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文檔簡介
幾何-直線型幾何-燕尾模型-5星題
課程目標(biāo)
知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率
燕尾模型C1.了解燕尾模型的一般形狀少考
2熟.悉燕尾模型的關(guān)系式
3.能夠靈活運(yùn)用燕尾模型解決復(fù)雜
的幾何問題
知識(shí)提要
燕尾模型
燕尾模型
結(jié)論一⑴合言⑵白黑⑶合器
結(jié)論二受吟
精選例題
燕尾模型
1.如下列圖,三角形4BC中,AF-.FB=BD:DC=CE-.AE=3:2,且三角形4BC的面積是1,
那么三角形ABE的面積為,三角形AGE的面積為,三角形GH/的面積為.
【答案】I'(表
【分析】連接AH、BI、CG.
由于CE:4E=3:2,所以4E=|4C,故
_2_2
SbABE-g^^ABC=5;
根據(jù)燕尾模型,
S〉A(chǔ)CG:S>ABG=CD:BD=2:3,
S&BCG:S?ABG==3:2,
所以
SAACG:SAABG:SABCG=4:6:9,
那么
_4
S&ACG—]9,
_9
S^BCG—訪;
那么
_2_24_8
S^AGE_5-5x]9—95
同樣分析可得S“CH=V,那么
EG:EH=S&ACG:SAACH=4:9,
EG-.EB=S^CG-.S^CB=4:19,
所以
EG-.GH-.HB=4:5:10,
同樣分析可得
AG-.GI-.ID=10:5:4.
所以
_5521
S&BIE—^LBAE-:—X-=
105=?
_5511
S〉GHl~記S&BIE=--X-=
19519,
2.如圖,四邊形4BCD是矩形,E、F分別是AB、BC上的點(diǎn),且4E==AB,CF=;BC,AF與
CE相交于G,假設(shè)矩形ABCO的面積為120,那么44EG與4CGF的面積之和為.
[答案]15
【分析】方法1:如圖,連接AC、BG.
根據(jù)燕尾模型,工BG:S/JACG=BF:CF=3:1,S^BCG:SAACG=BE:AE=2:1,而S2MBe=
2^ciABCD=60,所以S〃ABG=T7T77^AABC=5X60=30,S/BCG=77T77^AABC=鼻X60=20,
4-5I/十JL/Oi?X(3
那么包)4EG=g^AABG=1。,^ACFG=^ABCG~5,所以兩個(gè)二角形的面積之和為15.
方法2:如圖,過F做CE的平行線交48于H,
那么EH:HB=CF:FB=1:3,所以4E=^EB=2EH,AG:GF=AE-.EH=2,即4G=2GF,
所以邑4EG=mx|x|xS44BF=gx;x?RB8=10.且EG=|HF=gx=:EC,故
CG=GE,那么S^CGF=1xgxS/4EG=5.所以兩三角形面積之和為10+5=15.
3.如圖,AABC中BD=2D4,CE=2EB,AF=2FC,那么△4BC的面積是陰影三角形面積
的倍.
【答案】7
【分析】如圖,連接山.
根據(jù)燕尾定理,SAec/:SAAC;=BD-.AD=2:1,S^a-.S^AB!=CF-.AF=1-.2,
所以,SAACI:SABCI:S^ABI=1:2:4,
那么,S48a=i+2+4SAABC=^^^ABC-
同理可知4/^6和4AB”的面積也都等于448c面積的泉所以陰影三角形的面積等于△ABC面
積的1-JX3=;,所以△48c的面積是陰影三角形面積的7倍.
77
4.正六邊形4,A2IA3,A4IA5I。的面積是2009平方厘米,%,B2,B3,B4,B5,分別是正六邊形各
邊的中點(diǎn).請問下列圖中陰影六邊形的面積是平方厘米.
