集合的概念與運算例題及答案

1集合的概念與運算（一）目標：1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性質解決問題理解交集、并集、全集、補集的概念，掌握集合的運算性質，能利用數(shù)軸或文氏圖進行集合的運算,掌握集合問題的常規(guī)處理方法．重點：1.集合中元素的3個性質，集合的3種表示方法，集合語言、集合思想的運用;2.交集、并集、補集的求法，集合語言、集合思想的運用．基本知識點：知識點1、集合的概念（1） 集合：某些指定的對象集在一起就形成一個集合（簡稱集）-（2） 元素：集合中每個對象叫做這個集合的元素知識點2、常用數(shù)集及記法（1） 非負整數(shù)集（自然數(shù)集）：全體非負整數(shù)的集合.記作N,N=｛）,1,2,人｝（2） 正整數(shù)集：非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集+記作N*或N N*=｛1,2,3,人｝+（3） 整數(shù)集：全體整數(shù)的集合記作Z,Z=｛）,，1,土2,人｝（4） 有理數(shù)集：全體有理數(shù)的集合■記作Q,Q=整數(shù)與分數(shù)｝（5） 實數(shù)集：全體實數(shù)的集合?記作R R=數(shù)軸上所有點所對應的數(shù)｝注：（1）自然數(shù)集與非負整數(shù)集是相同的，也就是說，自然數(shù)集包括數(shù)0（2）非負整數(shù)集內(nèi)排除0的集+記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集，也是這樣表示,例如，整數(shù)集內(nèi)排除0的集，表示成Z*知識點3、元素與集合關系（隸屬）（1） 屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于A,記作aGA（2） 不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,記作a電A注意：“G”的開口方向，不能把aGA顛倒過來寫知識點4、集合中元素的特性（1） 確定性：按照明確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可-（2） 互異性：集合中的元素沒有重復-3）無序性：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出）

知識點5、集合與元素的表示：集合通常用大寫的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小寫的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q例題精析1：1、下列各組對象能確定一個集合嗎（1） 所有很大的實數(shù)?（不確定）（2） 好心的人+ （不確定）（3） 1，2，2，3，4，5．（有重復）2、設a,b是非零實數(shù)那么一+2、設a,b是非零實數(shù)ab3、由實數(shù)x,—x,|x|,x2,7x3所組成的集合，最多含（A）-（A）2個兀素（B）3個兀素（C）4個兀素（D）5個兀素4、設集合G中的元素是所有形如a+b\2（aGZ,bGZ）的數(shù)，求證:⑴當xWN時，xGG;1（2）若xGG,yWG,則x+y￡G,而 不一定屬于集合G.x證明⑴：在a+b「2（aGZ,bGZ）中，令a=x￡N,b=0,則x=x+0*、：2二a+b\：2WG,即xWG證明(2)：TxWG，y￡G，/.x=a+b、：2(aWZ,bWZ),y=c+d*2(cWZ,dWZ)/.x+y=(a+b )+(c+d2)=(a+c)+(b+d)“2■/aGZ,bGZ,c￡Z,dGZ/.(a+c)WZ,(b+d)WZ/.x+y=(a+c)+(b+d) 2WG，1a1a+by2aa2-2b2-ba2-2b2aa2-aa2-2b2-b 不一定都是整數(shù),a2-2b2aa2-2b2+哥邁不一定屬于集合G知識點6、集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合例如，由方程x2-1=0的所有解組成的集合，可以表示為｛-1,1｝注：(1)有些集合亦可如下表示：從51至到100的所有整數(shù)組成的集合：｛51,52,53,???