高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（12）第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第九講 函數(shù)與方程（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案12]第九講函數(shù)與方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．設(shè)函數(shù)f(x)＝3x＋x，則函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)的區(qū)間是(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(－1,0) D．(－2，－1)[解析]函數(shù)f(x)為增函數(shù)，因?yàn)閒(－1)＝3－1－1＝－eq\f(2,3)，f(0)＝1＋0＝1，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(－1，0)．故選C.2．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，則f(x)在(1,2)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(C)A．至多有一個(gè) B．有一個(gè)或兩個(gè)C．有且僅有一個(gè) D．—個(gè)也沒(méi)有[解析]因?yàn)閒(1)>0，f(2)<0，所以f(x)在(1,2)上必有零點(diǎn)，又因?yàn)楹瘮?shù)為二次函數(shù)，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．故選C.3．(2020·山東青島模擬)已知a是函數(shù)f(x)＝2x－logeq\s\do4(\f(1,2))x的零點(diǎn)，若0<x0<a，則f(x0)的值滿足(C)A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)≤0[解析]在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x，y＝logeq\s\do4(\f(1,2))x的圖象，由圖象可知，當(dāng)0<x0<a時(shí)，有2x0<logeq\s\do4(\f(1,2))x0，即f(x0)<0.4．(2020·湖南永州模擬)若函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點(diǎn)，則k的取值范圍是(D)A．(－∞，0) B．[0，＋∞)C．(－∞，1) D．[1，＋∞)[解析]由函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點(diǎn)，得2|x|＝k有解，作出函數(shù)y＝2|x|的圖象如圖所示，則由圖象可知，要使函數(shù)f(x)＝2|x|－k存在零點(diǎn)，只需y＝2|x|與y＝k的圖象有交點(diǎn)，則k≥1，故選D.5．函數(shù)f(x)＝xcosx2在區(qū)間[0,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]由f(x)＝xcosx2＝0，得x＝0或cosx2＝0.又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16]．由于cos(eq\f(π,2)＋kπ)＝0(k∈Z)，而在eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)的所有取值中，只有eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)，eq\f(5π,2)，eq\f(7π,2)，eq\f(9π,2)滿足在[0,16]內(nèi)，故零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1＋5＝6.故選C.6．(2020·廣西宜州聯(lián)考)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(B)A．5 B．4C．3 D．2[解析]∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)的周期為2.當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，故當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝－x.函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象，如圖所示顯然函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故選B.7．(2020·安徽六安一中模擬)若函數(shù)f(x)＝|logax|－3－x(a>0，a≠1)的兩個(gè)零點(diǎn)是m，n，則(C)A．mn＝1 B．mn>1C．mn<1 D．mn>eq\f(1,2)[解析]令f(x)＝0，得|logax|＝3－x，易知y＝|logax|與y＝3－x的圖象有2個(gè)交點(diǎn)．不妨設(shè)m<n，a>1，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示，∴3－m>3－n，即－logam>logan，∴l(xiāng)ogam＋logan<0，即loga(mn)<0，∴mn<1.故選C.二、多選題8．下列函數(shù)中，在(－1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞減的是(AD)A．y＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x＋1) B．y＝2x－1C．y＝x2－eq\f(1,2) D．y＝－x3[解析]函數(shù)y＝logeq\s\do4(\f(1,2))(x＋1)在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時(shí)y＝0，y＝x2－eq\f(1,2)在(－1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時(shí)y＝0.對(duì)于y＝2x－1，當(dāng)x＝0∈(－1,1)時(shí)，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選A、D.9．