2022年新高考數(shù)學(xué)搶分攻略：03 三角函數(shù)與解三角形（解析）

03三角函數(shù)與解三角形

高考預(yù)測

題型預(yù)測選擇題、填空題、解答題☆☆☆☆☆

考向預(yù)測三角函數(shù)與解三角形綜合

應(yīng)試攻略

（1）在三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，求3的值是高考命題中的一個熱點，與其有關(guān)的問題靈活多樣，涉

及的知識點多，歷來是復(fù)習(xí)的難點.（2）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點內(nèi)容之一，且在多選題

中出現(xiàn)頻率較高，主要考查內(nèi)容有：三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、圖象的對稱性、平移變換等.在

考查時經(jīng)常與三角恒等變換相結(jié)合，解題時要充分利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方

程思想等進(jìn)行求解.（3）數(shù)學(xué)開放題是高考的一種新題型，此類問題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新

能力，激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的意識.開放題通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變設(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索性

以及解決問題過程中的多角度思考.解三角形是開放性命題的熱點之一.

1.從考點頻率看，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解三角形中的結(jié)構(gòu)不良題是高頻考點、必考點，所以必須

完全掌握。

2.從題型角度看，可以是選擇題、填空題或者解答題，分值20分左右，著實不少！

e知識必備

課程標(biāo)準(zhǔn)命題解讀

1.借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會考查形式：一般為一個選擇題或一個填空題和

引入弧度制的必要性.一個解答題

2.用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)考查內(nèi)容：三角函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)、同

的周期性、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性和最大（?。┙侨呛瘮?shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變

值等性質(zhì).換、正弦定理、余弦定理.

3.探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系.備考策略：（1）熟練應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系

4.利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題.式、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換公式化簡、求值.

5.能用余弦定理，正弦定理解決簡單的實際問⑵重視對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，注意將

題.問題和方法進(jìn)行歸納、整理.

⑶加強(qiáng)正弦、余弦定理應(yīng)用方面的訓(xùn)練.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算.

1.角的概念

!按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正右、強(qiáng)魚、零角.

(1)分類1按終邊位置不同分為象限角和軸線角.

(2)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S={616=

a+kS60。，即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個周角的和.

2.弧度的定義和公式

⑴定義:長度等于坐徑近的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度單位用符號rad表示.

(2)公式

①弧度與角度的換算：360°=區(qū)rad,180°=匹rad.

②弧長公式：l=aR.

③扇形面積公式：S扇形=g/R和S

說明：②③公式中的a必須為弧度制.

3.三角函數(shù)的概念

(1)定義：設(shè)a是一個任意角，a￡R,它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).

①把點P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即y=sina；

②把點P的橫坐標(biāo)光叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa；

③把點P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值；叫做a的正切，記作tana,即:=tana(x#0).

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

(2)三角函數(shù)定義的推廣：設(shè)點P(x,y)是角a終邊上任意一點且不與原點重合，r=|OP|,

VXV

則sina=；,cosa=~,tana=#xW0).

(3)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號.(口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦)

"""

++—+—+

O*O*Ox

--++

sinacowatana

4.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1(aR).

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=；那：,工也+,,AGZ).

提醒：(1)平方關(guān)系的作用：實現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式求值，要注

意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號.

(2)商數(shù)關(guān)系的作用：切化弦，弦切互化.

(3)掌握變形公式：sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a,sina=tanacosa(a埠+k7t,k.WZ)

.tan2a1

sm2a=7T麻？cos2a=不命

5.誘導(dǎo)公式

sin(a+k2;t)=sina,

公式一cos(a+Z?27i)=cosa,

tan(a+Z:-27c)=tana,其中kRZ

sin(7i+a)=-sina,

公式二cos(兀+a)=-cosa,

tan(7c+a)=tana

sin(—<x)=-sina,

公式三cos(—?)=cosa,

tan(—a)=-tana

sin(7i—a)=sina,

公式四COS(TT-a)=-cosa,

tan(n—a)=~tana

sin(>a)

=cosa,

公式五

,=sina

cosl2-°

sin(]+a)

=cosa,

公式六

色上)

cosl2+?=-sina

提醒：(1)誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”"偶”指的是"k5+a(kez)”中的

k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化.若k是奇數(shù)，則正、余弦互變;

若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變.“符號看象限”指的是在“W+a(kGZ)”中，將a看成銳角時,

7T

“k-]+a(kGZ)”的終邊所在的象限.

