高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 練案（55）第八章 解析幾何 第六講 雙曲線（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

[練案55]第六講雙曲線A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2019·河北保定模擬)若方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是(A)A．m<2或m>6 B．2<m<6C．m<－6或m>－2 D．－6<m<－22．(2020·福建漳州質(zhì)檢)已知點(diǎn)M為雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1的左支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C左、右焦點(diǎn)，則|MF1|＋|F1F2|－|MF2|(B)A．1 B．4C．6 D．8[解析]由a2＝1，b2＝8，得a＝1，c＝3則|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝|MF1|－|MF2|＋|F1F2|＝－2a3．(2017·全國卷Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，且PF與x軸垂直，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,3)，則△APF的面積為(D)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,2)[解析]因?yàn)镕是雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)．因?yàn)镻F⊥x軸，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為(2，yP)．因?yàn)镻是C上一點(diǎn)，所以4－eq\f(y\o\al(2,P),3)＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.又因?yàn)锳(1,3)，所以點(diǎn)A到直線PF的距離為1，所以S△APF＝eq\f(1,2)×|PF|×1＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).故選D.4．(2018·課標(biāo)全國Ⅲ卷)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為(D)A．eq\r(2) B．2C．eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)[解析]∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(2)，且a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝1，∴C的漸近線方程為y＝±x，∴點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(|4|,\r(2))＝2eq\r(2).5．(2019·河南中原名校、大連市、赤峰市聯(lián)考)已知拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線與雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則雙曲線的離心率是(D)A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．eq\r(6)[解析]拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線方程為x＝－1，聯(lián)立雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1，解得|y|＝eq\f(\r(1－a2),a)，由題意得eq\f(\r(1－a2),a)＝2，所以a2＝eq\f(1,5)，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋5)＝eq\r(6)，故選D.6．(2019·河南非凡聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，一條漸近線與直線4x＋3y＝0垂直，點(diǎn)M在C上，且|MF2|＝6，則|MF1|＝(C)A．2或14 B．2C．14 D．2或10[解析]由題意知eq\f(3,a)＝eq\f(3,4)，故a＝4，則c＝5.由|MF2|＝6<a＋c＝9，知點(diǎn)M在C的右支上，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14.7．(2019·湖南省湘潭市模擬)以雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且漸近線互相垂直的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)A．x2－y2＝1 B．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,9)－y2＝1[解析]由題可知，所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0)，又因?yàn)殡p曲線的漸近線互相垂直，所以a＝b＝3，則該雙曲線的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,9)＝1.8．(2020·福建南平質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1(a>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為(C)A．8eq\r(3) B．6eq\r(3)C．4eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]在△F1PF2中，由余弦定理得：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2得4c2＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2由||PF1|－|PF2||＝2a，得|PF1|·|PF2|＝4b2△F1PF2的面積為eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝4eq\r(3).故選C.9．(2019·湖北省武漢市部分重點(diǎn)高中聯(lián)考)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋(y－2)2＝3相切，則該雙曲線的離心率為(B)A．eq\f(4\r(3),3) B．eq\f(2\r(3),3)C．eq\r(3) D．2eq\r(3)[解析]令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0，故雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0.由題意得eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，整理得a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).選B.二、多選題10．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上異于雙曲線頂點(diǎn)的一點(diǎn)，且向量eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則下列結(jié)論正確的是(ACD)A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±xB．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2C．F1到雙曲線的一條漸近線的距離為1D．ΔPF1F2[分析]求出雙曲線C漸近線方程，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，△PFE的面積即可判斷．[解析]A．代入雙曲線漸近線方程得y＝±x，正確．B.由題意得F1(eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(－eq\r(2)，0)，則以F1F2為直徑的圓的方程不是x2＋y2＝1，錯(cuò)誤．C.F1(eq\r(2)，0)，漸近線方程為y＝x，距離為1，正確．D.