新課程人教A版必修1全部教案

第一章集合與函數(shù)概念

§1.1集合

1.1.1集合的含義與表示（第一課時）

教學目標：1.理解集合的含義。

2.了解元素與集合的表示方法及相互關(guān)系。

3.熟記有關(guān)數(shù)集的專用符號。

4.培養(yǎng)學生認識事物的能力。

教學重點：集合含義

教學難點：集合含義的理解

教學方法：嘗試指導法

教學過程：

引入問題

（I）提出問題

問題1:班級有20名男生，16名女生，問班級一共多少人？

問題2:某次運動會上，班級有20人參加田賽，16人參加徑賽，問一共多少人參加比賽？

討論問題：按小組討論。

歸納總結(jié)：問題2已無法用學過的知識加以解釋，這是與集合有關(guān)的問題，因此需用集合的語言加以描述

（板書標題卜

復習問題

問題3:在小學和初中我們學過哪些集合？（數(shù)集，點集\如自然數(shù)的集合，有理數(shù)的集合，不等式x-7<3

的解的集合，到一個定點的距離等于定長的點的集合，到一條線段的兩個端點距離相等的點的集合等等b

(II)講授新課

1.集合含義

觀察下列實例

(1)1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；

(2)我國從1991-2003年的13年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星；

(3)金星汽車廠2003年生產(chǎn)的所有汽車；

(4)2004年1月1日之前與我國建立外交關(guān)系的所有國家；

(5)所有的正方形；

(6)到直線/的距離等于定長d的所有的點；

(7)方程Y+3x—2=0的所有實數(shù)根；

(8)銀川九中2004年8月入學的高一學生全體。

通過以上實例，指出：

(1)含義：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集卜

說明：在初中幾何中，點，線，面都是原始的，不定義的概念，同樣集合也是原始的，不定義的概念，

只可描述，不可定義。

(2)表示方法：集合通常用大括號｛｝或大寫的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小寫的拉丁字母

a,b,c…表示°

問題4：由此上述例中集合的元素分別是什么？

2.集合元素的三個特征

問題：

(1)A=｛1,3｝，問3、5哪個是A的元素？

(2)A=｛所有素質(zhì)好的人｝,能否表示為集合？B=｛身材較高的人｝呢？

(3)A=｛2,2,4｝,表示是否準確？

(4)A=｛太平洋，大西洋｝,B=｛大西洋，太平洋｝,是否表示為同一集合？

由以上四個問題可知，集合元素具有三個特征：

(1)確定性：

設(shè)A是一個給定的集合，a是某一具體的對象，則a或者是A的元素，或者不是A的元素，兩種情

況必有一種而且只有一種成立。

如r地球上的四大洋”(太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋)

“中國古代四大發(fā)明”(造紙，印刷，火藥，指南針)可以構(gòu)成集合，其元素具有確定性；而，比較大的數(shù)”,

“平面點P周圍的點”一般不構(gòu)成集合

元素與集合的關(guān)系:(元素與集合的關(guān)系有“屬于e”及“不屬于任兩種)

若a是集合A中的元素，則稱a屬于集合A,記作aeA;

若a不是集合A的元素，則稱a不屬于集合A,記作aeA。

如A=｛2,4,8,16｝,則4eA,8eA,32eA.(請學生填充)。

(2)互異性：即同一集合中不應(yīng)重復出現(xiàn)同一元素。

說明:一個給定集合中的元素是指屬于這個集合的互不相同的對象.因此，以后提到集合中的兩個元素時,

一定是指兩個不同的元素.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示為｛1,-2｝，而不是｛1,1,-2｝

(3)無序性：即集合中的元素無順序，可以任意排列，調(diào)換

3.常見數(shù)集的專用符號

N:非負整數(shù)集(自然數(shù)集)

N*或N+:正整數(shù)集，N內(nèi)排除0的集

Z:整數(shù)集

Q:有理數(shù)集

R:全體實數(shù)的集合

(III)課堂練習

1.課本P213中的思考題

2.補充練習：

(1)考察下列對象是否能形成一個集合？

①身材高大的人②所有的一元二次方程

③直角坐標平面上縱橫坐標相等的點④綱長的矩形的全體

⑤比2大的幾個數(shù)⑥形的近似值的全體

⑦所有的小正數(shù)廣⑧所有的數(shù)學難題

(2)給出下面四個關(guān)系:Q€旦0.7右0,0€{0},0€凡其中正確的個數(shù)是:()

A.4個B.3個C.2個D.1個

(3)下面有四個命題：

①若-aeN,則aeN②若aeN,beN,則a+b的最小值是2

③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示為{2,2}

其中正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

(IV)課時小結(jié)

1.集合的含義；

2.集合元素的三個特征中，確定性可用于判定某些對象是否是給定集合的元素，互異性可用于簡化集

合的表示，無序性可用于判定集合的關(guān)系。

3.常見數(shù)集的專用符號.

