同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)下課件D121基本概念

同濟(jì)大學(xué)第五版高等數(shù)學(xué)下課件d121基本概念REPORTING目錄緒論極限論連續(xù)性導(dǎo)數(shù)與微分不定積分與定積分PART01緒論REPORTING積分積分是高等數(shù)學(xué)中的一種運(yùn)算，用于計(jì)算曲線與x軸所夾的面積。通過積分，我們可以解決實(shí)際問題中的面積、體積等問題。極限極限是高等數(shù)學(xué)的基本概念之一，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢。通過極限，我們可以研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性以及積分的概念。連續(xù)性連續(xù)性是函數(shù)的一種性質(zhì)，描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的變化情況。如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)?？蓪?dǎo)性可導(dǎo)性是函數(shù)在某一點(diǎn)處的極限存在且等于該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即函數(shù)在該點(diǎn)處具有切線的斜率。可導(dǎo)性是研究函數(shù)變化率的重要工具。高等數(shù)學(xué)的基本概念基礎(chǔ)學(xué)科高等數(shù)學(xué)是理工科專業(yè)的基礎(chǔ)學(xué)科，為其他學(xué)科提供了數(shù)學(xué)工具和理論基礎(chǔ)。解決實(shí)際問題高等數(shù)學(xué)提供了解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型和方法，如物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域的問題。培養(yǎng)思維能力高等數(shù)學(xué)培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維、推理能力和分析問題的能力，有助于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。高等數(shù)學(xué)的重要性近代數(shù)學(xué)近代數(shù)學(xué)的發(fā)展始于文藝復(fù)興時(shí)期，主要成就是解析幾何和微積分的創(chuàng)立和發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展涉及多個(gè)領(lǐng)域，包括代數(shù)、幾何、拓?fù)?、概率論等，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了重要的支撐。古代數(shù)學(xué)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展主要集中在幾何學(xué)和算術(shù)方面，如埃及、巴比倫、希臘等文明古國的數(shù)學(xué)成就。高等數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程PART02極限論REPORTING極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化趨勢的量，是函數(shù)值的聚點(diǎn)。根據(jù)不同的函數(shù)類型，極限的定義有所不同，包括數(shù)列的極限、函數(shù)的極限等。極限具有一些重要的性質(zhì)，如唯一性、有界性、局部保號性等。這些性質(zhì)在研究函數(shù)的極限行為和變化趨勢時(shí)非常重要。極限的定義與性質(zhì)極限的性質(zhì)極限的定義單側(cè)極限是指函數(shù)在某一側(cè)趨近于某一點(diǎn)時(shí)的極限值。對于函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)的極限，分別稱為左極限和右極限。單側(cè)極限的概念對于理解函數(shù)在某一點(diǎn)的極限行為非常關(guān)鍵。單側(cè)極限雙側(cè)極限是指函數(shù)在兩側(cè)趨近于某一點(diǎn)時(shí)的極限值。如果函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)的極限都存在且相等，則該函數(shù)在該點(diǎn)具有雙側(cè)極限。雙側(cè)極限是研究函數(shù)整體性質(zhì)的重要工具。雙側(cè)極限單側(cè)極限與雙側(cè)極限無窮小量無窮小量是指趨于零的變量。在數(shù)學(xué)分析中，無窮小量是研究函數(shù)變化趨勢的重要概念。根據(jù)不同的無窮小量，可以研究函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、積分等性質(zhì)。無窮大量無窮大量是指趨于無窮的變量。類似于無窮小量，無窮大量也是數(shù)學(xué)分析中重要的概念。它可以用來研究函數(shù)的無窮大行為、級數(shù)和反常積分等。無窮大量與無窮小量是相互關(guān)聯(lián)的概念，對于理解函數(shù)的極限行為非常關(guān)鍵。無窮小量與無窮大量PART03連續(xù)性REPORTING函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)的定義如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。函數(shù)連續(xù)性的定義123連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商仍為連續(xù)函數(shù)。復(fù)合函數(shù)在復(fù)合點(diǎn)連續(xù)，則其內(nèi)外函數(shù)在復(fù)合點(diǎn)都連續(xù)。反函數(shù)的連續(xù)性：反函數(shù)的定義域和值域互換，如果原函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則其反函數(shù)在該區(qū)間上也是連續(xù)的。函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)03連續(xù)函數(shù)的圖像可以呈現(xiàn)出上升或下降的趨勢，但不會出現(xiàn)間斷或跳躍的情況。01連續(xù)函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的曲線。02在圖像上，連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)的函數(shù)值會逐漸接近，并在該點(diǎn)處相等。連續(xù)函數(shù)的圖像分析PART04導(dǎo)數(shù)與微分REPORTING導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)描述了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的變化率，是函數(shù)局部性質(zhì)的重要體現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)具有一些基本的性質(zhì)，如線性性質(zhì)、乘積法則、商的法則、鏈?zhǔn)椒▌t等，這些性質(zhì)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等問題中有著重要的應(yīng)用?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)對于一些常見的初等函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，可以直接查表得到它們的導(dǎo)數(shù)。復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t進(jìn)行計(jì)算，即先求內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對于由方程確定的隱函數(shù)，可以通過對方程兩邊求導(dǎo)來得到其導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法030201VS微分是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小增量，它描述了函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化趨勢。微分的應(yīng)用微分在近似計(jì)算、誤差估計(jì)、求切線、求極值等方面有著廣泛的應(yīng)用。通過微分，我們可以更精確地描述函數(shù)的變化規(guī)律，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。微分的定義微分的概念與應(yīng)用PART05不定積分與定積分REPORTING不定積分是微分的逆運(yùn)算，即求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)或不定原函數(shù)。不定積分的概念不定積分具有線性性質(zhì)、積分常數(shù)性質(zhì)、區(qū)間可加性等。不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念定積分是積分的一種，是函數(shù)在區(qū)間上積分和的極限。定積分的性質(zhì)定積分具有區(qū)間可加性、常數(shù)倍性質(zhì)、絕對值性質(zhì)等。定積分的概念與性質(zhì)利用微積分基本定理，通