⑵利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟：

月利用誘導(dǎo)-魔力利用誘導(dǎo)累叫利用誘導(dǎo)公式回

|角函M公式三或一一|角函履|公式一一|角函1|二或四或五或六T角函數(shù)I

也就是：“負(fù)化正，去周期，大化小，全化銳”.

6.用“五點法”作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖

在正弦函數(shù)產(chǎn)sin[0,2捫的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,0),住1),(兀,0),停一1),

(2兀，0).

在余弦函數(shù)y=cosx,X?[0,2兀]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0,1),g,0),(兀，-1),[,，0),

(2TI,1).

7.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

卜尸

15力庵

圖象

定義卜xdR,且%wz}

RR

域

值域[—1,1][—1,1]R

最小

正周2兀2兀71

期

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

單調(diào)兀在[2E,2E+捫上

在2E-2E在&兀一,，&兀+上

性遞減；在[2&兀一兀，

+引TT上單調(diào)遞增；2E]上單調(diào)遞增單調(diào)遞增

伏eZ)

在2E+],

31

2E+1兀上單調(diào)遞

減(ZGZ)

對稱(E+5，0)(%eZ)仔」Q)(MZ)

(E,0)他GZ)

中心

對稱兀

x=E+/(Z￡Z)x=kTt(kCZ)無

軸

提醒：(1)求函數(shù)y=Asin(o)x+(p)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意3的符號，只有當(dāng)3>0時，才能把cox

+(p看作一個整體，代入y=sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解.

(2)表示單調(diào)區(qū)間時，不要忘記kez.

8.常用結(jié)論

JT

(1)若y=Asin(cox+s)為偶函數(shù)，則有3=E+/伏eZ)；若y=Asin(cox+s)為奇函數(shù)，則有

S=At(%eZ).

(2)若y=Acos((yx+9)為偶函數(shù)，則有s=E(%WZ)；若y=Acos((wx+9)為奇函數(shù)，則有夕

兀

=&兀+](%￡Z).

(3)若y=Atan(Gx+9)為奇函數(shù)，則有夕=依(左￡2).

9.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(a±0=sinacos￡±cosasin6.

(2)cos(ct土夕)=cos0cos￡干sinasin

c、,[ana±tan￡

(3)tan(z6c±m(xù)p)=;二.

-'1+tanatan￡

10.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa.

(2)cos2a=cos2(x—sin2a=2COS2?-1=1-2sin2a.

…-2tana

(3)tan2a=~-----.

'71—tan2a

11.常用公式

3一4八八一o1+cos2a、1—cos2a

(1)降暴擴(kuò)角公式：cos2a=-----2-----，sin2a=-----耳---.

(2)升幕公式：1+cos2a=2cos2a,1—cos2a=2sin2a

(3)公式變形:tana±tan/?=tan(a±/?)(1+tana-tan夕).

22

(4)輔助角公式：asmx+bcosx=yja+bsin(x+(p)f

—一.ba

其中sm：=cos(p=r^—75.

y]a+by]a+b

12.常見的配角技巧

.,八、c八ca+Ba-Ba+B,a-Ba—B

2i=(a+夕)+(Q一夕)，a=(a+￡)—￡,§=-——―~,a=-5-+-5-，-5-

萌)?

