第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)以及函數(shù)應(yīng)用（九大題型）

第03講函數(shù)的概念與性質(zhì)以及函數(shù)應(yīng)用【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)的概念1、函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：，．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．2、構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域①構(gòu)成函數(shù)的三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，即稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）；②兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)．3、區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間；（2）無(wú)窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．區(qū)間表示：；；；；．知識(shí)點(diǎn)二、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)明，給自變量求函數(shù)值．圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：直觀(guān)形象，反應(yīng)變化趨勢(shì)．列表法：列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．優(yōu)點(diǎn)：不需計(jì)算就可看出函數(shù)值．2、分段函數(shù)：分段函數(shù)的解析式不能寫(xiě)成幾個(gè)不同的方程，而應(yīng)寫(xiě)函數(shù)幾種不同的表達(dá)式并用個(gè)左大括號(hào)括起來(lái)，并分別注明各部分的自變量的取值情況．知識(shí)點(diǎn)三、函數(shù)定義域的求法（1）確定函數(shù)定義域的原則①當(dāng)函數(shù)是以解析式的形式給出時(shí)，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合．具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號(hào)的被開(kāi)方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們?cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)時(shí)碰到的所有有意義的限制條件．②當(dāng)函數(shù)是由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實(shí)際意義．③當(dāng)函數(shù)用表格給出時(shí)，函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)的集合．（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類(lèi)型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是注意對(duì)應(yīng)法則．在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內(nèi)．（3）求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示．知識(shí)點(diǎn)四、函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀(guān)察法：通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀(guān)察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒(méi)有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．知識(shí)點(diǎn)五、函數(shù)的單調(diào)性1、增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，區(qū)間如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是增函數(shù)．如果對(duì)于內(nèi)的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)在區(qū)間上是減函數(shù)．2、單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間（1）單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，稱(chēng)為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)．3、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值．設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形．作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)．判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論．4、函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷．（2）圖象法：就是畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性．（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫(xiě)出它們的單調(diào)區(qū)間．（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減）函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù)．5、單調(diào)性定義的等價(jià)形式（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)：任取，且，；任取，且，；任取，且，；任取，且，．6、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過(guò)程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性．一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)．列表如下：增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”，即內(nèi)外函數(shù)的單性相同時(shí)遞增；單性相異時(shí)遞減．因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)．7、利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值．常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值．（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值．若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值．（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是．（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是．8、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解．（1）在上恒成立在上的最大值．（2）在上恒成立在上的最小值．實(shí)際上將含參數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)六、基本初等函數(shù)的單調(diào)性1、正比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．