(V)課后作業(yè)

一、書面作業(yè)

1.教材PH,習題1.1A組第1題

2.由實數(shù)-a,a,根|,62,-遍＞為元素組成的集合中，最多有幾個元素？分別為什

么？

3.求集合{2a,a2+a}中元素應(yīng)滿足的條件？

4.若上1e{t},求t的值.

1+t

1.1.1集合的含義與表示（第二課時）

教學目標：

1.掌握集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）

2.通過實例能使學生選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受

集合語言的意義和作用

教學重點：集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）

教學難點：集合的兩種常用表示方法（列舉法和描述法）的理解

教學方法：嘗試指導法和討論法

教學過程：

（I）復習回顧

問題1:集合元素的特征有哪些？怎樣理解，試舉例說明.

問題2:集合與元素關(guān)系是什么？如何表示？

問題3:常用的數(shù)集有哪些？如何表示？

（II）引入問題

問題4:在初中學正數(shù)和負數(shù)時，是如何表示正數(shù)集合和負數(shù)集合的？如表示下列數(shù)中的正數(shù)

4.8,-3,,-0.5,-,+73,3.1

3

方法1:

方法2:{4.8,+73,3.1}

問題5:在初中學習不等式時，如何表示不等式x+3<6的解集？（可表示為:x<3）

（III）講授新課

一、集合的表示方法

問題4中，方法1為圖示法，方法2為列舉法.

1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號里的方法.

說明：(1)書寫時，元素與元素之間用逗號分開；

(2)一般不必考慮元素之間的順序；

(3)在表示數(shù)列之類的特殊集合時,通常仍按慣用的次序；

(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能時，可以列出該集合的一部分元素，以提供某種規(guī)律,

其余元素以省略號代替；

例1.用列舉法表示下列集合：

(1)小于5的正奇數(shù)組成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；

(3)從51到100的所有整數(shù)的集合；

(4)小于10的所有自然數(shù)組成的集合；

(5)方程/的所有實數(shù)根組成的集合；

(6)由1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成的集合。

問題6:能否用列舉法表示不等式x-7<3的解集？由此引出描述法。

2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共屬性描述出來，寫在

大括號里的方法)。

表示形式:A={xIp},其中豎線前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共屬性；A={x

Ip}表示集合A是由所有具有性質(zhì)P的那些元素x組成的，即若x具有性質(zhì)p,則xeA;若xeA,則

x具有性質(zhì)po

說明：(1)有些集合的代表元素需用兩個或兩個以上字母表示；

(2)應(yīng)防止集合表示中的一些錯誤。

如，把{(1,2)}表示成{1,2}或{x=1,y=2},{xI1,2},用{實數(shù)集}或{全體實數(shù)}表示R。

例2.用描述法表示下列集合：

(1)由適合x2-x-2>0的所有解組成的集合；

(2)到定點距離等于定長的點的集合；

(3)拋物線y=x2上的點；

(4)拋物線y=x2上點的橫坐標；

(5)拋物線y=x2上點的縱坐標；

例3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

(1)方程2=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合。

二、集合的分類

例4.觀察下列三個集合的元素個數(shù)

1.{4.8,7.3,3.1,-9};2.{xeRI0<x<3};3.{xeRIx2+1=0}

由此可以得到

,有限集含有有限個元素的集合

集合的分類無限集含有無限個元素的集合

空集不含有任何元素的集合0(empfy-sef)

三、文氏圖

集合的表示除了上述兩種方法以外，還有文氏圖法，敘述如下：

畫一條封閉的曲線,用它的內(nèi)部來表示一個集合，如圖所示：

圖1—1圖1—2

表示任意一個集合A表示{3,9,27}

說明：邊界用直線還是曲線，用實線還是虛線都無關(guān)緊要，只要封閉并把有關(guān)元素統(tǒng)統(tǒng)包含在里邊

就行，但不能理解成圈內(nèi)每個點都是集合的元素.

