中考數(shù)學平行四邊形(講義及答案)及解析

中考數(shù)學平行四邊形（講義及答案）及解析

一、選擇題

1.如圖，正方形ABC。的邊長為定值，E是邊CZ）上的動點（不與點C,D重合），AE

交對角線于點F,FGLAE交BC于點、G,6"1_8。于點次連結AG交50于點

N.現(xiàn)給出下列命題：①Af=bG；②DF=DE；③FH的長度為定值；

④GE=BG+DE：（§）BN2+DF2=NF2.真命題有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

2.如圖，在平行四邊形A8CO中，NBC￡>=30°,BC=6,CD=6G,E是邊上的

中點，尸是AB邊上的一動點，將AAEF沿EF所在直線翻折得到AA'EE,連接AC,則

A.3719B.3舊C.3>/19-3D.673

3.將兀個邊長都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點4、及、…、4”分別是正方形

對角線的交點，則2019個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）

2019

C.—cm2

4

4.如圖，菱形ABCD的邊，AB=8,N8=60,P是AB上一點，BP=3,。是CO

邊上一動點，將梯形APQO沿直線PQ折疊，A的對應點A'.當C4'的長度最小時,

C'Q的長為（）

DO

P-B

A.5

5.如圖所示，在RfAABC中，NABC=90°，ABAC=30°?分別以直角邊A3、斜邊

AC為邊，向外作等邊AA8。和等邊A4CE,尸為AC的中點，DE與AC交于點0,

。產(chǎn)與A8交于點G.給出如下結論：①四邊形AOFE為菱形；②AB；

（§）AO=-AE；@CE=4FG；其中正確的是（）

C

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

6.如圖所示，在周長是10cm的ABC￡>中，ABAD,AC>3。相交于點。，點E

在AO邊上，且OEL3D,是AABE的周長是（）

B

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.如圖，四邊形ABC。為平行四邊形，ND為銳角，Nfi4Z）的平分線AE交CO于點

F,交BC的延長線于點E,且=若A8=25,A8CO面積為300,則AR

的長度為（）

8.如圖，點A,8,E在同一條直線上，正方形ABC。、正方形BEFC的邊長分別為

2、3,H為線段。尸的中點，則的長為（）

A后RV26

22

nV29

22

9.如圖，在邊長為2的等邊三角形ABC中，D為邊BC上一點,且80=‘CO.點

2

E,F分別在邊AB,AC上，且/皮甲=90°,M為邊E尸的中點，連接CM交。產(chǎn)

于點N.若DFHAB,則CM的長為()

BDc

A.—\/3B.—>/3C.—>/3D.V3

346

10.如圖，在正方形ABCD中，E是BC邊上的一點，BE=4,EC=8,將正方形邊AB延AE折

疊刀AF,延長EF交DC于G,連接AG,現(xiàn)在有如下結論：①NEAG=45°；②GC=CF；

③FC〃AG；@SAGFC=14.4；其中結論正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空題

11.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起,若重合部分構成的四邊形A5CO中,

=3,AC=2,則8￡)的長為

12.如圖，在矩形ABCD中，NBAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,點G

是EF的中點，連接CG,BG,BD,DG,下列結論：①BC=DF；②N￡)GR=135°;

325

(§)BG±DG；?AB——AD,則SBDG=—SFDG,正確的有__________________.

44

13.如圖，菱形A8CO的邊長是4,NABC=60°,點E,尸分別是AB,8c邊上的

動點(不與點A,B>C重合)，且BE=BF,若EG//BC,FGHAB,EG與FG相

交于點G,當AOG為等腰三角形時，3E的長為.

14.菱形A8CD的周長為24,ZABC=60°,以AB為腰在菱形外作底角為45。的等腰AABE,

連結AC,CE,則4ACE的面積為.

15.如圖，nABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則2PB+PD

的最小值等于.