2、一次函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù)．3、反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間．4、二次函數(shù)若，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)七、函數(shù)的最大（?。┲?、最大值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最大值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最大值，記作．2、最小值：對(duì)于函數(shù)，其定義域?yàn)?，如果存在，，使得?duì)于任意的，都有，那么，我們稱(chēng)是函數(shù)的最小值，即當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的最小值，記作．3、幾何意義：一般地，函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖像中的最高點(diǎn)，最小值對(duì)應(yīng)圖像中的最低點(diǎn)，它們不一定只有一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)八、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1、函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為偶函數(shù)．奇函數(shù)：若對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都有，那么稱(chēng)為奇函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有．2、奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．3、用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性．若，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)九、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，再判斷與之一是否相等．（2）驗(yàn)證法：在判斷與的關(guān)系時(shí)，只需驗(yàn)證及是否成立即可．（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價(jià)于它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（軸）對(duì)稱(chēng)．（4）性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時(shí)，通常利用定義法判斷．在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)自變量的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)不是幾個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后判斷與的關(guān)系．首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對(duì)應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較．知識(shí)點(diǎn)十、關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見(jiàn)結(jié)論（1）函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．（2）奇偶函數(shù)的圖象特征．函數(shù)是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)是奇函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）若奇函數(shù)在處有意義，則有；偶函數(shù)必滿(mǎn)足．（4）偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同．（5）若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)能表示成一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和的形式．記，，則．（6）運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)（或多個(gè)）函數(shù)式通過(guò)加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的函數(shù)，如．對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復(fù)合函數(shù)的奇偶性原來(lái)：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇．知識(shí)點(diǎn)十一：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩俸瘮?shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見(jiàn)下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過(guò)零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.知識(shí)點(diǎn)十二：二分法1、二分法對(duì)于區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過(guò)不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法．2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：已知函數(shù)定義在區(qū)間D上，求它在D上的一個(gè)零點(diǎn)x0的近似值x，使它滿(mǎn)足給定的精確度．第一步：在D內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間，使與異號(hào)，即，零點(diǎn)位于區(qū)間中．第二步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令第三步：取區(qū)間的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為．計(jì)算和，并判斷：①如果，則就是的零點(diǎn)，計(jì)算終止；②如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；③如果，則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令；……繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間，函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間上，當(dāng)和按照給定的精確度所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止．這時(shí)函數(shù)的近似零點(diǎn)滿(mǎn)足給定的精確度．知識(shí)點(diǎn)十三：解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題1、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程2、解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的步驟：第一步：閱讀理解，認(rèn)真審題讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來(lái)的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，尤其是理解敘述中的新名詞、新概念，進(jìn)而把握住新信息．第二步：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問(wèn)題已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)數(shù)學(xué)問(wèn)題（即數(shù)學(xué)模型）予以解答，求得結(jié)果．