(IV)課堂練習

1.課本P4思考題和P6思考題及練習題。

2.補充練習

(x+y=2

U-y=5

a.方程組的解集用列舉法表示為；用描述法表示

為.

b.{(x,y)Ix+y=6,x、yeN}用列舉法表示為.

c.用列舉法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集？

(1){xIx為不大于20的質(zhì)數(shù)};(2){100以下的,9與12的公倍數(shù)};

(3){(x,y)Ix+y=5,xy=6};

d.用描述法表示下列集合，并說明是有限集還是無限集？

⑴{3,5,7,9};(2){偶數(shù)};

(3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),...);

e.判斷下列集合是有限集還是無限集或是空集？

(1){2,4,6,8....};(2){x|1<x<2};

(3){xeZI-1<x<20};(4){XGNI3<x<4};

f.判斷下列關(guān)系式是否正確？

(1)2eQ;(2)NeR;(3)2e{(2.1)}

(4)2e{{2},{1});年(5)菱形e{四邊形與三角形};(6)2e{yIy=x2};

(V)課時小結(jié)

1.通過學習清楚表示集合的方法，并能靈活運用。

2.注意集合0在解決問題時所起作用。

(VI)課后作業(yè)

1.書面作業(yè)：課本P”習題1.1A組題第2、3、4題。

1.1.2集合間的基本關(guān)系（1課時）

教學目標：1.理解子集、真子集概念；

2.會判斷和證明兩個集合包含關(guān)系；

3.理解“”的含義；

4.會判斷簡單集合的相等關(guān)系；

5.滲透問題相對的觀點。

教學重點：子集的概念、真子集的概念

教學難點：元素與子集、屬于與包含間區(qū)別、描述法給定集合的運算

教學方法：講、議結(jié)合法

教學過程：

(I)復習回顧：問題1:元素與集合之間的關(guān)系是什么？

問題2:集合有哪些表示方法？集合的分類如何？

(II)講授新課

觀察下面幾組集合，集合A與集合B具有什么關(guān)系？

⑴人d,2,3},B={1,2,3,4,5).

(2)A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.

(3)A={正方形},B={四邊形}.

(4)A=0,B={0}.

(5)A={銀川九中高一(11)班的女生},B={銀川九中高一(11)班的學生}

通過觀察就會發(fā)現(xiàn)，這五組集合中，集合A都是集合B的一部分，從而有：

1.子集

定義：一般地，對于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元

素，我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,記作A=B(或B=A)，即若

任意xeA,有XGB,則AqB(或AuB)。

這時我們也說集合A是集合B的子集。

如果集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,就記作AB(或BA),即:若存

在xeA,有x任B,貝ijAB(或BA)

說明：A[B與B=A是同義的，而A=B與B=A是互逆的。

規(guī)定:空集。是任何集合的子集，即對于任意一個集合A都有0qA。

例1.判斷下列集合的關(guān)系.

⑴NZ;(2)NQ;⑶RZ;(4)RQ;

(5)A={x|(x-1)2=0},B={y|y2-3y+2=0}；

(6)A={1,3},B={x|x2-3x+2=0};

⑺人十/},B={x|x2-1=0};

(8)A={x|x是兩條邊相等的三角形}B={x|x是等腰三角形}。

問題3:觀察（7）和（8）,集合A與集合B的元素，有何關(guān)系？

n集合A與集合B的元素完全相同，從而有:

2.集合相等

定義對于兩個集合A與B如果集合A的任何一個元素都是集合B的元氟即A=B）,

同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素（即B￡A）,則稱集合A等于集合B,記

作A=B。如:A={x|x=2m+1,meZ},B={x|x=2n-1,neZ},此時有A=BO

問題4:（1）集合A是否是其本身的子集？（由定義可知，是）

（2）除去。與A本身外，集合A的其它子集與集合A的關(guān)系如何？（包含于A,但不等于A）

3.真子集：由“包含”與“相等”的關(guān)系,可有如下結(jié)論:

（1）AqA（任何集合都是其自身的子集）；

（2）若A=B，而且A*B（即B中至少有一個元素不在A中），則稱集合A是集合B的真子集，記作

AEB。（空集是任何非空集合的真子集）

（3）對于集合A,B,C,若AB,BC,即可得出AC;對AEB,BEC,同樣有AEC,即：包含

關(guān)系具有“傳遞性

4.證明集合相等的方法：

（1）證明集合A,B中的元素完全相同；（具體數(shù)據(jù)）

(2)分別證明AqB和BcA即可。(抽象情況)對于集合A,B,若AgB而且BcA,則A=B0

(III)例題分析：

例2.判斷下列兩組集合是否相等？

(1)A={x|y=x+1}與B={yly=x+1}；(2)A={自然數(shù)}與B={正整數(shù)}

例3.(教材P7例3)寫出{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.