DP

AB

16.已知I：一組鄰邊分別為6c6和10cm的平行四邊形A5CO,NOA8和NABC的平分

線分別交CO所在直線于點E，F(xiàn),則線段EE的長為cm.

17.如圖，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延長BE交A。于點延長CE交A。

于點F,過點E作EN工BE,交BA的延長線于點N,FE=2,AN=3,貝U

BC=_________

18.如圖，長方形ABC。中，A。=26,AB=12,點。是的中點，點P在AO邊

上運動，當VBPQ是以QP為腰的等腰三角形時，AP的長為,

19.如圖，點E、F分別在平行四邊形A8C。邊8c和4。上（E、F都不與兩端點重合），

A/7

連結AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點G,DE和CF交于點令'—=〃，

BC

EC

——=m.若機=〃，則圖中有.個平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

BC

m+n=l,且四邊形ABC。的面積為28,則四邊形FGEH的面積為.

20.如圖，在四邊形ABC。中，4。//30。=5,8。=18出是8。的中點.點尸以每秒

1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動;點。同時以每秒3個單位長度的速度

從點。出發(fā)，沿CB向點8運動.點P停止運動時，點。也隨之停止運動，當運動時間為

r秒時，以點P,Q,E,。為頂點的四邊形是平行四邊形，貝V的值等于.

三、解答題

21.如圖1,在矩形紙片A8CD中，A8=3cm,AD=5cm,折疊紙片使8點落在邊AD上的

E處，折痕為PQ,過點E作EF〃A8交PQ于F,連接BF.

(1)(2)

(1)求證：四邊形BFEP為菱形；

(2)當E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨著移動.

①當點Q與點C重合時，(如圖2),求菱形BFEP的邊長；

②如果限定P、Q分別在線段B48c上移動，直接寫出菱形8FEP面積的變化范圍.

22.共頂點的正方形ABCD與正方形AEFG中，AB=13,AE=S0.

(1)如圖1,求證：DG=BE；

(2)如圖2,連結8F,以BF、BC為一組鄰邊作平行四邊形8C”

①連結B”，BG,求力；的值；

BG

②當四邊形8CHF為菱形時，直接寫出的長.

圖1圖2備用圖

23.已知四邊形ABCD是正方形，將線段CD繞點C逆時針旋轉a(0°<a<90°),得到

線段CE,聯(lián)結BE、CE、DE.過點B作BF_LDE交線段DE的延長線于F.

(1)如圖，當BE=CE時，求旋轉角a的度數(shù)；

(2)當旋轉角a的大小發(fā)生變化時，NBEE的度數(shù)是否發(fā)生變化?如果變化，請用含a的

代數(shù)式表示；如果不變，請求出NBEF的度數(shù)；

24.已知：如下圖，ABC和BCD中，ABAC=ZBDC=90°E為BC的中點，連

接￡>E、AE.若。CAE,在DC上取一點E,使得DF=DE,連接交AO于。.

（1）求證：EFIDA.

（2）若BC=4,AD=2g，求EF的長.

25.如圖，在四邊形0A8C是邊長為4的正方形點P為0A邊上任意一點（與點。、A不

重合），連接CP,過點「作加_1。尸，且過點M作MN〃A。，交B0

于點M聯(lián)結BM、CN,設OP=x.

（1）當x=l時，點M的坐標為（,）

（2）設S四邊形6岫=>，求出）'與x的函數(shù)關系式，寫出函數(shù)的自變量的取值范圍.

（3）在X軸正半軸上存在點Q,使得QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合

條件的點。的坐標（用x的式子表示）

26.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PDJ_AB,PE1AC,垂足

分別為D、E,過點C作CF_LAB,垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與AACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關系并

說明理由.

請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：

（結論運用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PGLBE、PH1BC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（遷移拓展）

4

在直角坐標系中.直線/1：y=-]X+4與直線6y=2x+4相交于點A,直線/1、/2與X軸分別

交于點B、點C.點P是直線12上一個動點，若點P到直線/!的距離為1.求點P的坐標.

