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數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.3.2.3數(shù)列求和初步一、公式法求和二、分組求和法六、倒序相加法本課內(nèi)容新教材《選擇性必修二》五、并項(xiàng)求和法數(shù)列求和初步四、錯(cuò)位相減法三、裂項(xiàng)相消法公式法求和
常用公式[關(guān)鍵確定項(xiàng)數(shù)](1)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和其中q為公比.新教材《選擇性必修二》知識(shí)梳理一、公式法求和(2)四類特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和②1+3+5+…+(2n-1)=n2.知識(shí)梳理新教材《選擇性必修二》二、分組求和法知識(shí)梳理新教材《選擇性必修二》分組求和法(1)一般情況下形如cn=an±bn;(2)數(shù)列{an}與{bn};
是等差數(shù)列,或等比數(shù)列,或是其他已知求和方法的數(shù)列;(3)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和,分別利用已知的求和方法;
如等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和即可.跟蹤訓(xùn)練1
已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=2.解數(shù)列{an}滿足a1=1,且an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且首項(xiàng)為1,公差為2,因此,an=1+2(n-1)=2n-1.二、分組求和法跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=-,b2=-,設(shè)cn=an+bn,若數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.(2)已知數(shù)列{bn}滿足b1=-,b2=-,設(shè)cn=an+bn,若數(shù)列{cn}為二、分組求和法跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》等比數(shù)列,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.Sn=a1+a2+…+an三、裂項(xiàng)相消法求和新教材《選擇性必修二》新知學(xué)習(xí)(1)通項(xiàng)公式為分式,可用待定系數(shù)法對(duì)通項(xiàng)公式拆項(xiàng).知識(shí)梳理新教材《選擇性必修二》裂項(xiàng)相消法(2)常見的拆項(xiàng)公式有三、裂項(xiàng)相消法求和三、裂項(xiàng)相消法求和跟蹤訓(xùn)練2
設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求an;解設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,解得a1=3,d=2,∴an=a1+(n-1)d=2n+1.跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》三、裂項(xiàng)相消法求和(2)設(shè)bn=
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.∴Tn=b1+b2+…+bn-1+bn跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》三、裂項(xiàng)相消法求和四、錯(cuò)位相減法典型例題錯(cuò)位相減法求和(1)使用條件:
①通項(xiàng)公式是形如an·bn的形式,
②數(shù)列{an}和{bn}中一個(gè)是等差數(shù)列,一個(gè)是等比數(shù)列;(2)所乘系數(shù):在等式兩邊同乘的是等比數(shù)列的公比或其倒數(shù);(3)書寫格式:兩個(gè)等式中次數(shù)一樣的項(xiàng)對(duì)齊;(4)差的特點(diǎn):相減后的差共有n+1項(xiàng),去掉前后兩項(xiàng),
中間的n-1項(xiàng)一定是等比數(shù)列.知識(shí)梳理新教材《選擇性必修二》四、錯(cuò)位相減法已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列
是公差為1的等差數(shù)列,且a2=3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》跟蹤訓(xùn)練3
可得Sn=n(a1+n-1),∴a1+a2=2(a1+1),且a2=3.解得a1=1.∴Sn=n2.∴n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1(n=1時(shí)也成立).∴an=2n-1.四、錯(cuò)位相減法(2)設(shè)bn=an·3n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解bn=an·3n=(2n-1)·3n,∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3n,∴3Tn=1×
32+3×33+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1,可得Tn=3+(n-1)×3n+1.跟蹤訓(xùn)練新教材《選擇性必修二》跟蹤訓(xùn)練3
四、錯(cuò)位相減法五、并項(xiàng)求和法求和例4求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),Sn=Sn+1-(-1)n+1·(2n+1)=n+1-(2n+1)=-n
解
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),∴Sn=(-1)n·n(n∈N*).典例分析新教材《選擇性必修二》適用于通項(xiàng)中含有(-1)n的數(shù)列[擺動(dòng)數(shù)列]
;并項(xiàng)求和法知識(shí)梳理新教材《選擇性必修二》注:也可分項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行求和[分組求和].五、并項(xiàng)求和法求和六、倒序相加法求和典例分析(1)倒序相加法是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法,就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列(反序),再把它與原
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