13.函數(shù)y=Asin(o)x+s)的有關(guān)概念

振幅周期頻率相位初相

y=Asin(3x+0)

_2兀

T=—CDx+(p

(A>0,tw>0)AcoJ~T~2n(p

14.用“五點法”畫函數(shù)了=羔皿(①x+s)一個周期內(nèi)的簡圖

用“五點法”畫函數(shù)產(chǎn)Asin(0x+s)(A>O,cy>O)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點,

如下表所示：

匹3兀

a)x-\-(p0n2兀

2~2

71(pR一(P3R_(p2兀一『

X

co2cocoCD2coCDCD

y=Asin(①x+g)0A0-A0

15.由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(tyx+s)(A>0,①>0)的圖象的兩種方法

方法一方法二

|畫出片sinx的圖象卜—驟一|畫出片sinx的圖象

1

向左切>0)或平移期個單位橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腏倍

向右?<0)長度

17

|得到y(tǒng)=sin(x+彷的圖象卜一驟—T得到y(tǒng)=sins?的圖象

2

平移則個單位

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腂倍向左(9>0)或

向右?<0)長度3

國

|得到y(tǒng)=sin(的圖象H—驟―H得到y(tǒng)=sin(cur+9)的圖象|

3

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍

國

|得至W=4sin(5+0)的圖象p*—驟—H得到y(tǒng)=4sin(sx+p)的圖象|

4

16.明確以下兩個關(guān)系

(1)函數(shù)的周期與圖象的對稱性之間的關(guān)系.

①正弦曲線或余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是3周期，相鄰的對稱

中心與對稱軸之間的距離是(周期.

②正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是g周期.

(2)對稱軸(對稱中心)與函數(shù)值的關(guān)系.

在判斷對稱軸或?qū)ΨQ中心時，用以下結(jié)論可快速解題：設(shè)y=/(x)=Asin((wx+3),g(x)=Acos(tyx

+(p),尤=xo是對稱軸方程％Qo)=±4g(祀尸±A；(xo.O)是對稱中心力(xo)=O,g(xo)

=0.

17.余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩

倍.即

層二小十片一2bccosA,

：2=12+d一2accosB,

<?=42+〃2—2a/cosC.

余弦定理的推論：

b2-\-c2—cr

cosA=..~'2bT..

cr+c2—^

cosB—

2cle

C『+〃2—c2

cosC=lab-

18.正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即焉=系=焉=2上其中R

是三角形外接圓的半徑.

正弦定理的變形公式：

(l)67=2/?sinA,b=2Rs\nB,c=2RsinC.

a.八。c

(2)sinA=2R，sin?R,sinC=2R

(3)Q:b:c=sin，：sinB:sinC?

19.三角形的面積公式

(l)S=^ah(h表示邊a上的高).

(2)S=?bcsinA=gacsinB=gabsinC.

(3)S=%(a+b+c)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑).

20.常用結(jié)論

在AABC中，常用以下結(jié)論：

(1)ZA+ZB+ZC=7T.

(2)在三角形中大邊對大角，大角對大邊.

(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.

A+BCA+

(4)sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=—cosC；tan(A+B)=—tanC；sin--=cos'；cos-5

C

=sin

(5)tan/I+tanB+tanC=tanAlanBtanC.

(6)A>BO?>/?<4sinA>sinB<4cosA<cosB.

21.仰角和俯角

意義圖示

1/視線

在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方

篦卜——水平線

的角叫他身，在水平線下方的角叫俯角.線角

、視線

22.方位角

意義圖示

dt

從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B西-----

點的方位角為a.

23.方向角

意義圖示

相對于某一正方向的水平角

北

(1)北偏東a,即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向；

北偏東目標(biāo)

(2)北偏西a,即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)a到達(dá)目標(biāo)方向；

東

(3)南偏西等其他方向角類似.

24.坡角與坡度

意義圖示

(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角e

為坡角)；

(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡_________E

/

度).坡度又稱為坡比.

1.應(yīng)用弧度制解決問題的方法

(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.

(2)求扇形面積的最大值問題，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，

也可以通過“配湊”法利用基本不等式求最值.

2.三角函數(shù)定義的應(yīng)用策略

(1)已知角a終邊上一點P的坐標(biāo)，可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解.

