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文檔簡介

曲線積分習題課一、內容提要及教學要求

1會計算兩類曲線積分

(α<β)這里下限α對應于L的起點，上限β對應于L的終點。

1cosα、cosβ的求法：起點A

、終點B分別對應參數(shù)α、β。

(當α<β時取正號，

α>β時取負號)2兩類曲線積分的關系23格林公式2）D的面積3）注意格林公式應用的條件：P,Q具有一階連續(xù)偏導，L為封閉曲線。若不滿足，則應(i)挖洞。(ii)添線成為封閉曲線。3（1）條件（2）應用5全微分求積64個等價條件4與路徑無關的四個等價命題條件等價命題5

(1)已知二、典型例題

例1填空L的長度為a678例5計算順時針方向

L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

9例8計算Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。

10

(1)已知解：又L關于x軸對稱，而sin(xy)關于y為奇函數(shù)，所以

于是I=12a。

L的長度為a，求即3x2+4y2=12，所以111213OA1415取l：x2+y2=r2，逆時針方向,則16解：L：例5計算順時針方向

注：

應充分利用L的方程簡化被積函數(shù)。

17L：y=2－x2上從A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

18取l為x2+y2=2上從點A(，0)經上半圓到點B(，0)的有向曲線，則或2OxyAB1920解21解：在不含原點的單連域內，任作兩條起點為A終點為B的光滑曲線C1、C2。

再補充一條光滑曲線C3使C1+C3和C2+C3成為包圍原點的正向曲線（如圖所示）

C2C3OC1ABxy則由題設知

所以有

22由C1、C2的任意性知，在不含原點的單連通域內，該曲線積分與路徑無關。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)時，應恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆時針方向。則23起點對應θ=0，終點處θ=2π

例8計算θOxy所以

解：

Γ為x2+y2+z2=a2(z≥0)與x2+y2＝ax（a>0）之交線，從x軸正向看去為逆時針方向。24

Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，從z軸看去沿逆時針方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲線L為x2+2y2=1（z=0），取逆時針方向。

所以Γ的參數(shù)方程為：

起點對應θ=0，終點對應θ=2π。

25利用格林公式：I=02627dw

=F·dr

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