，100｝所有正奇數(shù)組成的集合：｛1,3,5,a與｛a｝不同：a表示-一個元素，｛a｝表示—個集合，該集合只有一個元素*(2)描述法：用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合,并把這個條件寫在大括號內(nèi)表示集合的方法+格式：｛xWA|P(x)｝含義：在集合A中滿足條件P(x)的x的集合?例如，不等式x-3>2的解集可以表示為：｛xeRIx-3>2｝或｛xIx-3>2｝所有直角三角形的集合可以表示為：｛xIx是直角三角形｝注：(1)在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分如：｛直角三角形｝；｛大于104的實數(shù)｝(2)錯誤表示法：｛實數(shù)集｝；｛全體實數(shù)｝、文氏圖：用一條封閉的曲線的內(nèi)部來表示一個集合的方法思考：何時用列舉法何時用描述法⑴有些集合的公共屬性不明顯，難以概括，不便用描述法表示，只能用列舉法 ■如：集合｛x2,3x+2,5y3一x,x2+y2｝⑵有些集合的元素不能無遺漏地一一列舉出來，或者不便于、不需要一一列舉出來，常用描述法*如：集合｛(x,y)Iy=x2+1｝；集合｛1000以內(nèi)的質數(shù)｝例集合｛(x,y)Iy=x2+1｝與集合｛yIy=x2+1｝是同一個集合嗎答：不是”因為集合｛(x,y)Iy=x2+1｝是拋物線y=x2+1上所有的點構成的集合，集合｛yIy=x2+1｝二｛yIy>1｝是函數(shù)y=x2+1的所有函數(shù)值構成的數(shù)集例題精析2：1、用描述法表示下列集合②{-2,-4,-6,-8,-10}②{-2,-4,-6,-8,-10}{xIx=-2n,ngN且n<5}2、用列舉法表示下列集合①{xWN|x是15的約數(shù)} {1,3,5,15}@{(x,y)|xW{1,2},yW{1,2}}{(1,1),(1,2),(2,1)(2,2)}注：防止把{(1,2)}寫成{1,2}或{x=1,y=2}③{(③{(x,y)I吟-1)}④{xIx=(-1)n,ngN} {-1,1}{(x,y)I3x+2y=16,xgN,ygN} {(0,8)(2,5),(4,2)}{(x,y)Ix,y分別是4的正整數(shù)約數(shù)}｛(1,1),(1,2),(1,4)(2,1),(2,2),(2,4),(4,1),(4,2),(4,4)｝3、 關于x的方程ax+b=0,當a,b滿足條件 時，解集是有限集；當a,b滿足條件 時，解集是無限集■4、 用描述法表示下列集合：(1){1,5,25,125,625}=1 2 3 4⑵{°’士2,士5,士10,士17,……}=鞏固提升：1、 數(shù)集x,x2-x｝中元素x所滿足的條件是_2、 已知A -3,2a-1,a2+1｝其中agR,⑴若-3gA，求實數(shù)a的值；⑵當a為何值時，集合A的表示不正確。3、已知集合A二+2,2a2+a｝若3gA，求a的值。變式：已知集合A二變式：已知集合A二gRIax2-3x+2=0,agR⑴若A是空集，求a的取值范圍；⑵若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素寫出來;⑶若A中至多有一個元素，求a的取值范圍BB的關系。5、^^a,bwZ4、設集合A二｛iIa=n2+1,ngN｝，集合B Ib二k2-4k+5,kgN｝，若agA，試判斷a與集合集合P=[y）I（x—a）2+3b<6y|點（2,1）wP，點（1,0）纟P,點（3,2）纟P，求a,b的值。知識點7、集合的分類：（1） 有限集：含有有限個元素的集合■（2） 無限集：含有無限個元素的集合.（3） 空集：不含任何元素的集合記作①，如：｛xgRIx2+1二0｝知識點8、集合與集合之間的關系：（一）、子集（1）子集定義：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A記作：A匸B或B二A，AuB或B二A讀作：A包含于B或B包含A若任意xgAnxgB,貝9a匸B當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，則記作A工B或BgA注：A匸B有兩種可能（1）A是B的一部分，,（2）A與B是同一集合*（2）集合相等：一般地，對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，記作A二B.（3） 真子集：對于兩個集合A與B，如果A匸B，并且A豐B，我們就說集合A是集合B的真子集，記作：A三B或B^A,讀作A真包含于B或B真包含A（4） 子集與真子集符號的方向 如A匸B與BgA同義；A匸B與AgB不同（5） 空集是任何集合的子集①匚A規(guī)定：空集是任何非空集合的真子集?①三A若A壬①，則①三A任何一個集合是它本身的子集.A匸A（6） 易混符號：①“g”與“匸”：元素與集合之間是屬于關系；集合與集合之間是包含關系如1gN,—1EN,N匸R,