(2)已知角a的終邊所在的直線方程(注意分為兩條射線)，可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此

點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解.

(3)已知角a的某個三角函數(shù)值，求角a終邊上一點P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩

個量列方程求參數(shù)值

3.利用“切弦互化”的技巧

(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為正切的表達(dá)式，進(jìn)行求值.

常見的結(jié)構(gòu)：

①sina,cosa的齊次式(乜口asin2a+bsinacosa+ccos2a);

…、、、(，asina+bcos

②sina,cosa的齊次分式［如訴不而

(2)切化弦：利用公式tana=藍(lán)器，把式子中的正切化成正弦或余弦.一般單獨出現(xiàn)正切、余

切時，采用此技巧.

4.“sina土cosa,sinacos關(guān)系的應(yīng)用

sinaicosa與sinacosa通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即(sinaicosa)2=l±2sinacosa,sinacosa

=(sma+”-l,sinacosa=l—(sin：cosa)2因此在解題時已知一個可求另外兩個.

5.求三角函數(shù)的值域(最值)常見的三種類型

(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函數(shù)化為y=Asin(cox+(p)+c的形式，再求值域(最值).

⑵形如y=asin2x+bsinx+c的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx=t,化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最

值).

⑶形如y=asinxcosx+"(sinx土cosx)+c,的三角函數(shù)，可先設(shè)f=sinx土cosx,化為關(guān)于/■的二

次函數(shù)求值域(最值).

6.已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間的方法

(1)代換法：將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個角，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

性列不等式求解.

(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

7.已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定參數(shù)①的取值范圍的步驟

首先，明確所給單調(diào)區(qū)間應(yīng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的子集：

其次，要確定已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而利用它們之間的包含關(guān)系求解；

另外，若是選擇題，利用特值驗證排除法求解更為簡捷.

8.三角函數(shù)圖象的對稱軸和對稱中心的求解方法

求三角函數(shù)圖象的對稱軸及對稱中心，需先把所給三角函數(shù)式化為y=Asin(3x+(p)或y=

Acos(cox+(p)的形式，再把o)x+q)整體看成一個變量z.若求f(x)=Asin(cox+(p)(o)WO)圖象的對

TT

稱軸，則只需令z=cox+(p=/+k兀(k￡Z),解出x;若求f(x)=Asin(3x+(p)(o#0)圖象的對稱中

心的橫坐標(biāo)，則只需令z=cox+(p=k兀(kez),解出x.

9.已知三角函數(shù)值求角的解題步驟

(1)根據(jù)條件確定所求角的范圍；

(2)確定待求角的某種三角函數(shù)值，為防止增解，最好選取在上述范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù)；

(3)結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.

10.應(yīng)用角的變換求值策略

解決此類問題應(yīng)明確各個角之間的關(guān)系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角

的變換技巧，及半角與倍角的相互轉(zhuǎn)化,如：2a=(a+夕)+(a—￡),a=(a+』)一￡=(a—尸)+

B，40°=60°-20°,仔+a)+仔-a)q5=24等.

11.三角恒等變換綜合應(yīng)用的解題思路

⑴將f(x)化為asinx+bcosx的形式.

(3)和角公式逆用，得f(x)=/a2+b2sin(x+(p)(其中(p為輔助角).

(4)利用f(x)=(a2+b2sin(x+(p)研究三角函數(shù)的性質(zhì).

(5)反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范.

12.由圖象確定函數(shù)y=Asin((yx+s)+8(A>0,①>0)的解析式的步驟

.M—mM+m

(1)求A,B,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=——,B=——.

2兀

(2)求co,確定函數(shù)的周期T,則8=亍.

(3)求勺，常用方法有：

①代入法：把圖象上的一個已知點的坐標(biāo)代入(此時要注意該點在遞增區(qū)間上還是在遞減區(qū)

間上)或把圖象的最高點(最低點)的坐標(biāo)代入.

②五點法：確定(p值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口.

13.三角函數(shù)圖象和性質(zhì)綜合問題的解題策略

(1)圖象變換問題.