27.如圖，ABC。中，AABC=60°,連結8。，E是BC邊上一點，連結4E交5。

于點F.

(1)如圖1,連結AC,若A8=AE=6,8C:CE=5:2,求△ACE的面積；

(2)如圖2,延長AE至點G,連結AG、DG,點、H在BD上,且5尸=?！保?/p>

AF=AH,過4作AMJ.DG于點M.若NABG+NADG=180。，求證：

BG+GD=6AG.

28.如圖，在矩形A8CD中，AD=nAB,E,F分別在AB,BC±.

(1)若n=l,AFJ.DE.

①如圖1,求證：AE=BF；

②如圖2,點G為CB延長線上一點，DE的延長線交AG于H,若AH=AD,求證：AE+BG

=AG；

CF

(2)如圖3,若E為AB的中點，ZADE=ZEDF.則——的值是(結果用

含"的式子表示).

29.如圖，在平行四邊形ABC。中，NBAD的平分線交BC于點E,交。C的延長線于

F,以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECbG。

(1)證明平行四邊形ECFG是菱形；

(2)若NABC=I20°，連結3G、CG、DG,①求證：DGCmBGE；②求NBDG

的度數(shù)；

30.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AEVAD),連接DE、BF,P是

DE的中點，連接AP.將AAEF繞點A逆時針旋轉.

(1)如圖①，當AAEF的頂點E、F恰好分別落在邊AB、AD時，則線段AP與線段BF的位

置關系為,數(shù)量關系為一.

(2)當AAEF繞點A逆時針旋轉到如圖②所示位置時，證明：第(1)問中的結論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.c

解析：c

【分析】

根據(jù)題意，連接CF,由正方形的性質，可以得到AABF絲Z\CBF,則AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=NFGC=NBCF,得到AF=CF=FG,故①正確；連接AC,與BD相交于點0,由正方

形性質和等腰直角三角形性質，證明AA0F四△FHG,即可得到EH=A0,則③正確；把

△ADE順時針旋轉90。，得到ZkABM,則證明△MAGgz^EAG,得到MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正確：②無法證明成立，即可得到答案.

【詳解】

解：連接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=^CBF=45°,

BF=BF

.".△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

VFG±AE,

.?.在四邊形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360°-90°-90°=180<,,

XVZBGF+ZCGF=180°,

AZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正確；

連接AC交BD于O.

:四邊形ABCD是正方形，HG1BD,

.\ZAOF=ZFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90°,

.\ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.,.△AOF^AFHG,

?，.FH=OA二定值,③正確；

如圖，把AADE順時針旋轉90。,得到ZkABM,

AAM=AE,BM=DE,ZBAM=ZDAE,

VAF=FG,AF±FG,

???△AFG是等腰直角三角形，

AZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在ZkAMG和z\AEG中，

AM=AE

<ZE4G=ZMAG=45°,

AG=AG

/.△AMG^AAEG,

.\MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

/.GE=DE+BG,故④正確；

如圖,AADE順時針旋轉’90。,得到AABM,記F的對應點為P,連接BP、PN,

則有BP=DF,ZABP=ZADB=45°,

VZABD=45°,

AZPBN=90",

.".BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45。，

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

.".ZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

<NEAG=NMAG=45°,

AN=AN

/.△ANP^AANF,

；.PN=NF,

.\BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正確；

根據(jù)題意，無法證明②正確，

...真命題有四個，

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是作輔助線構造

出等腰三角形和全等三角形.

2.C

解析：C

【分析】

如圖，先作輔助線，首先根據(jù)垂直條件，求出線段ME、DE長度，然后運用勾股定理求出

DE的長度，再根據(jù)翻折的性質，當折線￡4',AC與線段CE重合時，線段4。長度最

短，可以求出最小值.