由題意得F1(eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(－eq\r(2)，0)，設(shè)P(x0，y0)，根據(jù)eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，解得x0＝±eq\f(\r(6),2)，y0＝±eq\f(\r(2),2)，則△PF1F2的面積為1.正確．故選：ACD.11．雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，下列結(jié)論正確的是(BC)A．該雙曲線的離心率為eq\f(5,4)B．該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(4,3)xC．點(diǎn)P到兩漸近線的距離的乘積為eq\f(144,25)D．若PF1⊥PF2，則△PF1F2[解析]由雙曲線方程知a2＝9，b2＝16，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝5，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，A錯(cuò)；漸近線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝0，即y＝±eq\f(4,3)x，B正確；設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，則16x2－9y2＝144，且點(diǎn)P到兩漸近線距離的乘積為eq\f(|4x－3y|,5)·eq\f(|4x＋3y|,5)＝eq\f(144,25)，C正確；∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(||PF1|－|PF2||＝6,|PF1|2＋|PF2|2＝100))，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－36,2)＝32，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝16，D錯(cuò)；故選BC.12．已知F1、F2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)P，若點(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值可能為(BCD)A．2 B．3C．4 D．5[解析]不妨設(shè)過點(diǎn)F2(c,0)與雙曲線的一條漸近線平行的直線為y＝eq\f(b,a)(x－c)，與雙曲線另一條漸近線y＝－eq\f(b,a)x交點(diǎn)為P(eq\f(c,2)，－eq\f(bc,2a))，因?yàn)辄c(diǎn)P在以線段F1F2為直徑的圓外，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))>0，即(－eq\f(3c,2)，eq\f(bc,2a))·(eq\f(c,2)，eq\f(bc,2a))>0，－eq\f(3c2,4)＋eq\f(b2c2,4a2)>0，－3a2＋b2>0.－3a2＋c2－a2>0，e2>4，∴e>2，故選BCD.三、填空題13．(2020·3月份北京市高考適應(yīng)性考試)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的一條漸近線方程為x＋y＝0，則a＝__1__.[解析]雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(x,a)，即x±ay＝0(a>0)，由題意知a＝1.14．(2020·北京清華附中檢測)過點(diǎn)P(2，－2)，且與雙曲線eq\f(x2,2)－y2＝1有公共漸近線的雙曲線方程為eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.[解析]設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝λ，則λ＝eq\f(4,2)－4＝－2，∴雙曲線方程為eq\f(x2,2)－y2＝－2，即eq\f(y2,2)－eq\f(x2,4)＝1.15．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過點(diǎn)F2作與x軸垂直的直線與雙曲線一個(gè)交點(diǎn)為P，且∠PF1F2＝eq\f(π,6)，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)X.[解析]根據(jù)已知可得，|PF1|＝eq\f(2b2,a)且|PF2|＝eq\f(b2,a)，故eq\f(2b2,a)－eq\f(b2,a)＝2a，所以eq\f(b2,a2)＝2，eq\f(b,a)＝eq\r(2)，雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.16．(2020·河南頂尖名校聯(lián)考)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左，右頂點(diǎn)為A1，A2，右焦點(diǎn)為F1，B為虛軸的上端點(diǎn)，在線段BF1上(不含端點(diǎn))有且只有一點(diǎn)P滿足eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，則雙曲線離心率為eq\f(1＋\r(5),2).[解析]由題意，F(xiàn)1(c,0)，B(0，b)，則直線BF1的方程為bx＋cy－bc＝0，在線段BF1上(不含端點(diǎn))有且只有一點(diǎn)滿足eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PA2,\s\up6(→))＝0，則PO⊥BF1，且PO＝a.∴a＝eq\f(bc,\r(b2＋c2))，即a2＝eq\f(b2c2,b2＋c2).∵a2＋b2＝c2，∴c4－3a2c2＋a2＝0，e4－3解得e2＝eq\f(3＋\r(5),2)，∴e＝eq\f(1＋\r(5),2).B組能力提升1．(2019·遼寧盤錦模擬)已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(D)A．eq\r(5) B．2C．eq\r(3) D．eq\r(2)[解析]如圖，作MD⊥x軸于點(diǎn)D，在Rt△MBD中，|BD|＝a，|MD|＝eq\r(3)a，∴M(2a，eq\r(3)a)∴M點(diǎn)在雙曲線上，∴a2＝b2，即a＝b.∴e＝eq\r(2).2．(2018·天津高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為(C)A．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B．eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1[解析]由題意知右焦點(diǎn)到漸近線的距離b＝eq\f(d1＋d2,2)＝3，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b,a)2)＝eq\r(1＋\f(3,a)2)＝2，∴a2＝3，故雙曲線方程為eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，選C.3．(2019·安徽省淮南市模擬)已知點(diǎn)P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為△PF1F2的內(nèi)心，若S△IPF1＝S△IPF2＋eq\f(1,3)S△IF1F2成立，則雙曲線的漸近線方程為(A)A．2eq\r(2)x±y＝0 B．8x±y＝0C.eq\r(2)x±y＝0 D．3x±y＝0[解析]設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，∵S△IPF1＝S△IPF2＋eq\f(1,3)S△IF1F2，∴eq\f(1,2)|PF1|r＝eq\f(1,2)|PF2|·r＋eq\f(1,3)·eq\f(1,2)|F1F2|·r，∴|PF1|－|PF2|＝eq\f(1,3)|F1F2|，根據(jù)雙曲線定義，得|PF1|－|PF2|＝2a，|F1F2|＝∴3a＝c，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)a，eq\f(b,a)＝2eq\r(2)，可得雙曲線的漸近線方程為y＝±2eq\r(2)x，即為2eq\r(2)x±y＝0，故選A.4．(2020·四川省聯(lián)合診斷)設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左焦點(diǎn)為F，直線4x－3y＋20＝0過點(diǎn)F且與雙曲線C在第二象限交點(diǎn)為P，|OP|＝|OF|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則雙曲線C的離心率為(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(5,4)C．eq\r(5) D．5[解析]如圖所示：∵直線4x－3y＋20＝0