例4.解不等式x-3>2,并把結(jié)果用集合表示。

結(jié)論：一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個，其

非空子集數(shù)為2n-1個，其非空真子集數(shù)為2n-2個，特別地，空集的子集個數(shù)為1,X

子集個數(shù)為Oo

(IV)課堂練習

1.課本P7,練習1、2、3;

2.設(shè)A={0,1},B={x|xqA},問A與B什么關(guān)系?

3.判斷下列說法是否正確？

(1)NGZCQCR;(2)0uAuA;

(3){圓內(nèi)接梯形}。{等腰梯形};(4)NeZ;

(5)0e{0};(6)0=0}

4.有三個元素的集合A,B,已知A={2,x,y},B={2x,2,2y},且A=B,求x,y

的值。

(V)課時小結(jié)

1.能判斷存在子集關(guān)系的兩個集合，誰是誰的子集，進一步確定其是否為真子集；

注意：子集并不是由原來集合中的部分元素組成的集合。(因為，空集是任何集合的子集”，但空集中

不含任何元素；'A是A的子集”，但A中含有A的全部元素，而不是部分元素卜

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

3.注意區(qū)別“包含于”:‘包含"，“真包含”，“不包含”；

4.注意區(qū)別“e”與“工”的不同涵義。(0與｛0｝的關(guān)系)

(VI)課后作業(yè)

1.書面作業(yè)

(1)課本P12,習題1.1A組題第5、6題。

(2)用圖示法表示(1)A@B(2)AB

1.1.3集合間的基本運算(1課時)

教學目標：1.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；

2.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集；

3.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用；

4.認識由具體到抽象的思維過程，并樹立相對的觀點。

教學重點：交集與并集概念、補集的概念、數(shù)形結(jié)合的運用

教學難點：理解交集與并集概念、符號之間的區(qū)別與聯(lián)系，補集的有關(guān)運算

教學方法：發(fā)現(xiàn)式教學法

教學過程：

(I)復習回顧

問題1:(1)分別說明AqB與A=B的意義；

(2)說出集合｛1,2,3｝的子集、真子集個數(shù)及表示；

（II）講授新課

問題2:觀察下面五個圖（投影1）,它們與集合A,集合B有什么關(guān)系？

圖1—5（1）給出了兩個集合A、B;

圖（2）陰影部分是A與B公共部分；

圖（3）陰影部分是由A、B組成；

圖（4）集合A是集合B的真子集；

圖（5）集合B是集合A的真子集；

指出：圖（2）陰影部分叫集合A與B的交集；圖（3）陰影部分叫集合A與B的并集.由此可有:

1.并集：

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與集合B的并

集，即A與B的所有部分，記作AUB（讀作“A并B"）,即AUB={X|XGA或xeB}o如上述圖

（3）中的陰影部分。

2.交集：

一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的所有元素所組成的集合，叫做A與B的交集，

即A與B的公共部分，記作AnB（讀作“A交B"）即AnB={x|xeA且xeB}。如上述圖（2）

中的陰影部分。

3.一些特殊結(jié)論

由圖1—5（4）有：若AqB廁AnB=A;

由圖1—5（5）有：若B=A廁AuB=A;

特別地，若A,B兩集合中，B=0,，則An0=0,Au0=AO

4.例題解析（師生共同活動）

例1.設(shè)A={x|x>-2},B={x|x<3},求AnBo

［涉及不等式有關(guān)問題，利用數(shù)形結(jié)合即運用數(shù)軸是最佳方案］（圖1圖1—6

解：在數(shù)軸上作出A、B對應(yīng)部分如圖AnB={x|x>-2}n{x|x<3}={x|-2<x<3}o

例2.設(shè)A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求AnBo

［此題運用文氏圖，其公共部分即為AnB］.（圖1一7）

解：AnB={x|x是等腰三角形}n{x|x是直角三角形}

={x|x是等腰直角三角形}。

例3.設(shè)A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AuBo

［運用文氏圖解答該題］（圖1-8）

解:vA={4,5,6,8},B={3,5,7,8},則AuB={4,5,6,8}u{3,5,7,8}={3,4,

5,6,7,8}o

例4.設(shè)A=｛x|x是銳角三角形｝,B=｛x|x是鈍角三角形｝,求AuBo

解：AuB=｛x|x是銳角三角形｝u｛x|x是鈍角三角形｝二｛x|x是斜三角形｝。

例5.設(shè)A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},AuBo

［利用數(shù)軸，將A、B分別表示出來，則陰影部分即為所求］（圖1

-11a3兒

-9)

圖1—9

解:AuB={x|-1<x<2}u{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.