【詳解】

D

如圖，連接EC,過點E作EM1CD交CD的延長線于點M.

四邊形ABCD是平行四邊形，

ADBC,AD=BC=6,

E為AD的中點，ZBC￡>=30°,

二DE=￡A=3,NMDE=NBCD=30。,

又EMLCD,

：.ME=-DE=-,DM=—,

222

個A/of么03A/315G

/.CM=CD+DM—6。3H-----=------.

22

根據(jù)勾股定理得：

CE=+CM2==3曬.

根據(jù)翻折的性質，可得E4'=E4=3,

當折線￡4'，AC與線段CE重合時，線段AC長度最短，此時4'C=3炳一3.

【點睛】

本題是平行四邊形翻折問題，主要考查直角三角形勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解題

的關鍵.

3.B

解析：B

【解析】

【分析】

1

根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的才，已知兩個正方形可得到一個陰影部

分，則n個這樣的正方形重疊部分即為n-1陰影部分的和.由此即可解答.

【詳解】

11

由題意可得一個陰影部分面積等于正方形面積的牙，即一個陰影部分的面積為六機2

1

如圖，5個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為斤X4cm2,

1

，n個這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為x（n-1）cm92,

34r

11009

???2019個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為彳X(2019-1)=——cm2.

故選B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，解決本題的關鍵是得到n個這樣的正方形重疊部分(陰影部

分)的面積和的計算方法，難點是求得一個陰影部分的面積.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

作C”_LA3于〃，如圖，根據(jù)菱形的性質可判斷A4BC為等邊三角形，則

CH=2AB=46AH=B"=4,再利用CP=7勾股定理計算出，再根據(jù)折疊的

2

性質得點A'在以點P為圓心，PA為半徑的弧上，利用點與圓的位置關系得到當點A'在

PC上時，CA'的值最小，然后證明即可.

【詳解】

解：作C”_LA3于〃，如圖，

菱形A6Q9的邊AB=8,Z5=60，

...A4BC為等邊三角形，

：.CH=—AB=4y/3>AH=BH=4,

2

PB=3,

HP=1,

在放中，CP=J(4后+『=7,

梯形APQO沿直線PQ折疊，4的對應點A',

..?點A'在以點P為圓心，PA為半徑的弧上，

..?當點A'在PC上時，C4'的值最小，

:.ZAPQ=ZCPQ,

而CD//AB,

:.ZAPQ=ZCQP,

;.NCQP=NCPQ,

:.CQ=CP=Q.

DQ

AHPB

故選：B.

【點睛】

考查了菱形的性質：菱形具有平行四邊形的一切性質；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角.也考查了折疊的性質.解決本題的關

鍵是確定A在PC上時CA，的長度最小.

5.D

解析：D

【分析】

由題意得出條件證明△ABCg^DAF,根據(jù)對應角相等可推出②正確;由F是AB中點根據(jù)邊長

轉換可以推出④正確;先推出△ECFgZXDFA得出對應邊相等推出ADFE為平行四邊形且有組

臨邊不等得出①錯誤;再由以上全等即可得出④正確.

【詳解】

VAABD是等邊三角形，

AZBAD=60°,AB=AD,

VZBAC=30°,知

ZFAD=ZABC=90°,AC=2BC,

OF為AC的中點道，

；.AC=2AF,

；.BC=AF,

AAABC^ADAF,

，F(xiàn)D=AC,

.".ZADF=ZBAC=30°,

ADFlAB,故②正確，

VEF±AC,ZACB=90",

；.FG〃BC,

是AB的中點，

1

；.GF=-BC,

2

1

VBC=—AC,AC=CE,

2

.\GF=-CE,故④說法正確；

4

VAE=CE,CF=AF,

，/EFC=90",NCEF=30",

ZFAD=ZCAB+ZBAD=90°,

AZEFC=ZDAF,

VDFXAB,

.\ZADF=30",

/.ZCEF=ZADF,

AAECF^ADFA(AAS),

，AD=EF,

：FD=AC,

四邊形屬ADFE為平行四邊形，

VAD*DF,

...四邊形ADFE不是菱形；

故①說法不正確；

1

，A0=—AF,

2

1

.\A0=—AC,

2

VAE=AC,

則AE=4A0,故③說法正確，

故選D.