先根據(jù)和差角公式、倍角公式把函數(shù)表達(dá)式變?yōu)檎倚秃瘮?shù)y=Asin（（ox+（p）+t或余弦型函

數(shù)y=Acos（（ox+（p）+t的形式，再進(jìn)行圖象變換.

（2）函數(shù)性質(zhì)問題.

求函數(shù)周期、最值、單調(diào)區(qū)間的方法步驟：

27r

①利用公式T=管（8>0）求周期.

②根據(jù)自變量的取值范圍確定wx+（p的取值范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域

或最值.另外求最值時，根據(jù)所給關(guān)系式的特點，也可換元轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值.

③根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列不等式求函數(shù)y=Asin（（ox+（p）+t或y=Acos（cox+（p）+

7的單調(diào)區(qū)間.

14.利用正、余弦定理解三角形的策略

（1）已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三能形，可用正弦定理，也可用余弦定理.用正

弦定理時，需判斷其解的個數(shù)；用余弦定理時，可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).

（2）三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩

邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大南進(jìn)行

判斷.結(jié)合圖象求解較為直觀易解.

6判斷三角形形狀的常用途徑

通過正弦定理、余弦定理化

角為邊，通過代數(shù)恒等變換，

求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行

判斷

通過正弦定理、余弦定理化

邊為角，利用三角恒等變換

得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系

進(jìn)行判斷

16.判斷三角形的形狀的注意點

在判斷三角形的形狀時，一定要注意三角形的解是否唯一，并注重挖掘隱含條件.另夕卜,

在變形過程中，要注意角A,B,C的范圍對三角函數(shù)值的影響.在等式變形時，一般兩邊不

要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.

17.求解三角形面積問題的方法技巧

（1）若三角形中已知一個角（角的大小或該角的正、余弦值），結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角

的兩邊之積，代入公式求面積.

（2）若已知三角形的三邊，可先求其中一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積.

總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.18.含參數(shù)的能成立（存在型）問題的解題方

法

典例剖析

一、多選題命題熱點之三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點內(nèi)容之一，且在多選題中出現(xiàn)頻率較高，主要考

查內(nèi)容有：三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性、圖象的對稱性、平移變換等.在考查時經(jīng)常

與三角恒等變換相結(jié)合，解題時要充分利用三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方

程思想等進(jìn)行求解.

例1、（多選題）對于AABC,有如下判斷，其中正確的是（）

A.若sin2A=sin2B,則△ABC必為等腰三角形

B.若A>B,則sinA>sinB

C.若a=5,b=3,B=60。，則符合條件的△ABC有兩個

D.若siMA+siMB-sin2c<0,則△ABC必為鈍角三角形

【答案】BD

【解析】

【分析】

本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

運用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到24=28或2A+23=7T,得到4=8或4+3=],可以判定4運用正

弦定理可以判定8,C,運用正余弦定理可以判定。.

【解答】

解：在△48C中，

A.若sin24=sin2B,0<2.4<2TT,0<2B<2TT,

貝i]2A=2B或2A+23=Jr,

所以力=8或'+/?=￡,

所以△48C為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤:

B.A>根據(jù)大角對大邊，得到Q>b,

再由正弦定理得到sinA>sinB,故8正確；

C.a=5,b=3,B=60°,

3_5

由正弦定理得:

sin60°sin/'

解得sin4=忘>1,故A無解，

故符合條件的AyIBC為0個，故C錯誤;

D因為sin?A+sin2B—sin2C<0

由正弦定理得到。22

2+b-c<0,

所以皿c=*<0,

所以C為鈍角，則△ABC必為鈍角三角形，故。正確.

故選BD.

例2、（多選題）在銳角△ABC中，a,b,c分別是角A,B,C的對邊，已知c=2,若sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C,

則下列說法正確的是（）

A.C=5B.AGf-,-'）

3\6,2j

C.B€（0噂D.a+b6（2s/3,4]

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查了正弦定理，余弦定理，函數(shù)y=4sin（3x+w）的性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運算求解

能力，是中檔題.