例6.教材Pg例7。

問題3:請看下例

A=｛班上所有參加足球隊同學｝

B=｛班上沒有參加足球隊同學｝

圖1-3

S=｛全班同學｝

那么S、A、B三集合關(guān)系如何.

分析.?（借助于文氏圖）集合B就是集合S中除去集合A之后余下來的集合，則有

5.全集

如果一個集合含有我們所要研究問題中所涉及的全部元素，那么就稱這個集合為全

集，記作U。如：解決某些數(shù)學問題時，就可以把實數(shù)集看作全集U,那么有理數(shù)集Q的

補集CuQ就是全體無理數(shù)的集合。

6.補集(余集)

一般地，設(shè)U是一個集合，A是U的一個子集(即AS),由U中所有不屬于A的

元素組成的集合，叫做U中集合A的補集(或余集)，記作CuA,即CuA={x|xeU，且xA)

圖1—3陰影部分即表示A在U中補集CuAo

7.舉例說明

例7、例8見教材P*例8、例9。

補充例題：解答下列各題：

(1)若S={2,3,4},A={4,3},則CSA={2};

(2)若S={三角形},B={銳角三角形},則CsB={直角三角形或鈍角三角形};

(3)若S={1,2,4,8},A=0,則CSA=S_;

(4)若U={1,3,a2+2a+1},A={1,3},CuA={5},則a=」土匠;

(5)已知A={0,2,4},CuA={-1,1},CuB={-1,0,2},求B={1,4};

(6)設(shè)全集U={2,3,m2+2m-3},A={|m+1|,2},CuA={5},求m的值；(m=-4或

m=2)

(7)已知全集U={1,2,3,4},A={x|x2-5x+m=0,xeU},求CuA、m;(答案:CuA={2,

3},m=4;CuA={1,4},m=6)

(8).已知全集U=R,集合A={x|0<x-1K5},求CuA,Cu(CuA)o

(III)課堂練習：

(1)課本PH練習1—4；

(2)補充練習：

1,已知M={1},N={1,2},設(shè)A={(x,y)|xeM,yeN},B={(x,y)|xeN,yeM},求AnB,AuB。［An

B={(1.1)}.AUB={(1.1),(1,2),(2,1)}]

2.已知集合M={4,7,8},且M中至多有一個偶數(shù)，則這樣的集合共有()；

A3個B4個C6個D5個

3.設(shè)集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若Bw0,且BqA,求a,b的值。

(IV)課時小結(jié)

1.在并、交問題求解過程中，充分利用數(shù)軸、韋恩圖。

2.能熟練求解一個給定集合的補集；

3.注重一些特殊結(jié)論在以后解題中應(yīng)用。(如:Cu(CuA)=A)

(V)作業(yè)

1.書面作業(yè)

課本P12,習題1.1A組題第7—10題。

2.復習作業(yè)：

課本P12,習題1.1B組題及后面的“閱讀與思考”——集合中元素的個數(shù)。

1.2.1函數(shù)的概念（2課時）

教學目標：1.通過豐富實例，進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型。

2.了解對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用。

3.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域。

教學重點：函數(shù)概念和函數(shù)定義域及值域的求法。

教學難點：函數(shù)概念的理解。

教學方法：自學法和嘗試指導法

教學過程：

（I）引入問題

問題1初中我們學過哪些函數(shù)？（正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)）

問題2初中所學函數(shù)的定義是什么？（設(shè)在某變化過程中有兩個變量x和y,,如果給定了一個x的

值，相應(yīng)地確定唯一的一個y值，那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，丫是因變量卜

（II）函數(shù)感性認識

教材例子（1）:炮彈飛行時間的變化范圍是數(shù)集A={x|0KxW26},炮彈距地面的高度h的變化范

圍是數(shù)集8={川0W//V845},對應(yīng)關(guān)系6=130f—5f2（*卜從問題的實際意義可知，對于數(shù)集A中的

任意一個時間t,按照對應(yīng)關(guān)系（*）,在數(shù)集B中都有唯一確定的高度h和它對應(yīng)。

例子（2）中數(shù)集A=M1979Wf<2001},8={S|04S<26},并且對于數(shù)集A中的任意一個時間

t,按圖中曲線，在數(shù)集B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應(yīng)。

例子（3）中數(shù)集A={1991,1992,…,2001},B={53.8,52.9,…,37.9（%）},且對于數(shù)集A中的每一

個時間（年份），按表格，在數(shù)集B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)和它對應(yīng)。

