7.1.1角的推廣（3知識點6題型強化訓練）（原卷版）

角的推廣課程標準學習目標（1）掌握角的推廣定義，理解正角、負角、零角的定義及其性質(zhì)。（2）掌握象限角的概念，理解終邊相同的角的概念及其表示方法。（3）通過實例了解任意角在現(xiàn)實生活中的應用，如時鐘指針的旋轉(zhuǎn)、自行車輪的旋轉(zhuǎn)等。（1）掌握角的推廣定義和性質(zhì)，能夠判斷一個角是正角、負角還是零角，并能夠進行簡單的計算。（2）理解象限角和終邊相同的角的概念，掌握它們的表示方法，能夠進行簡單的判斷和計算。（3）通過實例了解任意角在現(xiàn)實生活中的應用，提高解決實際問題的能力。知識點01任意角的定義1、任意角的定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。2、角的表示：（1）始邊：射線的起始位置．（2）終邊：射線的終止位置．（3）頂點：射線的端點O．（4）記法：圖中的角可記為“角”或“”或“”．3、角的分類：（1）正角：按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；（2）負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負角；（3）零角：一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角4、角的加減運算的幾何意義設，是任意兩個角，把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時終邊所對應的角是；把角的終邊旋轉(zhuǎn)角，這時終邊所對應的角是【即學即練1】（2023·江蘇·高一專題練習）射線繞端點逆時針旋轉(zhuǎn)到達位置，由位置繞端點旋轉(zhuǎn)到達位置，得，則射線旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為（）A．逆時針，B．順時針，C．逆時針，D．順時針，知識點02象限角及其集合表示1、終邊相同的角：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整個周角的和.2、象限角的定義：在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角。3、象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角【即學即練2】（2023·江蘇連云港·高一統(tǒng)考期末）下列命題中正確的是（）A．第一象限角一定不是負角B．鈍角一定是第二象限角C．小于的角一定是銳角D．第一象限角一定是銳角知識點03軸線角及其集合表示1、軸線角的定義：在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，可稱為軸線角。2、軸線角的集合表示角的終邊位置集合表示軸的非負半軸軸的非正半軸軸上軸非負半軸軸非正半軸軸上【即學即練3】（2023·四川巴中·高一統(tǒng)考期中）若角、的終邊相同，則的終邊在（）．A．x軸的正半軸上B．x軸的負半軸上C．y軸的正半軸上D．y軸的負半軸上【題型一：對任意角的概念理解】例1．（2023·全國·高一課時練習）每周一的早晨，我們都會在學校的操場上舉行升國旗儀式，一般需要10分鐘．這10分鐘的時間，鐘表的分針走過的角度是（）A．B．C．D．變式11．（2023·全國·高一專題練習）已知O為坐標原點，且射線OA的始邊與x軸的非負半軸重合，若射線OA繞端點O逆時針旋轉(zhuǎn)到達OB位置，由OB位置順時針旋轉(zhuǎn)到達OC位置，則（）A．B．C．D．變式12．（2023·上海·高一建平中學?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個變式13．（2022·甘肅蘭州·高一校考期末）下列命題正確的是（）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個角一定相等C．小于的角是銳角D．集合內(nèi)的角不一定是鈍角變式14．（2023·江蘇淮安·高一?？茧A段練習）（多選）下列說法中正確的是（）A．銳角是第一象限角B．第二象限角為鈍角C．小于的角一定為銳角D．角與的終邊關于軸對稱【方法技巧與總結(jié)】1、解決此類問題關鍵在于正確理解象限角及銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；2、判斷結(jié)論正確與否時，若要說明結(jié)論正確，需要嚴格推理論證，若要說明結(jié)論錯誤，只需舉出反例即可?！绢}型二：求終邊相同的角】例2．（2023·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯(lián)考階段練習）與角終邊相同的角可以表示為（）A．，B．，C．，D．，變式21．（2023·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）與角終邊相同的角是（）A．B．C．D．變式22．（2023·福建廈門·高一廈門外國語學校校考階段練習）與終邊相同的最小正角為（）A．B．C．D．變式23．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習）在的范圍內(nèi)，與終邊相同的角是（）A．B．C．D．變式24．（2024上·全國·高一專題練習）（1）若角的終邊落在軸上，則的取值集合為．（2）若角的終邊落在軸上，則的取值集合為．（3）若角的終邊落在坐標軸上，則的取值集合為．【方法技巧與總結(jié)】（1）把任意角化為（且）的形式，關鍵是確定。可以用觀察法（的絕對值較?。部梢杂贸?。要注意：正角除以，按通常的除法進行；負角除以，商是負數(shù)，其絕對值比除數(shù)為其相反數(shù)時的商大1，使余數(shù)為正值。（2）要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出的值?！绢}型3：確定已知角所在的象限】例3．（2023·江蘇連云港·高一連云港高中?？茧A段練習）角是第（）象限角A．一B．