復(fù)變函數(shù)課件1-6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性

復(fù)變函數(shù)課件1-6目錄復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分可微性與可積性積分與級(jí)數(shù)CONTENTS01復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)CHAPTER由實(shí)部和虛部組成的數(shù)，表示為a+bi，其中a和b是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位。復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的模共軛復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)的大小，定義為|z|=√(a^2+b^2)。實(shí)部相同，虛部相反的復(fù)數(shù)。030201復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律，可以按照實(shí)部和虛部分別相加。按照加法的規(guī)則進(jìn)行。按照分配律和乘法公式進(jìn)行。通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行。加法減法乘法除法復(fù)平面點(diǎn)的坐標(biāo)單位圓輻角復(fù)數(shù)在平面上的表示01020304以實(shí)軸和虛軸構(gòu)成的平面，表示復(fù)數(shù)的幾何意義。每個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b)。模為1的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上構(gòu)成的圓。表示復(fù)數(shù)在單位圓上的角度，與正實(shí)軸的夾角。02復(fù)變函數(shù)的極限CHAPTER函數(shù)極限的描述性定義當(dāng)自變量趨近于某一值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限接近于某一常數(shù)，則稱該常數(shù)為函數(shù)的極限。函數(shù)極限的精確定義對(duì)于任意小的正數(shù)$varepsilon$，存在某個(gè)正數(shù)$delta$，當(dāng)$|z-z_0|<delta$時(shí)，有$|f(z)-L|<varepsilon$，其中$z_0$是自變量的值，$L$是函數(shù)的極限。函數(shù)極限的定義

函數(shù)極限的性質(zhì)極限的唯一性若函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該極限是唯一的。極限的局部性函數(shù)在某點(diǎn)的極限只與該點(diǎn)附近的函數(shù)值有關(guān)，而與遠(yuǎn)離該點(diǎn)的函數(shù)值無(wú)關(guān)。極限的保序性若$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處的極限存在，且$f(z_1)leqf(z_2)$（或$f(z_1)geqf(z_2)$），則$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處的極限也滿足該不等式。對(duì)于簡(jiǎn)單的函數(shù)，可以直接將自變量代入函數(shù)中計(jì)算極限。直接代入法通過(guò)比較函數(shù)與兩個(gè)已知極限的函數(shù)之間的關(guān)系，利用已知的夾逼定理來(lái)計(jì)算函數(shù)的極限。夾逼法當(dāng)函數(shù)的分子和分母都趨于零時(shí)，可以分別求導(dǎo)后再取極限，以計(jì)算函數(shù)的極限。洛必達(dá)法則函數(shù)極限的計(jì)算03復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性CHAPTER復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得對(duì)于定義域中滿足$|z-z_0|<delta$的任意$z$，都有$|f(z)-f(z_0)|<epsilon$，則稱復(fù)變函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$處連續(xù)。復(fù)變函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，存在一個(gè)正數(shù)$delta$，使得對(duì)于定義域中滿足$|z-z_0|<delta$的任意$z$，都有$|f(z)-f(z_0)|<epsilon$，則稱復(fù)變函數(shù)$f(z)$在區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)性的定義連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。連續(xù)性的性質(zhì)利用等價(jià)無(wú)窮小計(jì)算連續(xù)性在求極限的過(guò)程中，如果能夠?qū)⒑瘮?shù)替換為等價(jià)的無(wú)窮小，則可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算連續(xù)性如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。利用極限的性質(zhì)計(jì)算連續(xù)性通過(guò)求函數(shù)的極限來(lái)判斷函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性。連續(xù)性的計(jì)算04導(dǎo)數(shù)與微分CHAPTER導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是該函數(shù)在這一點(diǎn)附近的小增量與自變量增量的比值在自變量增量趨于0時(shí)的極限。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)圖像在某一點(diǎn)的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的表示符號(hào)常用f'(x)表示函數(shù)f在x處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的定義123若f(x)和g(x)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則[f(x)+g(x)]'和[f(x)g(x)]'在相應(yīng)點(diǎn)也可導(dǎo)，且[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)，[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。線性性質(zhì)若復(fù)合函數(shù)y=f(u)，u=g(x)在相應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在相應(yīng)點(diǎn)也可導(dǎo)，且(yu)'=u'*f'(u)。鏈?zhǔn)椒▌t冪函數(shù)y=x^n的導(dǎo)數(shù)為y'=nx^(n-1)。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，可以求出函數(shù)加減乘除的導(dǎo)數(shù)。四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)利用鏈?zhǔn)椒▌t，可以求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可以求出冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算05可微性與可積性CHAPTER如果函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)可微。函數(shù)在某點(diǎn)的可微性函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點(diǎn)的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱該函數(shù)在該點(diǎn)可微?？晌⒑瘮?shù)的定義可微性的定義可微函數(shù)的導(dǎo)數(shù)連續(xù)如果函數(shù)在某點(diǎn)可微，則其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某點(diǎn)的切線斜率，即函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)導(dǎo)數(shù)具有線性、乘積、商和復(fù)合等運(yùn)算性質(zhì)?？晌⑿缘男再|(zhì)對(duì)于多項(xiàng)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有相應(yīng)的計(jì)算公式。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式通過(guò)極限的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可以計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法在物理、工程和經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以幫助我們了解和解決許多實(shí)際問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用可微性的計(jì)算06積分與級(jí)數(shù)CHAPTER復(fù)變函數(shù)中的積分定義為沿曲線的有向長(zhǎng)度乘以某一復(fù)數(shù)值函數(shù)的積分。它表示函數(shù)在曲線上的累積效應(yīng)。積分定義級(jí)數(shù)是一系列數(shù)的和，可以表示為無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)相加的形式。在復(fù)變函數(shù)中，級(jí)數(shù)通常用于表示函數(shù)的展開(kāi)式。級(jí)數(shù)定義積分與級(jí)數(shù)的定義包括線性性質(zhì)、可加性、區(qū)間可加性等。這些性質(zhì)描述了積分運(yùn)算在復(fù)變函數(shù)中的行為和特性。包括收斂性、絕對(duì)收斂性、一致收斂性等。這些性質(zhì)決定了級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的行為和收斂范圍。積分與級(jí)數(shù)的性質(zhì)級(jí)數(shù)性質(zhì)積分性質(zhì)包括直接積分法、參數(shù)方程