(III)歸納總結(jié)給函數(shù)“定性”

歸納以上三例，三個實數(shù)中變量之間的關(guān)系都可以描述為兩個數(shù)集A、B間的一種對應(yīng)關(guān)系：對數(shù)集

A中的每一個x,按照某個對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應(yīng)，記作

(IV)理性認識函數(shù)的定義

設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B

中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f8為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作

y=f(x),xeA，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y的值叫做

函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域。

定義域、值域、對應(yīng)法則，稱為函數(shù)的三個要素，缺一不可；

(1)對應(yīng)法則f(x)是一個函數(shù)符號，表示為“y是x的函數(shù)”，絕對不能理解為“y等于f與x的乘積”，在不

同的函數(shù)中，f的具體含義不一樣；

y=f(x)不一定是解析式，在不少問題中，對應(yīng)法則f可能不便使用或不能使用解析式，這時就必須采

用其它方式，如數(shù)表和圖象，在研究函數(shù)時，除用符號f(x)表示外，還常用g(x)、F(x)、G(x)等符號來表示；

自變量x在其定義域內(nèi)任取一個確定的值a時對應(yīng)的函數(shù)值用符號f(a)來表示。如函數(shù)f(x)=x2+3x+1,

當x=2時的函數(shù)值是:*2)=22+3x2+1=11。

注意：f(a)是常量，f(x)是變量，f(a)是函數(shù)f(x)中當自變量x=a時的函數(shù)值。

(2)定義域是自變量x的取值范圍；

注意：①定義域不同，而對應(yīng)法則相同的函數(shù)，應(yīng)看作兩個不同函數(shù)；

如:y=x2(xeR)與y=x2(x>0);y=1與y=x°

②若未加以特別說明，函數(shù)的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數(shù)x的集合；在實際中，

還必須考慮x所代表的具體量的允許值范圍；

如：一個矩形的寬為xm,長是寬的2倍，其面積為y=2x2,此函數(shù)的定義域為x>0,而不是xeRo

(3)值域是全體函數(shù)值所組成的集合，在大多數(shù)情況下，一旦定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)的值域也隨

之確定。

(V)區(qū)間的概念

設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b,規(guī)定：

(1)滿足不等式a<x<b的實數(shù)的x集合叫做閉區(qū)間，表示為[a,b];

(2)滿足不等式a<x<b的實數(shù)的x集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b);

(3)滿足不等式a?x<b的實數(shù)的x集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為[a,b);

(4)滿足不等式a<x4b的實數(shù)的x集合叫做也叫半開半閉區(qū)間，表示為(a,b];

說明:①對于[a,b],(a,b),[a,b),(a,b]都稱數(shù)a和數(shù)b為區(qū)間的端點，其中a為左端點，b為右端

點，稱b-a為區(qū)間長度；

②引入?yún)^(qū)間概念后，以實數(shù)為元素的集合就有三種表示方法：

不等式表示法：3<x<7(一般不用);集合表示法：{x|3<x<7};區(qū)間表示法：(3,7);

③在數(shù)軸上，這些區(qū)間都可以用一條以a和b為端點的線段來表示，在圖中，用實心點表示包括

在區(qū)間內(nèi)的端點，用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點；

(4)實數(shù)集R也可以用區(qū)間表示為(7,+8)讀作“無窮大讀作“負無窮大”，

“+一讀作“正無窮大”，還可以把滿足x2a,x>a,xWb,x<b的實數(shù)x的集合分別表示為舊,+回、(a,+oo\(…⑼、

(-?,b)o

例題分析：

例1.已知函數(shù)/。)=而5+—1—,(教材第17頁例1)

x+2

(1)求函數(shù)的定義域；

2

(2)求/(—3)J1)的值；

(3)當a>0時，求f(a),f(a-1)的值。

分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定，如前述的三個實例。如果只給出解析式y(tǒng)=/(x),

而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合。(解略)

例2.求下列函數(shù)的定義域。

(1)/W=----；(2)/(X)=V^4+V7T2;(3)/(X)=VTH+--

(l-2x)(x+l)2-x

分析.?給定函數(shù)時，要指明函數(shù)的定義域，對于用解析式表示的函數(shù)，如果沒有給出定義域，那么就認為

函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量取值的集合。

從上例可以看出，當確定用解析式y(tǒng)=f(x)表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種情況：

(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;