【點睛】

本體主要考查平行四邊形的判定，等邊三角形，三角形全等的判定，關鍵在于熟練掌握基

礎知識，根據(jù)圖形結合知識點進行推導.

6.D

解析：D

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質求出AB+AD=5cm,根據(jù)線段的垂直平分線求出BE=DE,求出\ABE的

周長等于AB+AD,代入求出即可.

【詳解】

C舫8=1。的

:.AB-i-AD=5cm

???在ABC。中，OB=OD,OEA.BD

；.EB=ED

AFR

CALD=AB+AE+BE=AB+AE+BE—AB+AD

:，cAEB=5cm

故選：D.

【點睛】

本題主要考查的知識點是平行四邊形對邊相等的這條性質，結合線段的垂直平分線的性質

來進行計算是解題的關鍵.

7.B

解析：B

【分析】

由題意先根據(jù)ASA證明aADF絲ZXECF,推出SABCD=300,再證明BE=AB=25,根

據(jù)等腰三角形三線合一的性質得出BF_LAE.設AF=x,BF=y,由NABFCNBAF可得xVy,

進而根據(jù)勾股定理以及4ABE的面積為300列出方程組并解出即可.

【詳解】

解：???四邊形ABCD為平行四邊形，

.".AD//BCBPAD//BE,AB//CD,

；.NDAF=NE.

在4ADF與4ECF中，

NDAF=NE

<AF=EF,

NAFD=NEFC

.,.△ADF^AECF(ASA),

^AADF=S4ECF>

5'BPE=SABCD=300-

VAE平分/BAD,

.\ZBAE=ZDAF,

VZDAF=ZE,

；.NBAE=NE,

；.BE=AB=25,

VAF=FE,

/.BFXAE.

設AF=x,BF=y,

?..ND為銳角，

AZDAB=180°-ND是鈍角,

，NDC/DAB,

—ZABC<—ZDAB,

22

ZABF<ZBAF,

.".AF<BF,x<y.

X2+/=252

戶15"i=20

則有<,解得：\或（舍去），

12xy=300y=20y=15

即AF=15.

故選:B.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質以及全等三角形的判定與性質和等腰三角形的性質和勾股定理

等知識.由題意證明出S.=S謖8=300以及BF1AE是解題的關鍵.

8.B

解析：B

【分析】

連接BD、BF,由正方形的性質可得：ZCBD=ZFBG=45°,ZDBF=90",再應用勾股定理

求BD、BF和DF,最后應用“直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半”可求得BH.

【詳解】

四邊形ABCD和四邊形BEFG都是正方形,

；.AB=AD=2,BE=EF=3,NA=NE=90°,NABD=NCBD=NEBF=/FBG=45°,

/.ZDBF=90°,BD=2&,BF=3^,

...在RtABDF中，DF7BD?+BF2=J（2夜）2+（3&『=A/26，

VH為線段DF的中點,

.,.BH=—DF=2^.

22

故選B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形邊的關系、勾股定理、直角三角形性質等，解

題關鍵添加輔助線構造直角三角形.

9.C

解析：c

【分析】

根據(jù)等邊三角形邊長為2,在R3BDE中求得OE的長，再根據(jù)CM垂直平分。尸，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位線求得的長，最后根據(jù)線段和可得CM的

長.