①匸R,{1}匸{1,2,3}②{0}與①：{0}是含有一個元素0的集合，①是不含任何元素的集 合+女口①U{0}不能寫成①二{0},①^{0}例題精析3：(1)寫出N,Z,Q,R的包含關系，并用文氏圖表示.(2)判斷下列寫法是否正確①①UA②①三A③A匸A解(1)：NuZuQuR(2)①正確；②錯誤，因為A可能是空集；③正確；④錯誤(1)填空：N___Z,N___Q,R___Z, R___Q,①___{0}若A={xGR|x2-3x-4=0},B二{xWZ||x|<10},則AUB正確嗎是否對任意一個集合A,都有AUA,為什么集合{a,b}的子集有那些高一(1)班同學組成的集合A,高一年級同學組成的集合B,則A、B的關系為 解：(1)NuZ,NuQ,R二Z,R二Q,①三{0}VA={xGR|x2—3x—4=0}={—1,4},B={xEZ||x|<10}={-9,—8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}???AUB正確對任意一個集合A,都有AUA,集合{a,b}的子集有：①、{a}、、{a,b}A、B的關系為AUB.3解不等式x+3<2，并把結果用集合表示出來.解：{xWR|x+3<2}={xWR|x<—1}.鞏固提升：1、設A={l,2},B={xIxuA},問A與B是什么關系并用列舉法寫出集合B2、已知集合P={y=x2+1},Q二{yIy二x2+1},E={xIy=x2+1},D)F={(x,y)Iy=x2+1},G二{xIx>1}，則D)(A)P二F(A)P二F解法要點：弄清集合中的元素是什么，能化簡的集合要化簡．k1 k13、 設集合M={xIx=—+—,keZ}, N={xIx=—+—,keZ}，則(B)24 42(A)M二N (B)M電N (C)MqN4、 若集合A={xIx2+ax+1=0,xer},集合B={l,2},且A匸B,求實數(shù)a的取值范圍.([-2,2))5、 已知M={xI2x2-5x-3=0},N={xImx=1},若N匸M,則適合條件的實數(shù)m的集合P為{0,-2,3}；P的子集有旦個；P的非空真子集有個.6、 已知：f(x)=x2+ax+b,A={xIf(x)=2x}={2},則實數(shù)a、b的值分別為-2,4.(二)全集與補集1補集：一般地，設S是一個集合，A是S的一個子集(即A匸S),由s中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)，記作CA,S即CA={xIxeS,且x纟A}S2、 性質：C(CA)=A,CS=0,C0=SSS S S3、 全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，全集通常用U表示'例題精析3：1、 (1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求C0若A={0}，求證：CA=N*N求證：CQ是無理數(shù)集*R解(1)TS二{1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},???由補集的定義得CsA={2,4,6}證明(2)TA二{0},N二{0,1,2,3,4,■■■},“*二{1,2,3,4,■■■}???由補集的定義得CA=N*N證明(3)VQ是有理數(shù)集合，R是實數(shù)集合???由補集的定義得CrQ是無理數(shù)集合.2、 已知全集U=R，集合A={x|1W2x+1V9},求CUA-解：TA={xI1W2x+1V9}={x|0WXV4},U=R*???CuA={x|x<0,或x+3、已知S={x|—1Wx+2<8},A={x|—2<1—xW1},B={x|5<2x—1<11},討論A與CB的關系*S解:■.■S={x|—3Wx<6},A={x|0Wx<3}, B={x|3Wx<6}CB={x|—3Wx<3}S?A二CBS知識點9、子集的個數(shù)：由例與練習題，可知（1）集合{a,b}的所有子集的個數(shù)是4個，即0,{a},{b