高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題01 集合（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題01集合一、【知識精講】1．元素與集合(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?.(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*(或N＋)ZQR2.集合間的基本關(guān)系(1)子集：若對?x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A．(2)真子集：若A?B，但?x∈B，且x?A，則AB或BA．(3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B．(4)空集的性質(zhì)：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集圖形表示符號表示A∪BA∩B?UA意義{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}[知識拓展]集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論(1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)．(2)任何集合是其本身的子集，即：A?A．(3)子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C．(4)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B．(5)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．二、【典例精練】例1.(2018年全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9 B．8C．5 D．4【答案】A【解析】法一：將滿足x2+y2≤3的整數(shù)法二：根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓x2＋y2＝3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.例2.(1)(2017年全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0(2)已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2019＋b2019的值為()A．1 B．0C．－1 D．±1【答案】(1)B(2)C【解析】(1)因?yàn)锳表示圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)的集合，B表示直線y＝x上的點(diǎn)的集合，直線y＝x與圓x2＋y2＝1有兩個(gè)交點(diǎn)，所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2.(2)由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2019+b2019＝【解法小結(jié)】與集合中的元素有關(guān)的解題策略(1)確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．提醒：集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．例3.(1)(2018年天津高考)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x＜2}，則(A∪B)∩C＝()A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}(2)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，則如圖所示陰影部分所表示的集合為()A．{x|－2≤x<4}B．{x|x≤2或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤2}【答案】(1)C(2)D【解析】(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x＜2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．(2)依題意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此?RA＝{x|－1≤x≤4}，題中的陰影部分所表示的集合為(?RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}．【解法小結(jié)】集合基本運(yùn)算的方法技巧(1)當(dāng)集合是用列舉法表示的數(shù)集時(shí)，可以通過列舉集合的元素進(jìn)行運(yùn)算，也可借助Venn圖運(yùn)算．(2)當(dāng)集合是用不等式表示時(shí)，可運(yùn)用數(shù)軸求解．對于端點(diǎn)處的取舍，可以單獨(dú)檢驗(yàn)．(3)集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算口訣如下：交集元素仔細(xì)找，屬于A且屬于B；并集元素勿遺漏，切記重復(fù)僅取一；全集U是大范圍，去掉U中a元素，剩余元素成補(bǔ)集．例4.．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】[－2,2)【解析】①若B＝?，則Δ＝m2－4<0，解得－2<m②若1∈B，則12＋m＋1＝0，解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意；③若2∈B，則22＋2m＋1＝0，解得m＝－eq\f(5,2)，此時(shí)B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))，不合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．【解法小結(jié)】判定集合間基本關(guān)系的兩種方法和一個(gè)關(guān)鍵兩種方法①化簡集合，從表達(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系；②用列舉法(或圖示法等)表示各個(gè)集合，從元素(或圖形)中尋找關(guān)系一個(gè)關(guān)鍵關(guān)鍵是看它們是否具有包含關(guān)系，若有包含關(guān)系就是子集關(guān)系，包括相等和真子集兩種關(guān)系例5.已知集合A＝{x|x2－x－12>0}，B＝{x|x≥m}．若A∩B＝{x|x>4}，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－4,3) B．[－3,4]C．(－3,4) D．(－∞，4]【答案】B【解析】集合A＝{x|x<－3或x>4}，∵A∩B＝{x|x>4}，∴－3≤m≤4，故選B.例6.如果集合A滿足若x∈A，則－x∈A，那么就稱集合A為“對稱集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是對稱集合，集合B是自然數(shù)集，則A∩B＝________.【答案】{0,6}【解析】由題意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而當(dāng)x＝0時(shí)不符合元素的互異性，所以舍去．當(dāng)x＝－3時(shí)，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．