由正弦定理可得。2+人2一帥=?2,利用余弦定理求出cosC和C的值，判斷4正確;由三角形內(nèi)角和定理，結(jié)

合題意求出8、4的取值范圍，判斷B正確，C錯誤;由正弦定理求出a+b的取值范圍，判斷。正確.

【解答】

解：銳角△4BC中，sin2?l+sin2B-sin^sinB=sin2C,

由正弦定理可得：a2+b2-ab=c2,所以a?+所一c?=ab;

ab1

由余弦定理可得COSC=a.*--=一,

2ab2

又ce(o&,所以C=g,選項A正確；

由三角形內(nèi)角和定理知，4+8=拳所以8=與一月；

又所以?一4<三，解得4>?所以選項8正確；

同理，8€?譚)，所以選項C錯誤；

由正弦定理得a+b=肅⑸必+sinB)

=詈(sin/+sinB)

=竽[sinA+sin(y-A)]

=#(I，由4+YcosA)

=4sin(4+-),

6

由4E第9得等，

所以a+b€(2百,4],選項。正確.

故選：ABD.

例3、(多選題)對于函數(shù)f(x)=sin(3x-9,(3>0),下列結(jié)論正確的是()

A.若f(x)2f(一弓)恒成立，則3的最小值為2

B.當(dāng)3=2時，[1^-3101+用,kez是單調(diào)增區(qū)間

C.當(dāng)3=2時，f(x)的圖象關(guān)于(*,0)對稱

D.當(dāng)3=2時，f(x)的圖象可由y=cos(2x-》的圖象向右移三個單位得到

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查三角函數(shù)丫=4§譏(3￥+伊)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一選項進(jìn)行驗證即可.

【解答】

解:對于4因為f(x)2/(-勺恒成立，所以/(一力=$in(一常一白=一1,

1818In.5

所以一卷一[=—J+2AFkeZ,

io<52

又3>0,所以3的最小值為3.故A錯誤；

對于B,當(dāng)3=2時，/(x)=sin(2x-g),由一1+2k?r42x-+2k;r.k€Z可得

s2?52

——+A'TTxy—+k?r,k€Z,故8正確；

對于C,當(dāng)3=2時,，/(x)=sin(2x-^),由2工一J=krr,k&Z,可得工=—4--,k&Z,當(dāng)卜=-1時，

x=-p故/⑶的圖象關(guān)于(一，0)對稱，故C正確；

對于C，將y=cos(2x-g)的圖象向右移三個單位得到

o3

V=工一1=cos(2x_,_；)=co福-(2x-^)]=sin(2x-；),故。正確.

二、多選題命題熱點之解三角形

以三角形為載體，以正弦定理、余弦定理為工具，以三角恒等變換為手段來考查解三角形

問題是多選題中的一類熱點題型，主要考查內(nèi)容有正弦定理、余弦定理、三角形面積的計算、

三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì).解題時通常交替使用正弦定理、余弦定理，利用函數(shù)與方程

思想等進(jìn)行求解.

例1、(多選題)對于△ABC,有如下命題，其中正確的有()

A.若sin2A=sin2B,則團(tuán)ABC是等腰三角形

B.若團(tuán)ABC是銳角三角形，則不等式sinA>cosB恒成立

C.若5皿2人+$皿28+852(：<1,則回ABC為鈍角三角形

D.若AB=顯,AC=1,B=30°,則回ABC的面積為⑨或型

42

【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，屬于中檔題.

根據(jù)正余弦定理依次討論各選項即可得答案.

【解答】

解：對于4選項，由sin24=sin2B,

得24=2B或24+2B=乃，

故團(tuán)4BC是等腰三角形或直角三角形，故不正確;

對于B選項，由銳角三角形得/+8冶，得”4冶一8,

故根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得sin">sin仁—8)=cosF,故命題成立;

對于C選項，???sin2A+sin2B+cos2C<1,

:.sin2/l+sin2^<1—cos2C=sin2C,

由正弦定理得M+b2<c2,

所以角。為鈍角，

所以團(tuán)4BC為鈍角三角形，故C正確；

對于。選項，???48=遮，AC=1,B=30°,

.萬ABsinBV3

:，sine=---A-C---=—2?

