茂名市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)（解析版）

2021—2022學(xué)年度茂名市普通高中高二年級(jí)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)滿足，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，代入中求出的值，再根據(jù)復(fù)數(shù)模公式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，又因?yàn)椋?，所以，所以，故選：D.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合A，再利用補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算作答.【詳解】依題意，，解得，即，所以故選：B3.儲(chǔ)糧所用“鋼板倉(cāng)”，可以看成由圓錐和圓柱兩部分組成的.現(xiàn)有一種“鋼板倉(cāng)”，其中圓錐與圓柱的高分別是1m和3m，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，若要儲(chǔ)存300的水稻，則需要準(zhǔn)備這種“鋼板倉(cāng)”的個(gè)數(shù)是（）A.6 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求出一個(gè)“鋼板倉(cāng)”的體積，然后用300除以“鋼板倉(cāng)”的體積可得答案【詳解】因?yàn)閳A錐的高為1，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，所以圓錐的母線長(zhǎng)為2，底面半徑為，所以一個(gè)“鋼板倉(cāng)”的體積為，因?yàn)樗砸獌?chǔ)存300的水稻，則需要準(zhǔn)備這種“鋼板倉(cāng)”的個(gè)數(shù)為10個(gè)，故選：C4.已知為平面的一個(gè)法向量，為內(nèi)的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點(diǎn)到平面的向量求法，列式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)到平面的距離.故選：A5.若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，再將上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象的伸縮變換和平移變換即可求解.【詳解】由題意可知，把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得到的圖象，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得的圖象，所以函數(shù)的解析式為.故選：B.6.中國(guó)古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動(dòng)；“書”指各種歷史文化知識(shí)；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開展“六藝”講座活動(dòng)，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）A.480種 B.336種 C.144種 D.96種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)，去掉其中的“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時(shí)，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B7.若直線將圓C：的面積分為，則m的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線分圓C所成劣弧所對(duì)的圓心角，表示出兩部分的面積并列式構(gòu)造函數(shù)，再借助函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】圓C圓心，半徑，設(shè)直線交圓C于點(diǎn)A，B，過(guò)C作于D，如圖，依題意，直線不過(guò)圓心，令劣弧所對(duì)圓心角，則優(yōu)弧所對(duì)圓心角大小為，，直線分圓所得較小部分的面積為，所得較大部分面積為，依題意，，即，整理得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是得，即是等腰直角三角形，，因此，圓心C到直線AB的距離，解得，所以m的值為.故選：D8.已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，A為拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)B恰好在以A，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用坐標(biāo)表示，再利用基本不等式求最值取得時(shí)的值，再結(jié)合橢圓的定義求，即可求得離心率.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，,其中，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，?dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；根據(jù)橢圓的定義可知，即，橢圓的離心率故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運(yùn)動(dòng)會(huì).自1924年起，每四年舉辦一屆.2022年2月在北京舉辦了第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，為了宣傳奧運(yùn)精神，紅星實(shí)驗(yàn)學(xué)校組織了甲乙兩個(gè)社團(tuán)，利用一周的時(shí)間對(duì)外進(jìn)行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則（）A.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)B.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差C.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)D.甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差大于乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定折線圖，計(jì)算眾數(shù)、極差、平均數(shù)、方差即可判斷作答.【詳解】觀察每天宣傳的次數(shù)頻數(shù)分布折線圖，甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)、乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的眾數(shù)分別為2，3，A正確；甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差、乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的極差分別為3，2，B正確；甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)，乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的平均數(shù)，C不正確；甲社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差，乙社團(tuán)宣傳次數(shù)的方差，D正確.故選：ABD10.在三角形中，若，，邊上的高為h，滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為n，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得外接圓，再分析高的取值范圍與三角形解的個(gè)數(shù)關(guān)系即可【詳解】作出外接圓如圖所示，為外接圓的圓心，.因?yàn)椋?，故，所以的外接圓半徑為又，所以當(dāng)時(shí)，最大為.對(duì)A，當(dāng)時(shí)，由圓的對(duì)稱性可知，此時(shí)，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，是唯一的，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，故D正確；故選：ABD11.若等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，公差為d，等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，公比為q（），若，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示出，，再求出并與已知等式比對(duì)即可分析計(jì)算作答.