易錯(cuò)警示：解決集合運(yùn)算問題需注意以下四點(diǎn)：1看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提.2看集合能否化簡，集合能化簡的先化簡，再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問題簡單明了，易于求解.3要借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，并注意端點(diǎn)值的取舍.4以集合為依托，對集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)加以創(chuàng)新，但最終應(yīng)轉(zhuǎn)化為原來的集合問題來解決.三、【名校新題】1.(2019年河南名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}，若A∩B＝{4}，則a＝()A．3 B．2C．2或3 D．3或1【答案】A【解析】∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時(shí)B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時(shí)B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3，故選A.2．(2019·重慶六校聯(lián)考)已知集合A＝{x|2x2＋x－1≤0}，B＝{x|lgx<2}，則(?RA)∩B＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)) D．?【答案】A【解析】由題意得A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B＝(0,100)，則?RA＝(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，所以(?RA)∩B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，100)).3．(2019·合肥質(zhì)量檢測)已知集合A＝[1，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a≤x≤2a－1))))，若A∩B≠?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．(1，＋∞)【答案】A【解析】因?yàn)锳∩B≠?，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1≥1，2a－1≥\f(1,2)a，))解得a≥1.4.(2019·福州質(zhì)量檢測)已知集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|－1<x≤4}，則集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】依題意，集合A是由所有的奇數(shù)組成的集合，故A∩B＝{1,3}，所以集合A∩B中元素的個(gè)數(shù)為2.5.(2019·鄭州質(zhì)量測試)設(shè)集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，則a的取值范圍是()A．(－∞，2] B．(－∞，1]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)【答案】D【解析】由A∩B＝A，可得A?B，又因?yàn)锳＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.6.．定義集合的商集運(yùn)算為eq\f(A,B)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,n)，m∈A，n∈B))))，已知集合A＝{2,4,6}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)－1，k∈A))))，則集合eq\f(B,A)∪B中的元素個(gè)數(shù)為()A．6 B．7C．8 D．9【答案】B【解析】由題意知，B＝{0,1,2}，eq\f(B,A)＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)))，則eq\f(B,A)∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,4)，\f(1,6)，1，\f(1,3)，2))，共有7個(gè)元素．7.（2019茂名市聯(lián)考）已知集合M=x,yy=3x2,N=A.0B.1C.2D.3【答案】C8.（2019湖北部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知集合M=xy=1?A.M?NB.N?MC.M?CR【答案】B9.（2019唐山模擬）若集合A=x?1<x<1,x∈R,B=xy=x?2A.0，1C.?1,1∪2,+∞)【答案】C10.（2019江西百校聯(lián)盟聯(lián)考）已知集合A=x?5+21x?4x2A.3B.4C.5D.6【答案】C11.（2019荊州市八校聯(lián)考）已知集合，，則（）A．B．C．D．【答案】：A【解析】，所以12.（2019年湖南省五校協(xié)作體聯(lián)考）設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D13.（2019年合肥二模）若集合，，則A.B.C.(-1，1)D.(-1，2)【答案】C14.（2019年九江市高三聯(lián)考）已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C15.（2019年深圳高中高三聯(lián)考）已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，則(RB)∩A＝()A.{x|－2≤x<1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}【答案】C【解析】集合A＝{x|1<x<3}，B＝{x|x>2}，則(?RB)∩A＝{x|1<x≤2}，選C.16.（2019年蚌埠一中高三考試題）已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】C17．已知集合A＝{x|－x2＋4x≥0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,81)<3x<27))，C＝{x|x＝2n，n∈N}，則(A∪B)∩C＝()A．{2,4} B．{0,2}C．{0,2,4} D．{x|x＝2n，n∈N}【答案】C【解析】∵A＝{x|－x2＋4x≥0}＝{x|0≤x≤4}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,81)<3x<27))＝{x|3－4<3x<33}＝{x|－4<x<3}，∴A∪B＝{x|－4<x≤4}，又C＝{x|x＝2n，n∈N}，∴(A∪B)∩C＝{0,2,4}，故選C.18．(2018·浙江高三調(diào)研)設(shè)全集U＝{x|－4<x<10}，集合A＝{x|x2＋3x－4<0}，集合B＝{x|1≤|x－1|≤2}，則B∩(?UA)＝()A．[－1,0]∪[2,3] B．[2,3]C．[－1,0] D．[－1,0]∪[1,10)【答案】B【解析】法一：由x2＋3x－4<0得－4<x<1，所以集合A＝(－4,1)，所以?UA＝[1,10)；由1≤|x－1|≤2得－1≤x≤0或2≤x≤3，所以集合B＝[－1,0]∪[2,3]．所以B∩(?UA)＝[2,3]．故選B.法二：由選項(xiàng)可知，若取x＝0，則0∈A,0??UA,0∈B.所以0?B∩(?UA)．故選B.19．(2018·臺州三校適考)已知集合A＝{x|log4(x＋1)≤1}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，則A∩B＝()A．{－1,1,3} B．{1,3}C．{－1,3} D．{－1,1}【答案】B【解析】由log4(x＋1)≤1，得0<x＋1≤4，－1<x≤3，即集合A＝(－1,3]，則A∩B＝{1,3}，故選B.20.已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b，集合A＝{x|f(x)≤0}，集合B＝eq\b\lc\{\r