【答案】1148
【分析】方法一:如下左圖,連接44萬16464,過殳做443的平行線穌E,交4出于
E.因?yàn)榭瞻椎拿娣e等于△A243G面積的6倍,所以關(guān)鍵求△&43G的面積,在△公4公中用燕
尾模型時(shí),需要知道為。,43。的長度比,根據(jù)沙漏模型得=DE,再根據(jù)金字塔模型得
A1E=A3E,因此41n:公。=1:3,在△①4心中,設(shè)S”142G=1份,那么SA4233G=3份,
S=xX
S—341G=3份,所以SfzGG=j^A,A2A3735s正六邊形=五$正六邊形,
因此S陰影=(1一5x6)S正六邊形=*x2009=1148(平方厘米).
方法二:既然給的圖形是特殊的正六邊形,且陰影也是正六邊形,我們可以用上圖的割補(bǔ)思路,
把正六邊形分割成14個(gè)大小形狀相同的梯形,其中陰影有8個(gè)梯形,所以陰影面積為捺x
14
2009=1148(平方厘米).
5.如圖,三角形4BC的面積是1,E是4C的中點(diǎn),點(diǎn)。在BC上,S.BD-.DC=1:2,4D與BE交
于點(diǎn)工那么四邊形。FEC的面積等于.
【答案】.
【分析】方法一:如下圖,
BD
根據(jù)燕尾模型,S"BF£S"BF
S&ACF~DC-2'SdCBF
設(shè)=1份,那么S&.DCF=2份,SAABF=3份,SAAEF=SAEFC=3份,如圖所標(biāo)
所以SDCEF—石SfBC=石?
方法二:如下圖,
連接DE,由題目條件可得到SMBO=3
c_1c_12c_1
、&ADE=2^^ADC=2X=3,
所以尊=0=;,
1
1*11n111°1
S^DEF=2XS&DEB=2X3XS>BEC=2X3X2X$&ABC=石,
而SACDE=|X|XSAABC=所以那么四邊形OFEC的面積等于a
6.如圖,在A/IBC中,點(diǎn)。是邊4c的中點(diǎn),點(diǎn)E、F是邊BC的三等分點(diǎn),假設(shè)△ABC的面積為
1,那么四邊形CDMF的面積是.
【答案嗎
【分析】由于點(diǎn)。是邊AC的中點(diǎn),點(diǎn)E、尸是邊8c的三等分點(diǎn),如果能求出BN、NM、MD三
段的比,那么說分成的六小塊的面積可以求出來,其中當(dāng)然也包括四邊形CDMF的面積.
連接CM、CN.
根據(jù)燕尾模型,
S&ABM:S&ACM=BF:CF=2:1,
S—CM=2sMOM,
S?ABM=2s-CM=4sMOM,
那么BM=4DM,即
4
那么
BMBF4214
5ABMF=^X—xSABCD=-x-x-=—)
147
J四邊形-2is-30,
另解:得出S-BM=2s-CM=4sMDM后,可得
_1_11_1
S^ADM==耳']=元,
那么
__11_7
S四邊形CDMF=S^ACF-SAADM=W_75=30,
7.如圖,AABC的面積為1,點(diǎn)D、E是8c邊的三等分點(diǎn),點(diǎn)尸、G是4c邊的三等分點(diǎn),那么四
邊形/K/H的面積是多少?
【答案嗎
【分析】連接CK、Cl、CJ.
根據(jù)燕尾定理,SAACK:SAABK=CD:BD=1:2,SA4BK:SACBK=4G:CG=1:2,
所以5—以:508E54(;8長=1:2:4,那么SfCK=1+2+4=5'SMGK=&S—CK=£?
類似分析可得S“/=M
乂SfB/:S^CB/=4F:CF=2:LS^ABJ:S^ACJ=BD:CD=2:1,可得5-夕=[?
那么,s=---=-.
LCUGKKJ42184
根據(jù)對稱性,可知四邊形CE〃/的面積也為",那么四邊形/K/〃周圍的圖形的面積之和為
84
X2+=,
SCGKJX2+ShAGl+ShABE=^+^575所以四邊形/K/H的面積為1_1=".
8.在△48C中,BD:DC=2:1,AE-.EC=1:3,求。B:OE=?