【詳解】

解：等邊三角形邊長為2,BD」CD,

2

24

BD=-,CD=-,

33

等邊三角形ABC中，DF11AB,

ZFDC=NB=60°,

ZEDF=90°,

Z.BDE=30°,

...DELBE,

如圖，連接DM,貝IjRtADEF中，DM=-EF=FM,

2

ZFDC=NFCD=60°,

?.\CDF是等邊三角形,

4

,\CD=CF=-,

3

:.CM垂直平分DF,

/.4DCN=30°,

429Fz

.?.RtACDN中，DF=—，DN=-,CN=—,

333

"：EM=FM,DN=FN,

.....1石

..MN=—ED=—,

26

366

故選：C.

【點睛】

本題主要考查了三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是掌握等邊三角形的性質、勾股定

理、平行線的性質、線段垂直平分線的判定等.熟練掌握這些性質是解題的關鍵.

10.C

解析：c

【分析】

選項①正確.證明/GAF=/GAD,/EAB=NEAF即可.選項②錯誤.可以證明

DG=GC=FG,顯然AGFC不是等邊三角形，可得結論.選項③正確.證明CF1.DF,AG1DF

即可.選項④正確.證明FG：EG=3：5,求出4ECG的面積即可.

【詳解】

解：如圖，連接DF.

:四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD=BC=CD,ZABE=ZBAD=ZADG=ZECG=90°,

由折疊可知：AB=AF,ZABE=ZAFE=ZAFG=90°,BE=EF=4,ZBAE=ZEAF,

VZAFG=ZADG=90°,AG=AG,AD=AF,

/.RtAAGD^RtAAGF(HL),

/GAF=NGAD,

AZEAG=ZEAF+ZGAF=y(ZBAF+ZDAF)=45°,故①正確，

設GD=GF=x,

在ECG中，,/EG2=EC2+CG2,

(4+X)2=82+(12-X)2,

??x=6,

VCD=BC=BE+EC=12,

???DG=CG=6,

AFG=GC,

易知AGFC不是等邊三角形，顯然FGKFC,故②錯誤，

：GF=GD=GC,

AZDFC=90°,

；.CFJ_DF,

VAD=AF,GD=GF,

AAG1DF,

；.CF〃AG,故③正確，

1

"?'SAECG=—X6X8=24,FG：FE=6：4=3：2,

AFG：EG=3：5,

372

?'?SAGFc=yX24=--=14.4,故④正確,

故①③④正確，

故選：C.

【點睛】

本題考查翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題時

設要求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質用含x的代數(shù)式表示其他線段的長

度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.

二、填空題

11.4夜

【分析】

首先由對邊分別平行可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，連接AC和BD,過A點分別作DC

和BC的垂線，垂足分別為F和E,通過證明4ADF/Z\ABC來證明四邊形ABCD為菱形，

從而得到AC與BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD長度.

【詳解】

解：連接AC和BD,其交點為0,過A點分別作DC和BC的垂線，垂足分別為F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四邊形ABCD為平行四邊形，

；.NADF=NABE,

???兩紙條寬度相同，

.".AF=AE,

-ZADF=NABE

；?ZAFD=ZAEB=90°

AF=AE

.,.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

二四邊形ABCD為菱形，

；.AC與BD相互垂直平分，

BD=2^AB2-A(f=40

故本題答案為：472

【點睛】

本題考察了菱形的相關性質，綜合運用了三角形全等和勾股定理，注意輔助線的構造一定

要從相關條件以及可運用的證明工具入手，不要盲目作輔助線.