第四步：再轉(zhuǎn)譯為具體問(wèn)題作出解答．【典型例題】題型一：函數(shù)的概念【例1】（2024·上海·高一專(zhuān)題練習(xí)）托馬斯說(shuō)：“函數(shù)是近代數(shù)學(xué)思想之花”根據(jù)函數(shù)的概念判斷：下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，A不是；對(duì)于B，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，B不是；對(duì)于C，集合中的每個(gè)元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中都有唯一元素與之對(duì)應(yīng)，C是；對(duì)于D，集合中的元素按對(duì)應(yīng)關(guān)系，在集合中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，D不是.故選：C【變式11】（2024·河南周口·高一統(tǒng)考）下列四個(gè)圖形中，不是以為自變量的函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)定義，在定義域內(nèi)，對(duì)于任意的，只能有唯一確定的與其對(duì)應(yīng)，ABC滿(mǎn)足要求，D選項(xiàng)，在定義域內(nèi)對(duì)于，有兩個(gè)確定的與其對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：D【變式12】（2024·貴州貴陽(yáng)·高一貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)是含數(shù)3的有限實(shí)數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，的可能取值只能是（

）A． B．3 C．3 D．0【答案】A【解析】對(duì)于A項(xiàng)，若，則構(gòu)造如圖1的函數(shù)圖象，使得點(diǎn)，根據(jù)定義可得圖象上不存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，符合函數(shù)的定義，所以的取值可能是.故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，若，構(gòu)造如圖2的函數(shù)圖象，使得點(diǎn)，根據(jù)定義可推得點(diǎn)，所以有，不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，若，構(gòu)造如圖3的函數(shù)圖象，使得點(diǎn)，根據(jù)定義可推得點(diǎn)，所以有，不符合函數(shù)的定義，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，若，構(gòu)造如圖4的函數(shù)圖象，使得點(diǎn)，根據(jù)定義可推得則點(diǎn)，所以.又，所以，不符合函數(shù)的定義，故D錯(cuò)誤.故選：A.【變式13】（2024·山東青島·高一青島二中校考）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”.已知集合，，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，在集合中任意一個(gè)數(shù)在中有且只有一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)A中集合中2對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中集合中3沒(méi)有對(duì)應(yīng)的數(shù)，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中對(duì)應(yīng)法則為從到的函數(shù)，箭頭應(yīng)從指向，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中集合中任意一個(gè)數(shù)在集合中都有唯一數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故D正確，故選：D題型二：定義域【例2】（2024·河南·高一南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】要使函數(shù)有意義，則應(yīng)有，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.【變式21】（2024·重慶璧山·高一重慶市璧山來(lái)鳳中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，故，解得，即函?shù)的定義域?yàn)?故選：A.【變式22】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，則，故的定義域是.故選：C【變式23】（2024·山東淄博·高一?？迹┮阎瘮?shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得：，解得：，由，解得：，故函數(shù)的定義域是，故選：C.題型三：值域【例3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（）．【解析】（1）因?yàn)?，所以．故值域?yàn)椋?）因?yàn)?，且，所以，所以，故函?shù)的值域?yàn)椋?）令，則，且，所以（）．故函數(shù)的值域．（4），其中，，當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)椋裕屎瘮?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，即取得最小值8．故函數(shù)的值域?yàn)椋咀兪?1】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值；(3)若的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)?（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所?和1是方程的兩個(gè)根，故，解得，檢驗(yàn)符合，故,.（3）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋项}意；當(dāng)時(shí)，，定義域不為，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由題意，在上恒成立，令，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式32】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【解析】（1）由于，且；所以可得，因此函數(shù)的值域是．（2）令，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）易知需滿(mǎn)足，即，即函數(shù)定義域?yàn)?；，由二次函?shù)性質(zhì)可得，所以的值域?yàn)椋咀兪?3】（2024·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）由，可得其對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?題型四：函數(shù)的表示【例4】（2024·云南昭通·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）（1）若二次函數(shù)滿(mǎn)足，且圖象過(guò)原點(diǎn)，求的解析式;（2）已知是一次函數(shù)，且滿(mǎn)足，求的解析式.【解析】（1）設(shè),,且圖象過(guò)原點(diǎn),解得（2）設(shè)，則,,即不論為何值都成立,解得【變式41】（2024·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谀?）已知，求函數(shù)的解析式；（2）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，求函數(shù)的解析式；（3）已知，求函數(shù)的解析式；【解析】（1）設(shè)，則，，即，所以，所以.（2）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以設(shè).由，得.由，得，整理得，所以，所以，所以.（3）因?yàn)?，①所以，②②①，得，所?