[答案]8:1
【分析】題目求的是邊的比值,一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值,也可以通過
三角形的面積比來做橋梁,但題目沒告訴我們邊的長度,所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的
比.此題的圖形一看就聯(lián)想到燕尾定理,但兩個(gè)燕尾似乎少了一個(gè),因此應(yīng)該補(bǔ)全,所以第一
步要連接。C.
連接。C.
因?yàn)锽O:DC=2:1,根據(jù)燕尾定理,SM0B:SMOC=BD:BC=2:1,BPSA40B=2SA40C;
又AE:EC=1:3,所以SA.OC=4sA4OE.那么S—OB=2S^AOC=2X4S^AQE=QSAAQE,
所以。B:OE=S"OB:SAA0E=8:1.
9.如圖,面積為/的三角形ABC中,D、E、F、G、H、/分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求
陰影局部面積.(如果結(jié)果是分?jǐn)?shù),將結(jié)果化成最簡分?jǐn)?shù).)
【答案】蔣
【分析】令B/與CC的交點(diǎn)為M,AF與CC的交點(diǎn)為N,B/與4F的交點(diǎn)為P,B/與CE的交點(diǎn)為Q,
連接4M,BN,CP.
求四邊形AOM/的面積:在△ABC中,根據(jù)燕尾模型,
S?ABM:S&CBM=AI:CI=1:2,
S—CM:SMBM=4":BD=1:2,
所以
_1
S—BM=4sA4BC,
_11
S—OM==訪S—BC,
_1
SAAIM=適5少8。,
因而四邊形ADM/的面積為一
11_1
適SfBC+適SfBC=
同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也是△ABC的g
求五邊形。NPQE的面積:在△ABC中,根據(jù)燕尾模型,
SAABN:S&ACN=BF:CF=1:2,
所以
S&ADN=S2ABN=五SUBG
同理可得
_1
S^BEQ—五S—BU
在△ABC中,根據(jù)燕尾模型,
LABPT-LACP=BF:CF=1:2,
S^ABP:S^CBP=4/:C/=1:2,
所以
_1
S&ABP=mS—8C,
因此五邊形DNPQE的面積為
111_11
g^^ABC―五S—BC—五Sfsc-yog
同理另外兩個(gè)五邊形的面積也是「'‘
11
夜S-8C.
所以陰影局部的面積為
1111313
SAABC—3x—SA4BC一3x〔osS&ABC~為S—BC—拓,
1().如下圖,在四邊形ABC。中,AB=3BE,AD=3AF,四邊形4E0F的面積是12,求平行四
邊形80DC的面積.
【答案】24
MBOABDO
【分析】連接AO,BD,根據(jù)燕尾定理S:S=4F:FD=1:2,S&A0D-.ShB0D=AE:BE=
2:1,設(shè)SABEO=1,那么其他圖形面積,如圖所標(biāo),所以SBOOC=2SAEOF=2x12=24.
11.如圖,面積為1的三角形4BC中,D、E、F、G、H、/分別是48、BC、C4的三等分點(diǎn),求
中心六邊形面積.
【答案】卷
【分析】設(shè)深黑色六個(gè)三角形的頂點(diǎn)分別為N、R、P、S、M、Q,連接CR
在△ABC中根據(jù)燕尾定理,S“ABR:SAACR=BG:CG.=2:1,
^hABR-^^CBR=AI:Cl=1:2
所以SAABR=,SA4BC,I^^SAACSU/SMBLSACQB=b&ABC
所以〃RQS=1-=F
同理SAMNP=]
根據(jù)容斥原理,和上題結(jié)果s六邊形="?亮=卷
12.三角形48c的面積為15平方厘米,。為4B中點(diǎn),E為4c中點(diǎn),F(xiàn)為BC中點(diǎn),求陰影局部的
面積.
【答案】3.125
【分析】令BE與CD的交點(diǎn)為M,CD與EF的交點(diǎn)為N,連接4M,BN.