12.①③④

【分析】

由矩形的性質可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質和余角的性質可得NF=NFAD=45°,可得AD=DF=BC,可判斷①；通過證明

△DCG^ABEG,可得NBGE=/DGC,BG=DG,即可判斷②③；過點G作GH_LCD于H,設

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性質可得

HG=CH=FH=!X,DG=GB=5&x,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

；.AB=CD,AD=BC,NBAD=NABC=/BCD=NADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE=45",

AZF=ZFAD,

，AD=DF,

ABC=DF,故①正確;

VZEAB=ZBEA=45",

；.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,NECF=90。，

...△CEF是等腰直角三角形，

:點G為EF的中點，

/.CG=EG,NFCG=45°,CG±AG,

ZBEG=ZDCG=135",

在aDCG和ABEG中，

BE=CD

<NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

.".ZDGC=ZBGE<45°,

,.?ZCGF=90°,

.\ZDGF<135°,故②錯誤；

VZBGE=ZDGC,

?.ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

.,.ZCGA=ZDGB=90",

.,.BG±DG,故③正確；

過點G作GH±CD于H,

.?.設AD=4x=DF,AB=3x,

，CF=CE=X,BD=7XB2+AT>2=5X>

VACFG,Z\GBD是等腰直角三角形，

]55

.?.HG=CH=FH=-x,DG=GB=—1—x,

22

12125,

=X=

??SADGF"DFXHG=X,SZiBDG~DGXGB=x,

25

S30G=ISFDG，故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質；熟練

掌握矩形的性質，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關鍵.

13.一或4-W6

33

【分析】

連接AC交BD于0,由菱形的性質可得AB=BC=4,/ABD=30°,AC1BD,B0=D。，

A0=C0,可證四邊形BEGF是菱形，可得NABG=30。，可得點B,點G,點D三點共線，由

直角三角形性質可求BD=4g,AC=4,分兩種情況討論，利用等腰三角形的性質可求解.

【詳解】

如圖，連接AC交BD于。，

，AB=BC=4,NABD=30°,AC1BD,BODO,AO=C。,

VEGZ/BC,FG〃AB,

四邊形BEGF是平行四邊形，

又：BE=BF,

四邊形BEGF是菱形，

ZABG=30",

點B,點G,點D三點共線，

VAC1BD,ZABD=30°,

AO=yAB=2,B0=JAB?_A02="2_2?=2>/3,

：.BD=4y/j,AC=4,

?「BG

同理可求BG=6BE,即BE二一,

A/3

若AD=DG*=4時，

.".BG'=BD-DG'=4\^-4，

.4^-4，473

.?.BE'=、「=4—；

百3

若AG"=G"D時，過點G”作G"H±AD于H,

，AH=HD=2,

；NADB=30°,G"H±AD,

，DG"=2HG",

HD2+HG"2=DG"2.

解得：HG"=^^,DG"=2HG”=^^,

33

.".BG"=BD-DG"=4V3=>

33

8

3

綜上所述：BE為5或4-迪.

33

【點睛】

本題考查了菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等知識，利用分類討論

思想解決問題是本題的關鍵.

14.9或9a5+1).

【分析】

分兩種情況畫圖，利用等腰直角三角形的性質和勾股定理矩形計算即可.

【詳解】

解：①如圖1,延長EA交DC于點F,

:菱形ABCD的周長為24,

AAB=BC=6,

VZABC=60°,

???三角形ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,

當EALBA時，4ABE是等腰直角三角形,

???AE=AB=AC=6,ZEAC=90°+60°=150°,

AZFAC=30°,

VZACD=60°,

/.ZAFC=90°,

1

ACF=—AC=3,

2

則ZkACE的面積為：AExCF=yx6x3=9；

②如圖2,過點A作AFLEC于點F,

由①可知：ZEBC=ZEBA+ZABC=90°+60°=150°,

VAB=BE=BC=6,

.\ZBEC=ZBCE=15O,

ZAEF=45°-15°=30°,ZACE=60°-15°=45°,

；.AF=yAE,AF=CF=qAC=3亞,

VAB=BE=6,

，AE=6及，

，EF=JA￡2_AF2=3限’

??.EC=EF+FC=3V^+30

則AACE的面積為：-ECxAF=-xO瓜+3夜)X3垃=9(73+1).

22

故答案為：9或9(6+1).

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質，解決本題的關鍵

是掌握菱形的性質.