(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；

(3)如果找x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合；

(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)的集合

(即使每個部分有意義的實數(shù)的集合的交集)；

(5)如果f(x)是由實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù)的集

4口o

由以上分析可知：函數(shù)的定義域由數(shù)學式子本身的意義和問題的實際意義決定。

例3.下列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一函數(shù)？(書Pi8例2)

2

(1)y=(Vx)2;⑵丫二^^；⑶y=V^;(4)y=y=一.

x

分析.,判斷兩個函數(shù)是否相同，要看定義域和對應(yīng)法則是否完全相同。只有完全一致時，這兩個函數(shù)才

算相同。(解略)

課堂練習：課本P19練習1、2、3o

課時小結(jié)：

本節(jié)課我們學習了函數(shù)的定義(包括定義域、值域的概念)及求函數(shù)定義域的方法。函數(shù)定義中注意的問

題及求定義域時的各種情形應(yīng)該予以重視。

課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：課本P24習題1.2A組題第1,2,3,4題；B組第1、2題。

1.2.2函數(shù)的表示方法(第一課時)

教學目標：1.進一步理解函數(shù)的概念；

2.使學生掌握函數(shù)的三種表示方法;

教學重點：函數(shù)的表示方法

教學難點：函數(shù)三種表示方法的選擇

教學方法：自學法和嘗試指導法

教學過程：

(I)引入問題

1.回憶函數(shù)的兩種定義；

2.函數(shù)的三要素分別是什么？

x~+2,(x<2)

3.設(shè)函數(shù)/(x)=1'一，則/(—4)=______，若/(x0)=8,貝ijx0=_______.

2x(x>2)

(II)講授新課

函數(shù)的三種表示方法

(1)解析法(將兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式表示)：

如y=3x2+2x+1,S=7tr",C=2?rr,S—6廠等。

4(簡明，全面地概括了變量間的關(guān)系；

4TTv

.I可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值；

(2)列表法(列出表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系)：

如：平方表，三角函數(shù)表，利息表，列車時刻表，國民生產(chǎn)總值表等。

優(yōu)點：不需要計算，就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值。

(3)圖象法(用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系)：

如

優(yōu)點：直觀形象地表示自變量的變化。

(川)例題分析：

例1(書P19).某種筆記本的單價是5元，買x(xe{1,2,3,4,5}個筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種

表示法表示函數(shù)y=/(x)。

解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5},用解析法可以將函數(shù)y=/(x)表示為

y=5x,xe{1,2,3,4,5}o

用列表法可以將函數(shù)y=/(x)表示為

筆記本數(shù)X12345

錢數(shù)y510152025

圖象法略。

說典.,函數(shù)的圖象通常是一段或幾段光滑的曲線，但有時也可以由一些孤立點或幾段線段組成。

例2.下表是某校高一(1)班三名同學在高一年度六次數(shù)學測試的成績及班級平均分表。

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班級平均分88.278.385.480.375.782.6

請你對這三位同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析。

分析：畫出“成績”與“測試時間”的函數(shù)圖象，可以直觀地看出：王偉同學的數(shù)學學習成績始終高于班級

平均水平，學習情況比較穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀。張城同學的數(shù)學成績不穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，

而且波動幅度較大。趙磊同學的數(shù)學學習成績低于班級平均水平，但他的成績曲線呈上升趨勢，表明他的

數(shù)學成績在穩(wěn)步提高。

(IV)課堂練習：課本P23練習1、2o

(V)課時小結(jié)：

本節(jié)課我們學習了函數(shù)的表示方法。

(VI)課后作業(yè)

1、書面作業(yè)：課本P24習題1.2第5、6、8題。

1.2.2函數(shù)的表示方法(第二課時)

教學目標：1.進一步理解函數(shù)的概念；

2.使學生掌握分段函數(shù)及其簡單應(yīng)用。

教學重點：分段函數(shù)的理解

教學難點：分段函數(shù)的圖象及簡單應(yīng)用

教學方法：自學法和嘗試指導法

教學過程：

(I)引入問題

1.函數(shù)有幾種常用的表示方法？它們分別是哪幾種？

2.如何作出函數(shù)y=|x|的圖象？

(II)餅授新課

例1.作出函數(shù)y=|x|的圖象和y=|x—l|的圖象，并分別求出函數(shù)的值域。

注：分段函數(shù)的定義域和值域分別是各段函數(shù)的定義域和值域的并集。

例2.國內(nèi)投寄信函(外埠)，假設(shè)每封信函不超過20g時付郵資80分；超過20g不超過40g時付郵資

160分；依次類推，每封xg(0<x<100)的信函付郵資為：

80(xG(0,20))