【詳解】依題意，，，，而，于是得，且，即，整理得：，即B，C不滿足，A，D滿足.故選：AD12.已知點(diǎn)P為正方體內(nèi)及表面一點(diǎn)，若，則（）A.若平面時(shí)，則點(diǎn)P位于正方體的表面B.若點(diǎn)P位于正方體的表面，則三棱錐的體積不變C.存在點(diǎn)P，使得平面D.，的夾角【答案】AD【解析】【分析】首先可證平面，即可得到點(diǎn)在平面上（包括邊界），通過(guò)證明平面平面判斷A，利用特殊位置判斷B，先證明平面，即可判斷C，利用空間向量法判斷D；【詳解】解：在正方體中，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以點(diǎn)在平面上（包括邊界），又，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又平面平面，所以，即位于正方體的表面，故A正確；對(duì)于B，設(shè)到平面的距離為，則顯然當(dāng)和（不包括點(diǎn)）時(shí)不一樣，則三棱錐的體積不一樣，故B錯(cuò)誤；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，若平面，則，顯然在平面上（包括邊界）不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；因?yàn)樵O(shè)，，，所以，即，又，所以，，，設(shè)所以，的夾角為，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，綜上可得，故D正確；故選：AD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是確定點(diǎn)所在位置，再結(jié)合空間向量法運(yùn)算；三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，當(dāng)時(shí)，__________.【答案】##【解析】【分析】由向量平行可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由可得，，得，故答案為：.14.已知，且，則的最小值為_________.【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為的不等式，求解不等式可得的最小值．【詳解】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，即，∴的最小值為8.故答案為：8．15.記（k，b為實(shí)常數(shù)），若，，則__________.【答案】-3或3【解析】【分析】隨機(jī)變量正態(tài)分布，則均值為，方差為；若，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的均值為，方差為，代入公式計(jì)算即可.【詳解】由題知，，則隨機(jī)變量（為實(shí)常數(shù)），服從的分布為，而又因?yàn)?，所以有，解得或，所?3或3.故答案為-3或3.16.已知正方形的邊長(zhǎng)為，兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N都在的同側(cè)（但M和N與A在的異側(cè)），點(diǎn)M，N關(guān)于直線對(duì)稱，若，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，即可得到直線、的方程，設(shè)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的計(jì)算方法求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)，則，即可得到、的關(guān)系，最后根據(jù)、在的同側(cè)得到不等式，求出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，所以直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)，則，解得，即，所以，，當(dāng)，則，，此時(shí)，此時(shí)不成立，所以，所以，即，所以，又、在的同側(cè)，所以，即，即，所以，即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍為；故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）列出關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組解方程組即可.（2）先求出，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，于是，解得，所以，，；【小問(wèn)2詳解】即，.所以，，.于是，，.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）求C；（2）若，，在角C的平分線上取點(diǎn)D，且，則點(diǎn)D是否在線段上？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦、和角的正弦公式化簡(jiǎn)給定等式，再利用正弦定理邊角互化即可求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論及已知，借助余弦定理、正弦定理、三角恒等變換求出角平分線長(zhǎng)并判斷作答.【小問(wèn)1詳解】在中，，即，有，即，由正弦定理得：，即，而，所以.【小問(wèn)2詳解】在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：，，，令角C的平分線交AB于E，則，在中，，由正弦定理得：，顯然，所以點(diǎn)D不在線段上.19.刷抖音是現(xiàn)在不少人喜愛的娛樂方式，既可以在工作之余借助其消除疲勞，還可以學(xué)會(huì)不少知識(shí)，現(xiàn)在抖音里有一款“生活常識(shí)答題”程序游戲，其規(guī)則如下：每次點(diǎn)擊開始答題后，需連續(xù)依次回答A，B，C三類題，當(dāng)回答一類題結(jié)束時(shí)會(huì)根據(jù)正確率出現(xiàn)“優(yōu)秀”或“加油”圖標(biāo)，若三類題答題結(jié)束后出現(xiàn)一個(gè)或兩個(gè)“優(yōu)秀”圖標(biāo)，則最后會(huì)顯示80分，出現(xiàn)三個(gè)“優(yōu)秀”圖標(biāo)，則顯示200分，否則會(huì)顯示-20分.小張同學(xué)正確回答A，B，C三類題出現(xiàn)“優(yōu)秀”的概率依次分別為，，.（1）記小張同學(xué)答題活動(dòng)結(jié)束出現(xiàn)“優(yōu)秀”的圖標(biāo)個(gè)數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）小張同學(xué)如果答題4次，求4次中至少有2次獲得200分的概率.【答案】（1）分布列見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出X的所有可能值，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算各個(gè)取值的概率，列出分布列并計(jì)算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用對(duì)立事件概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率列式計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，X的所有可能值為0，1，2，3，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學(xué)期望為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，小張每次獲得200分的概率為，設(shè)小張獲得200分的次數(shù)為Y，于是得，所以4次中至少有2次獲得200分的概率為.20.在四棱錐中，底面為矩形，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）在平面VAB內(nèi)過(guò)V作于O，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，底面為矩形，有，因平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)V作于，而平面平面，平面平面，則平面，在平面內(nèi)過(guò)O作，有兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，又，設(shè)，于是有，，因此有，，，而，直線的方向向量，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，顯然，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面所成銳二面角大小為，則有，由于，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍是.21.已知橢圓E：（）的離心率為，且點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E