15.6

【分析】

過點P作PELAD交AD的延長線于點E,根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，得至ljAB〃CD,

推出PE=gpD,由此得到當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條

直線上，利用NDAB=30°,NAEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值='AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【詳解】

過點P作PEXAD交AD的延長線于點E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,

，NEDC=NDAB=30°,

1

二PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上,

VZDAB=30o,/AEP=90°,AB=6,

.;PB+PE的最小值=^AB=3,

；.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質，直角三角形含30。角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉化

為三點共線的形式是解題的關鍵.

16.2或14

【分析】

利用當AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對邊互相平行，又AE平分/BAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長；同理可得：當AD=10cm,AB=6cm時，可以求出EF長

【詳解】

解：如圖1,當AB=10cm,AD=6cm

VAE平分/BAD

AZBAE=ZDAE,

又：AD〃CB

.?.ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當AD=10cm,AB=6cm,

VAE平分/BAD,

AZBAE=ZDAE

又：AD〃CB

.\ZEAB=ZDEA,

.,.ZDAE=ZAED則AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

圖1圖2

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質、平行線的性質等知識，關鍵是平行

四邊形的不同可能性進行分類討論.

17.6+6^3

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及=得到△FEM是等邊三角形，根據(jù)含30。直

角三角形的性質以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質及勾股定理得到BN,BE即可.

【詳解】

解：如圖，設NE交AD于點K,

?四邊形ABCD是矩形，

.".AD//BC,ZABC=90°,

.".ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,/CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

ZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

???ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

工△FEM是等邊三角形，F(xiàn)M=FE=EM=2,

VEN1BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

.\ZNKA=ZMKE=30°,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

在RtAKME中，KE=4KM--EM2=26>

，NE=NK+KE=6+2/，

VZABC=90°,

...NABE=30°,

.,.BN=2NE=12+4V3，

???BE=4BN2-NE2=6+673-

BC=BE=6+6G，

故答案為：6+6^3

【點睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質，以及含30。直角三角形的性質與勾股定理的應用,

解題的關鍵是靈活運用30。直角三角形的性質.

18.6.5或8或18

【分析】

根據(jù)題意分8P=QP、8Q=QP兩種情況分別討論，再結合勾股定理求解即可.

【詳解】

解：.??四邊形ABC。是矩形，AD=26,點。是的中點

BQ=\3

.??①當時，過點尸作「仞，8。交BQ于點M,如圖，

則BM=MQ=6.5，且四邊形ABMP為矩形

AP=BM=6.5

②當BQ=Q尸時，以點。為圓心，3Q為半徑作圓，與A。交于p'、P"兩點，如圖，

/FP：W-----、q尸〃D

_________皿_________

RQic

\/

\/

X、//

、——"

過。作QV_LPP",交P/"于點N,則可知P'N=P'N

；在RtP'NQ,PQ=13,NQ=AB=12

-'.P'N=y/p'Q2-NQ2=7132-122=5

同理，在吊尸NQ中，P〃N=5

AD-P'N—P"N26-5-5

AP'=-------------=--=^=8,AP〃=AP'+P'N+P〃N=8+5+5=18

22

即P'、P"為滿足條件的P點的位置

/.AP=8或18

綜上所述，當VBPQ是以QP為腰的等腰三角形時，AP的長為6.5或8或18.

故答案是：6.5或8或18

【點睛】

本題考查了矩形的性質、等腰三角形的性質以及勾股定理等知識，根據(jù)等腰三角形的性質

進行分類討論是一個難點，也是解題的關鍵.

19.7

【分析】

①若相=〃，則AF=￡C,先根據(jù)平行四邊形的性質得出AD〃8C,AO=8C,再根據(jù)平

行四邊形的判定（一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行）即可得；②先根據(jù)平行四邊

形的性質與判定得出四邊形ABEF、四邊形CDFE都是平行四邊形，從而可得

S^EFG~=WSCDFE'再根據(jù)ABEF+SCDF