在44BC中,根據(jù)燕尾定理,SAABM:SABCM=AE:CE=1:1,SAACM:S“BCM=A。:BD=1:1,
所以SAABM=SMCM=S&BCN=gS“BC
由于SMEM=5s4AMe=JS-ABMS,所以SM:ME=2:1
在AEBC中,根據(jù)燕尾定理,SABEN:S.CEN=BF:CF=1:1S?CEN:SACBN=ME:MB=1:2
設(shè)S^CEN=1(份),那么S4REN=1(份),S^BCN=2(份),S^BCE=4(份),
所以S^BCN=yS^BCE=ZSMBC,S&BNE=%SABCE=《SAABC,因?yàn)锽M:ME=2:1,F為BC中點(diǎn),
所以S^BMN=^S^BNE=3XQ^^ABC=石SfBc,S&BFN=&S&BNC=2X4=Q^^ABC9
所以S陰影=島+目S-BC=^SXABC=裔X15=3.125(平方厘米)
13.如圖,面積為1的三角形ABC中,D、E、F、G、H、/分別是48、BC、C4的三等分點(diǎn),求
陰影局部面積.
【答案】葛
【分析】三角形在開會(huì),那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧!
令B/與CD的交點(diǎn)為M,4尸與。。的交點(diǎn)為N,B/與4尸的交點(diǎn)為P,B/與CE的交點(diǎn)為Q,連接
AM.BN、CP
(1)求S四邊形4DM/:在△ABC中,根據(jù)燕尾定理,S^CBM=A/:C/=1:2S44CM:S^CBM=
AD-.BD=1:2
設(shè)S-BM=1(份),那么S4CBM=2(份),SfCM=1(份),S&ABC=4(份),
所以S—8M=S“CM=[S—BC,所以S.DM=^^ABM=12^^ABC9Sf/M=
所以S四邊形ADM/=(石+^)S^ABC=
同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是△ABC面積的;
6
(2)求S五邊形DNPQE:在△ABC中,根據(jù)燕尾定理SfBN:S—CN=B/7:。尸=1:2S-CN:S"CN=
AD\BD=1:2,
所以SMDN=gSuBN=gX3S2ABC~五S“BC,向理S^BEQ=t^ABC
在△ABC中,根據(jù)燕尾定理S“BP:SMCP=BF:CF=L2,S”BP:SMBP=AI:CI=1:2
所以S-BP=*SAABC
所以S五邊形DNPQE=SfBP-S&ADN-S&BEP=(g一五一五)S4ABC=
同理另外兩個(gè)五邊形面積是△ABC面積的喘
所以S陰影=1一打3-裝X3=或
14.如下圖,三角形4BC的面積為1,。、E、F分別是三條邊上的三等分點(diǎn),求陰影三角形的面
積?
【答案】|
【分析】給中間三角形的3個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上字母,如下圖1.
由于。、E、F分別是3條邊上的三等分點(diǎn),而△ABC的面積為1,所以AABE、4BCF、ACAD
的面積都是(這3個(gè)三角形的面積之和就等于大AABC的面積,它們的重疊局部是3個(gè)小三角
形:AAME、&BNF、4CPD.因此陰影△MNP的面積就等于這3個(gè)小三角形的面積之和.
假設(shè)SACPO="1",由于。是BC上的三等分點(diǎn),可知4BPD="2"(如下圖2)?
由燕尾模型可得#=喘=2,所以雇詆="6";而冷=寒=2,所以SMBP="12"(如下
圖3).
因此,整個(gè)△ABC的面積是“12"+"6"+"2"+T="21",那么T=《,即S"PD=*
類似地,小△BNF和小△AME的面積都是《,那么陰影局部的面積就是5x3=i.
15.如右圖,三角形48c中,AF-.FB=BD.DC=CE-.AE=3:2,且三角形GH/的面積是1,求
三角形4BC的面積.
【答案】19
【分析】連接BG.
S&AGC=6份?
根據(jù)燕尾模型,
SAAGC:S?BGC~“/:FB=3:2=6:4,
S^ABG'S^AGC=BD:DC=3:2=9:6.
得
S&BGC=4(份),Su%=9(份),
那么S—8C=191份),因此
S—GC_£
S&ABC19
同理連接4/、CH.
得
SMBH_2S^BIC_£
S△力BC19S〉A(chǔ)BC19
所以
S〉GHI19—6—6—61
SAABC1919-
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