7

r［e鞏固】計(jì)算----------------（4級(jí)）

2008x2009-1

對(duì)于六年級(jí)的同學(xué)來(lái)說(shuō)，分?jǐn)?shù)乘法算式的一些計(jì)算技巧必須開(kāi)始掌握.這既與基礎(chǔ)課程進(jìn)度結(jié)合，

更是小學(xué)奧數(shù)經(jīng)典內(nèi)容.裂項(xiàng)、換元與通項(xiàng)歸納這三項(xiàng)內(nèi)容，通稱(chēng)“分?jǐn)?shù)計(jì)算之三大絕招考察近年來(lái)的

小升初計(jì)算部分，分?jǐn)?shù)計(jì)算成為熱點(diǎn).可以這么說(shuō)：“一道非常難的分?jǐn)?shù)運(yùn)算，要么是裂項(xiàng)，要么是換元,

要么是通項(xiàng)歸納.如果都不是，那它一定是比較簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)小數(shù)混合運(yùn)算.”

三'換元思想

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用另一個(gè)量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換

元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn).

(l+-+-)x(-+l+l)-(l+-+l+l)x(-+l)

【例7】計(jì)算:

2424624624

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】令1+2+1+」=4,-+-+-=Z>,則:

246246

原式二(4-J)X-QX俗-!)

66

=ab——b-ab+—a

66

=-(a-b)=—xl=—

666

【答案】-

6

【鞏固］（l+；+g+；）xg+g+；+$_（l+；+g+；+&x（；+g+；）

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】設(shè)々=」+工+,，則原式化簡(jiǎn)為：（1+〃）（1+4+2）二」

234555

【答案】-

5

621739458378)<6217394583781(739

【鞏固】計(jì)算:4--------++947+207j-ll26-----------1-----------F+菊

126358358947

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

人621739458空+竺U,

【解析】令——+——+——=a

126358947358947

原式我378〃-如堊=也

a-\------xb=(

（207207'7207126207

【答案】9

【鞏固】計(jì)算：(0.1+0.21+0.321+0.4321)x(0.21+0.321+0.4321+0.54321)-

(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.5432l)x(0.21+0.321+0.4321)

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】設(shè)x=0.21+0.321+0.4321,y=0.21+0.321+0.4321+0.54321,

原式=(0.1+x)xy-(0.1+y)xx=0.1x(y-x)=0.054321

【答案】0.054321

【鞏固】計(jì)算下面的算式

(7.88+6.77+5.66)x(9.31+10.98+10)-(7.88+6.77+5.66+10)x(9.31+10.98)

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，2試

【解析】換元的思想即“打包”，令a=7.8+86+7,6=9.31+10.98,則原式

=?x(77+10)-(?+10)x/7=(a/>+10a)—(aZ>+10&)=a/?+10?-?/7—IO6=lOx(a-/?)

=10x(7.88+6.77+5.66-9.31-10.98)=10x0.02=0.2

【答案】0.2

【鞏固】(1+0.12+0.23)x(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)x(0.12+0.23)=

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，二試

【解析】設(shè)0.12+0.23=。，0.12+0.23+0.34=6

原式=(l+a)xb-(l+b)xa=b-a=0.34

【答案】0.34

【鞏固】計(jì)算：(1)(1+0.45+0.56)x(0.45+0.56+0.67)-(1+0.45+0.56+0.67)x(0.45+0.56)

739458\7739?458378）（6217394583781/739?458)

+-----X++赤廠（該+-----+-----+赤尸〔荻+詬J

358947jl358947358947

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】迎春杯

【解析】⑴該題相對(duì)簡(jiǎn)單,盡量湊相同的部分，即能簡(jiǎn)化運(yùn)算.設(shè)a=0.45+0.56,0=0.45+0.56+0.67,

有原式=(l+a)x〃一(1+6)XQ=〃+46—。一"=/?一々=0.67

621739458<739458]

(2)設(shè)"--------1----------1--------,b=l358+947j

126358947

',378、(378、\,,、378621378八

度、式4=ax|b+--\xb=(a-b)x-----=---x----=9

\<207；1207,)207126207

【答案】(1)0.67(2)9

【鞏固】計(jì)算：成+》?73411734)

+——+——+—,

321713321713；

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽，六年級(jí)

設(shè)°二+2+3、73

【解析】b=——+——?jiǎng)t有

1232173217

原式=+；

a+V3xb

444

=——a-——h=—(a-h)

131313

455

=——x—=—

131239

5

【答案】

39

1

+-+1111

【例8】計(jì)算:2H---X--------+-+

2007232007

【考點(diǎn)】換元法【難度】3星【題型】計(jì)算

1

【解析】令H------H-----------

232007232008

原式=(1+a)x。一(1+Z?)x々=/7+一〃一〃/?=Z?—Q=

1

【答案】

2008

1111(1111111111

【鞏固】—+—+—+—X—十—+—+—+—+—+—+—+---F—

11213141(21314111213141213141

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

設(shè)_L+_L+_L+_Lj,11!^

【解析】++=

11213141213141

原式=〃x[/7+

xh

,1,1,

=ab-\----a—ab------b

5151

1//、111

=-(a-b)=—x——=---

515111561

1

【答案】

561

【鞏固】計(jì)算(LLLLxd+LL+L)_d+Ll+_L+_l)x(L_L+_L

5791179111357911137911

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】清華附中

【解析】設(shè)-4--+—=B,

579117911

原式=Ax(8+-[A+*B

=AxB+-A-AxB-—B

1313

1

=-(A-B)=—x-=

13')13565

【答案】—

65

111111111

【鞏固】計(jì)算1―+―+—+一+―x—+-+—4-

234562345

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【解析】設(shè)1+!+,+」+1=A,-+-+-+-=B

23452345

原式=Ax|B4--|-|A+—jxB=AxB-^--xA-AxB--xB=-xA-—xB=ix(A-B)=^

I6)[6)666666

【答案】-

6

【例91計(jì)算:

2

1231239i+L2+23

—+—+—++-+—+-+H------+得X—+—+

234+A234102334

【考點(diǎn)】換元法【難度】2星【題型】計(jì)算

【關(guān)鍵詞】迎春杯

―、幾1239g七21八/21tn

【解析】段1=一+—+—++—,則有廠+，x——(1+r)t一一=/-+-/-r+t--------

234102I2)2(22)2

【答案】

【例10]計(jì)算----------X--------+1

2+--------!—

________]

3+\

+-----4

2009

1+X2009

【考點(diǎn)】換元法【難度】4星【題型】計(jì)算

NN+1

【解析】-------1-------

1+42N+12N+1

N+1

【答案】

【例11】

【考點(diǎn)】換元法【難度】3星