5LAB>AC,

AC=60?；?20。，

???A=90°或30°,

D

???SAABC=^AB-AC-sin/1=?或手，故正確?

故選：BCD.

例2、（多選題）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,下列說法中正確的是（）

A.若A>B,則sinA>sinB

B.若sin2A=sin2B,則A=B

C.若a?+b2<c2,則AABC為鈍角三角形

D.若bcosC+ccosB=asinA,貝！］AABC為直角三角形

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查正弦定理及余弦定理，考查分析能力，屬于基礎(chǔ)題.

結(jié)合正弦定理和余弦定理以及大邊對大角，逐一分析求解即可.

【解答】

解：

對于4因為4>8,所以由正弦定理有a>b,又在三角形中，大邊對大角，所以sinA>sinB,所以4正

確；

對于若sin24=sin2B,則有24=28或24=TT-2B,即4=8或故8不正確；

對于C,因為a2+b2<c2,所以由余弦定理有cosC=3W<0,又0<。<兀，所以C為鈍角，所以C

2ab

正確；

對于。，設(shè)三角形的外接圓半徑為R,由正弦定理有a=2Rsim4得，

bcotiC+ccosB=2RsinBcosC+2/?sinCD=+C）=2/?sin.4,

所以asinA=2Rsin4貝iJa=2R,

則乙4=90°,則44BC為直角三角形,故。正確；

故選ACD.

例3、（多選題）在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且（a+b）:（a+c）:（b+c）=9:10:11,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.若c=6,則△ABC外接圓半徑為隨

7

B.△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍

C.△ABC是鈍角三角形

D.sinA:sinB:sinC=4:5:6

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本題考查利用正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式，屬于中檔題目.

由正弦定理可判斷4；由余弦定理可判斷B;由余弦定理和二倍角公式可判斷C;由正弦定理可判斷二

【解答】

解：因為(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,故可設(shè)a+b=93a+c=lOt,b+c=lit,解得a=43

b=5t,c=6t,t>0,

可得sinA:sinB:sinC=atbtc=4:5:6,故D正確；

由c為最大邊，可得cosC=《i『=0空守巨=：>0,即C為銳角，故C錯誤；

2a.b2-4t,5t8

cos2A=2cos24-l=2x^-l=i=cosJ

由24C6(O.TT),可得24=C,故8正確；

6_16

若c=6,可得2氏=赤△ABC外接圓半徑為隨，故A正確.

故選：ABD.

三、開放題命題熱點之解三角形

數(shù)學(xué)開放題是高考的一種新題型，此類問題的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識和創(chuàng)新能力，激

發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的意識.開放題通常是改變命題結(jié)構(gòu)，改變設(shè)問方式，增強(qiáng)問題的探索

性以及解決問題過程中的多角度思考.解三角形是開放性命題的熱點之一.

例1、在①bc=t(b+c),其中t為角A的平分線AD的長(AD與BC交于點D),

②sin2A-(sinB-sinC)?=3sinBsinC,③b=acosC-JcsinA這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面問題中，

并解答,在12ABe中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,.

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求m=^的取值范圍.

【答案】解：(1)方案一：選條件①be=t(b+c).

由題意可得SABAD+SACAO=^AABC

Ill

-ctsinZ.BAD-btsinZ.CAD=-bcsinZ.BAC.

222

???2D為NBAC的平分線，4BAD=^CAD=^BAC,

???ctsinZ-BAD+btsinZ-BAD=bcsin(2zFi4D),

即七(c4-b^sinZ-BAD=bcsin(2z_840)

又be=t(b+c),

???sinZ-BAD=sin(24BAD),即sinz_B4D=2sinZ-BADcos/-BAD,

,:乙BADE(0,^),cosZ-BAD=

???乙BAD=p

方案二：選條件②siMA—(sinB—sinC)2=3sinBsinC.