【變式42】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函數(shù)的解析式；（3）已知是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足，，求函數(shù)的解析式；（4）已知，求的解析式．（5）已知是定義在R上的函數(shù)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求函數(shù)的解析式．【解析】（1）因?yàn)?，所以．?）設(shè)，則，，即，所以，所以．（3）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以設(shè)．由，得c＝1．由，得，整理得，所以，所以，所以．（4）用－x替換中的x，得，由，解得．（5）令，則，所以．【變式43】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式．(1)已知，則的解析式為_(kāi)_________．(2)已知滿(mǎn)足，求的解析式．(3)已知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y都有，求的解析式．【解析】（1）方法一（換元法）：令，則，．所以，所以函數(shù)的解析式為．方法二（配湊法）：．因?yàn)椋院瘮?shù)的解析式為．（2）將代入，得，因此，解得．（3）令，得，所以，即．題型五：?jiǎn)握{(diào)性【例5】（2024·四川內(nèi)江·高一校考）函數(shù)，若對(duì)任意、（），都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由對(duì)任意、（），都有成立，可知在上單調(diào)遞減，所以，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C.【變式51】（2024·重慶九龍坡·高一重慶市育才中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于在上是增函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：D【變式52】（2024·遼寧遼陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）從①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填入題中的橫線(xiàn)上，并解答問(wèn)題．已知函數(shù)________．(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的判斷．【解析】（1），，選①，，則.選②，，則.（2）選①，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且，則，當(dāng)時(shí)，，，，所以，，則，，因此在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，，所以，，則，，所以在上單調(diào)遞減.選②，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，且，當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，則，，則，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，則，，則，，所以在上單調(diào)遞減.【變式53】（2024·重慶開(kāi)州·高一臨江中學(xué)?？迹┮阎嵌魏瘮?shù)，不等式的解集是，且在區(qū)間上的最大值是12.(1)求的解析式；(2)試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明.【解析】（1）因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，且的解集是，所以可設(shè)，且易知，所以在區(qū)間上的最大值是，由已知得，所以，所以.（2），在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則，其中，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.題型六：奇偶性【例6】（2024·上海楊浦·高一校考期末）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】/【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，即，即，解得.故答案為：【變式61】（2024·上海楊浦·高一校考期末）已知奇函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式．【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上的解析式.故答案為：【變式62】（2024·上?！じ咭恍？计谀┤艉瘮?shù)，為偶函數(shù)，則.【答案】【解析】因?yàn)?，是偶函?shù)，所以，且，即，即，由于不恒為常數(shù)，所以觀(guān)察可知，則.故答案為：.【變式63】（2024·上海·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谀┤羰桥己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是．【答案】或【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，且不等式等價(jià)于，即解得或.故答案為：或【變式64】（2024·河北·高一河北師范大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）教材必修1第87頁(yè)給出了圖象對(duì)稱(chēng)與奇偶性的聯(lián)系：若為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，易知：是奇函數(shù)，則圖象的對(duì)稱(chēng)中心是.【答案】【解析】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則也奇函數(shù)，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故答案為：題型七：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根【例7】（2024·吉林長(zhǎng)春·高一東北師大附中校考期末）已知．(1)當(dāng)時(shí)，解不等式；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，∵在上單調(diào)遞增，∴，解之得，∴不等式的解集為．（2）關(guān)于的方程在區(qū)間恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)方程得，即方程在區(qū)間恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即方程在區(qū)間恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且，即方程區(qū)間恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解，且，故有，解得．【變式71】（2024·四川內(nèi)江·高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是偶函數(shù)．(1)求的值；(2)若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍；(3)設(shè)，（其中實(shí)數(shù)）．若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）由是偶函數(shù)，則對(duì)于，都有，即，即，即，即，所以，解得．（2）結(jié)合（1）知，所以，即，又，則，令，即，因?yàn)闊o(wú)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程無(wú)解，即與無(wú)交點(diǎn)，所以，即當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的的取值范圍是．（3）由函數(shù)的零點(diǎn)即方程的根，而，，，設(shè)，，則(*)，令，，又，則，①當(dāng)時(shí)，則，所以問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于的（*）方程在有唯一實(shí)根；又因?yàn)?