160(xe(20,40])

y=<240(xG(60,80]),畫出這個函數(shù)的圖象。

320(xe(60,80])

400(xe(80,100])

說明.?表示函數(shù)的式子也可以不止一個（如例1與例2）,對于這類分幾個式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。

注意它是一個函數(shù)，不要把它誤認為是“幾個函數(shù)

例3.（教材P2i例6）

例4.作出下列各函數(shù)的圖象：

-(0<%<1)x2+2x(x>0)

(1)/3)=〈X(2)/(x)=

~x~—2x(x<0)

x(x>1)

對第（2）小題的函數(shù)，試根據(jù)。的取值討論方程/（x）=a的根的個數(shù)問題。

練習：

x+2（x<—1）

1.在函數(shù)/（幻=卜（_]<x<2）中，若f（x）=3,則x的值為,

2x（尤>2）

x+l（x>0）

2.已知/（x）=<乃（x=0），則/{/"（一1）]}=。

0（x<0）

作業(yè)：課本P24習題1.2第7、9題。

1.2.2函數(shù)的表示方法（第三課時）

教學目標：1.使學生了解映射的概念、表示方法；

2.使學生了解象、原象的概念；

3.使學生通過簡單的對應(yīng)圖示了解一一映射的概念;

4.使學生認識到事物間是有聯(lián)系的，對應(yīng)、映射是一種聯(lián)系方式。

教學重點：映射、一一映射的概念

教學難點：映射、一一映射的概念

教學方法：講授法

教學過程：

(I)復習回顧

1:前面學習的元素與集合的關(guān)系、'：""，集合與集合的關(guān)系崢"、蹤”；

2:在初中學過一些對應(yīng)的例子

(1)對于任何一個實數(shù)，數(shù)軸上都有唯一的點和它對應(yīng)；

(2)對于坐標平面內(nèi)的任何一個點，都有唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應(yīng);

(3)對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應(yīng)；

(4)對于任意一個二次函數(shù)，相應(yīng)坐標平面內(nèi)都有唯一的拋物線和它對應(yīng)。

(II)講授新課

1.映射的概念

a.觀察下列對應(yīng):(為簡明起見，這里的A、B都是有限集合)

A弁平方BA求正建B

3

9

-32

4二

一

二

1-Z1

一T

C17

差

12

3

-12-4

4

5

9

-26

4:

3

（對每個對應(yīng)都要強調(diào)對應(yīng)法則，集合順序）

問題1:這四個對應(yīng)的共同特點是什么？

對于集合A中的任何一個元素，按照某種對應(yīng)法則f,在集合B中都有確定的元素和它對應(yīng)。

問題2:觀察圖（2卜（3卜（4）,想一想這三個對應(yīng)有什么共同特點？

這三個對應(yīng)的共同特點是：對于左邊集合A中的任何一個元素，按照某種對應(yīng)法則/,在右邊集合B中都

有唯一的元素和它對應(yīng)。

b.映射的定義

一般地，設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則/，對于集合A中的任何一個元素，

在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A、B及A到B的對應(yīng)

法則f）叫做集合A到集合B的映射。記作：f:A-B

由此定義:（2）,（3）,（4）三個對應(yīng)都是A到B的映射，（1）的對應(yīng)不是A到B的映射。

（2）f:x->sinx;（3）f:x-x2;（4）f:x—>2x

c.象，原象的概念

給定一個集合A到集合B的映射，且aeA,beBo如果在對應(yīng)法則f的作用下，元素a

和元素b對應(yīng)，則元素b叫做元素a（在f下）的象，元素a叫做元素b（在f下）的原象。

注意：（1）映射有三個要素：兩個集合，一種對應(yīng)法則，缺一不可；

（2）A,B可以是數(shù)集，也可以是點集或其它集合。這兩個集合具有先后順序：符號"f:A-B”表示A到B

的映射，符號"f：BfA”表示B到A的映射，兩者是不同的；

（3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的（因此（1）不可以構(gòu)成映射），但兩個（或兩個以上）

元素可以允許有相同的象（如圖（3））;

例f'A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒數(shù)”就不可以構(gòu)成映射，因為A中元素0在B中無象（4）集合B中的元

素在A中可以沒有原象(如圖(4)),即使有也可以不唯一(如圖(3));

(5)A={原象},Bn{象}。

d.例題分析：

例：判斷下面的對應(yīng)是否為集合A到集合B的映射，并說明理由(投影3b

(1