由已知結(jié)合正弦定理得M-62-c2=be,

b2+c2-a2-be

由余弦定理得COSA=

v0<i4<7T,

.2n

:，A=——.

3

方案三：選條件③b=acosC—ycsinA.

由正弦定理得，sinB=sinAcosC——sinCsini4,

3

又B=7r—(i44-C),:.sin(4+C)=sinAcosC—苧sinCsinA,

???sinAcosC+cos?lsinC=sinAcosC--sinCsin/l,

3

???cos/lsinC=——sinCsini4,

3

vsinC>0,

Atarii4=一遮，

v0<<7T,

sinA+sinBy+sin(^-C

(2)m=

y+-cosC-|sinC

sinC

_」(1+cosC)i

-sinC2

_T2COS2f1

-r.CC

2sin-cos-29

22

一二」

一?C

tan-/7

2

又ce(o,§,.小66(0,凈，所以m>l

???m的取值范圍是(1,+8)

【解析】本題主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等變換，以及三角函數(shù)的值域，屬于中檔題.

(1)選擇①，利用三角形面積公式，計算得NB4D,從而計算角4的值.

選擇②，利用正弦定理把角化為邊，然后利用余弦定理求出角4即可；

選擇③，利用正弦定理把邊化為角，然后利用sinB=sin(Z+C),化簡求出角4即可；

(2)三個選擇方法結(jié)果是一樣的，利用正弦定理把771=早轉(zhuǎn)化為m=匣黑竺，代入4消去B,由三角函數(shù)

的值域求解m的范圍.

例2、在①asinC—V3ccosBcosC=V3bcos2C；@5ccosB+4b=5a；③(2b—a)cosC=ccosA這三個條件

中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.且滿足.

⑴求sinC；

(2)己知a+b=5,△ABC的外接圓半徑為竽，求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn).注：如果選擇多個條件分別解答，

按第一個解答計分.

【答案】解：選擇條件①：

(1)因為asinC—V3ccosBcosC=V3bcos2C,

所以由正弦定理得sinAsinC=V3sinCcos5cosC4-V3sinBcos2C,

即sin/lsinC=V3cosC(sinCcosF+sin8cosC)，

故sinAsinC=V3cosCsin/l.

又/6(0,7r)=sin/W0,

所以sinC=次cosC=>tanC=V3.

由C€((),")=

所以sinC=sin-=—.

32

(2)由正弦定理得c=2x竽sing=4,

222

由余弦定理得c?=a4-h-2abeosg=(Q+Z?)—Sab=16,

所以==昉=3.

3

于是得△48c的面積S=^absinC=|c/i,

所以南=absinC=3X4=3柢

C48

選擇條件②：

(1)因為5ccos8+4b=5a,

由正弦定理得5sinCcosB+4sinB=5sin4

即5sinCcosB+4sinB=5sin(B+C)=5sinScosC+5cos5sinC,

于是sin8(4—5cosC)=0.

在AABC中，sinB豐口,

所以cosC=/

sinC=Vl—cos2C=|.

(2)由正弦定理得c=2x竽x|=笫，

由余弦定理得c?=a24-h2-2abcosC

=(a+by-^ab=^,

所以ab=[(a+匕＞一端X卷=詈,

于是得△48c的面積S=jahsinC=^chf

E斤hlLabsinC43335433V3

-C~9058V3-720,

選擇條件③：

(1)因為(2b—a)cosC=ccosA,

所以由正弦定理得

(2sinB—sin/)cosC=sinCcosA,

所以2sin8cosC=si「Q4+C)=sinB,

因為BW（O,7r）,

所以sinBH0=cosC=p

又4E(0,7r),

所以C=±

所以sinC=—.

2

(2)由正弦定理得c=2x竽sing=4,

由余弦定理得c?=a2+h2-2abeosg=(a+b)2-3ab=16,

所以帥二竺以竺=M=