，，則由二次函數(shù)圖象可知只需且，得；②當(dāng)時(shí)，則，得，不合題設(shè)；③當(dāng)，則，所以問(wèn)題等價(jià)于關(guān)于的（*）方程在時(shí)有唯一實(shí)根；又因?yàn)?，則由二次函數(shù)圖象可知只需且，無(wú)解．綜上，．【變式72】（2024·安徽安慶·高一安慶市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋偎?，又因?yàn)楹瘮?shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，所以，②由①②得，.（2）若函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，則在上只有一個(gè)根，則在上只有一個(gè)根，令，則方程正根有且只有一個(gè)，當(dāng)，即或（舍）時(shí)，方程的根為，符合正根有且只有一個(gè)；當(dāng)且，即且，若正根有且只有一個(gè)，則，解得：；當(dāng)時(shí)，方程的根為，符合正根有且只有一個(gè)；綜上所述：或.【變式73】（2024·上海·高一上海南匯中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)的表達(dá)式為．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)解不等式：；(3)若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）設(shè)……①……②①代入②有：；在定義域內(nèi)單增至多一個(gè)零點(diǎn)；且注意到，綜上可知有唯一零點(diǎn).（2）……①①式兩邊開(kāi)方有：……②又……③②③取交集為：，即不等式的解為；（3）若關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)根；即……④……⑤作變量代換令……⑥將⑥式代入⑤式有：……⑦；當(dāng)時(shí)⑦式為一次函數(shù)，解得不在定義域內(nèi)，故不滿(mǎn)足題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)方程有唯一解，或；當(dāng)時(shí)，代入⑦式，解得，不在定義域內(nèi)，故舍去；當(dāng)時(shí)，代入⑦式，解得，在定義域內(nèi)，故滿(mǎn)足題意.當(dāng)時(shí)，方程⑦有兩個(gè)解，但只需要保證有一個(gè)根在定義域，而另一個(gè)根不在定義域，則此時(shí)的即可滿(mǎn)足題意；設(shè)方程⑦有兩個(gè)根；由分析可知：……⑧由韋達(dá)定理可知：……⑨聯(lián)立⑧⑨可得：.綜上可得的取值范圍為：.題型八：二分法【例8】（2024·云南昆明·高一云南師大附中?？计谀┤艉瘮?shù)的一個(gè)正零點(diǎn)用二分法計(jì)算，零點(diǎn)附近函數(shù)值的參考數(shù)據(jù)如下：，，，，，，那么方程的一個(gè)近似根（精確度）為（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】因?yàn)?，所以不必考慮端點(diǎn)；因?yàn)?，所以不必考慮端點(diǎn)和；因?yàn)?，，所以，所以函?shù)在內(nèi)有零點(diǎn)，因?yàn)?，所以滿(mǎn)足精確度0.1；所以方程的一個(gè)近似根（精確度0.1）是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)值（包括端點(diǎn)值），根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)可知：.故選：C.【變式81】（2024·上海虹口·高一統(tǒng)考期末）若在用二分法尋找函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，則實(shí)數(shù)和分別等于（

）A． B．2，3 C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在至多有一個(gè)零點(diǎn)，又由依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為，可得，即，解得.故選：A.【變式82】（2024·湖北襄陽(yáng)·高一?？计谀┮阎瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求方程近似解時(shí)，至少需要求（

）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由所給區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，經(jīng)過(guò)n次操作后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椋市?，解得，所以至少需要操?次.故選：C【變式83】（2024·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為0.1）時(shí)，依次計(jì)算得到如下數(shù)據(jù)：，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)在上不一定有零點(diǎn)B．已經(jīng)達(dá)到精確度，可以取1.375作為近似值C．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算D．沒(méi)有達(dá)到精確度，應(yīng)該接著計(jì)算【答案】D【解析】對(duì)于A，由，且連續(xù)，則根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，在上一定有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，C，D，，沒(méi)有達(dá)到精確度的要求，應(yīng)該接著計(jì)算，故B錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．題型九：選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題【例9】（2024·四川內(nèi)江·高一四川省隆昌市第一中學(xué)?？计谀﹪?guó)內(nèi)某大型機(jī)械加工企業(yè)在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)（共計(jì)30天，包括第30天），其主營(yíng)產(chǎn)品在第天的指導(dǎo)價(jià)為每件（元），且滿(mǎn)足（），第天的日交易量（萬(wàn)件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：第天12510（萬(wàn)件）141210.810.38(1)給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中，為常數(shù).請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來(lái)擬合該產(chǎn)品日交易量（萬(wàn)件）的函數(shù)關(guān)系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認(rèn)為最簡(jiǎn)潔合理的兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的推理和運(yùn)算，求出的函數(shù)關(guān)系式；(2)若該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月（共計(jì)30天，包括第30天）的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)水平維持上個(gè)月的水平基本不變，由（1）預(yù)測(cè)并求出該企業(yè)在未來(lái)一個(gè)月內(nèi)第天的日交易額的函數(shù)關(guān)系式，并確定取得最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的.【解析】（1）若選擇函數(shù)模型①，代入點(diǎn)，得，得，無(wú)解，故函數(shù)模型①不符合題意；若選擇函數(shù)模型②，代入點(diǎn)，得，解得，此時(shí)，，，故點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)近似在函數(shù)上，故擬合效果較好，符合題意，故函數(shù)模型②最為適合，，，（2）由題意可知（單位：萬(wàn)元），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成