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點(diǎn)是2，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)可以是(AC)A．0 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．2[解析]2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－eq\f(1,2)，故選A、C.10．設(shè)函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x1，g(x)＝4x＋2x－2的零點(diǎn)為x2，若|x1－x2|≤0.25，則f(x)可以是(AD)A．f(x)＝(2x－1)2 B．f(x)＝ex－1C．f(x)＝ln(x－eq\f(1,2))2 D．f(x)＝4x－1[解析]選項(xiàng)A，x1＝eq\f(1,2)；選項(xiàng)B，x1＝0；選項(xiàng)C，x1＝eq\f(3,2)或－eq\f(1,2)；選項(xiàng)D，x1＝eq\f(1,4).因?yàn)間(1)＝4＋2－2>0，g(eq\f(1,2))＝2＋1－2>0，g(eq\f(1,4))＝eq\r(2)＋eq\f(1,2)－2<0，g(0)＝1－2<0，則x2∈(eq\f(1,4)，eq\f(1,2))．選項(xiàng)中，x1＝eq\f(1,2)和x1＝eq\f(1,4)時(shí)，滿足|x1－x2|≤0.25.故選A、D.三、填空題11．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零點(diǎn)為1，則實(shí)數(shù)a的值為－eq\f(1,2).[解析]由已知得f(1)＝0，即eq\f(2,31＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).12．(2020·河北武邑中學(xué)調(diào)研)函數(shù)f(x)＝3x－7＋lnx的零點(diǎn)位于區(qū)間(n，n＋1)(n∈N)內(nèi)，則n＝__2__.[解析]因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(2)＝－1＋ln2<0，f(3)＝2＋ln3>0，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(2,3)內(nèi)，故n＝2.13．(2020·江蘇淮安聯(lián)考)函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根的和為eq\f(3,2).[解析]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對(duì)稱，所以方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根時(shí)，一定有一個(gè)根是eq\f(1,2)，另外兩個(gè)根的和為1，故方程f(x)＝0的三個(gè)實(shí)根的和為eq\f(3,2).14．(2020·廣東陽(yáng)江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1，x<1，,log\f(1,2)x，x≥1，))若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__(－1,0)__.[解析]關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－1,0)．B組能力提升1．y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，相應(yīng)的x值與y的值如下表：x123456y0.5－3－234－4則y＝f(x)在區(qū)間(1,6)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(D)A．3個(gè) B．奇數(shù)C．偶數(shù) D．至少3個(gè)[解析]由表可知，在(1,2)，(3,4)，(5,6)三個(gè)區(qū)間內(nèi)，y＝f(x)各至少有一個(gè)零點(diǎn)，故在(1,6)內(nèi)至少有3個(gè)零點(diǎn)．2．(2020·安徽宣城第二次調(diào)研測(cè)試)已知a，b，c，d都是常數(shù)，a>b，c>d.若f(x)＝2019＋(x－a)(x－b)的零點(diǎn)為c，d，則下列不等式正確的是(A)A．a(chǎn)>c>d>b B．a(chǎn)>d>c>bC．c>d>a>b D．c>a>b>d[解析]由題意設(shè)g(x)＝(x－a)·(x－b)，則f(x)＝2019＋g(x)，所以g(x)＝0的兩個(gè)根是a，b，由題意知f(x)＝0的兩根c，d就是g(x)＝－2019的兩根，畫出g(x)(開(kāi)口向上)以及直線y＝－2019的大致圖象，如圖所示，則g(x)的圖象與直線y＝－2019的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是c，d，g(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是a，b.又a>b，c>d，且c，d在區(qū)間(b，a)內(nèi)，所以由圖得，a>c>d>b，故選A.3．(2020·河南鄭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x－cosx，則f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]如圖，作出g(x)＝(eq\f(1,2))x與h＝cosx的圖象，可知其在[0,2π]上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，所以函數(shù)f(x)在[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選C.4．(多選題)(2020·河南新鄉(xiāng)模擬改編)若函數(shù)f(x)＝log2(x＋a)與g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)存在相同的零點(diǎn)，則a的值為(BD)A．－eq\f(5,2) B．－2C．4 D．5[解析]g(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，令g(x)＝0，得x＝－4或x＝a＋5，則f(－4)＝log2(－4＋a)＝0或f(a＋5)＝log2(2a＋5)＝0，解得a＝5或a5．(2020·天津部分區(qū)質(zhì)量調(diào)查)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\s\do4(\f(1,2))x＋1，－1