二C．三D．四變式31．（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角變式32．（2023·江蘇蘇州·高一吳江中學?？茧A段練習）已知角，則的終邊在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限變式33．（2023·陜西·高一校聯(lián)考期中）是（）A．第一象限角B．第三象限角C．第三象限角D．第四象限角變式34．（2024上·全國·高一專題練習）給出下列四個命題：①角是第四象限角；②角是第三象限角；③是第二象限角；④角是第一象限角．其中真命題有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【方法技巧與總結(jié)】利用終邊相同的角的表示形式，確定所給角度終邊所在的象限，從而確定已知角象限。【題型4：根據(jù)圖形寫出角的范圍】例4．（2023·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校聯(lián)考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）A．B．C．D．

變式41．（2023·全國·高一專題練習）（1）寫出終邊在直線上的角的集合．（2）寫出終邊在射線（）與（）上的角的集合．變式42．（2023·江西上饒·高一上饒市第一中學?？茧A段練習）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為．變式43．（2023·全國·高一專題練習）已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么.變式44．（2023·高一課時練習）已知角的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是．【方法技巧與總結(jié)】區(qū)域角是指終邊在坐標系內(nèi)的某個區(qū)域內(nèi)的角。表示區(qū)域角的3個步驟：（1）先逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止的邊界；（2）按由小到大分別標出起始和終止邊界對應的范圍內(nèi)的角和，寫出最簡區(qū)間，其中；（3）起始、終止邊界對應角，再加上的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集合?！绢}型五：由已知角確定其他角所在象限】例5．（2023·河南·高一濟源第一中學校考階段練習）已知α是第二象限角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角變式51．（2023·甘肅天水·高一秦安縣第一中學校考期末）若是第二象限角，則是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角變式52．（2023·上海嘉定·高一校考期中）若是第一象限角，則下列各角是第三象限角的是（）A．B．C．D．變式53．（2022·高一課時練習）若α是第四象限角，則90o－α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角變式54．（2022·高一課時練習）（多選）若是第三象限的角，則可能是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【方法技巧與總結(jié)】已知角終邊所在的象限，確定其他角終邊所在的象限，常依據(jù)角的范圍得到所求角的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉終邊在坐標軸上的情況?！绢}型6：確定n分角與n倍角的象限】例6．（2023·上海靜安·高三統(tǒng)考期末）設是第一象限的角，則所在的象限為（）A．第一象限B．第三象限C．第一象限或第三象限D(zhuǎn)．第二象限或第四象限變式61．（2023·全國·高一專題練習）如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限變式62．（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）如果是第三象限角，則是（）A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角變式63．（2023·全國·高一課時練習）若角是第二象限角，試確定角，是第幾象限角．【方法技巧與總結(jié)】1、已知角所在象限，要確定所在象限，由兩種方法：（1）用不等式表示出角的范圍，然后對的取值分情況討論：被整除，被除余1，被除余2，……，從而得出結(jié)論；（2）作出各個象限的從原點出發(fā)的等分射線，它們與坐標軸把周角分成個區(qū)域。從軸非負半軸起，按逆時針方向把這個區(qū)域以此循環(huán)標上1,2,3,4。標號為幾的區(qū)域，就是根據(jù)角終邊所在的象限確定角的終邊所在的區(qū)域。如此，角所在的區(qū)域就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀的看出。2、已知角終邊所在的象限，確定終邊所在的象限，可依據(jù)角的范圍求出的范圍，在直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可。注意不要漏掉的終邊在坐標軸上的情況。一、單選題1．（2023·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）下列說法中正確的是（）A．銳角是第一象限角B．終邊相等的角必相等C．小于的角一定在第一象限D(zhuǎn)．第二象限角必大于第一象限角2．（2023·海南·高一校考階段練習）角的終邊落在第幾象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．（2023·全國·高一專題練習）若，，則所在象限是（）A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限4．（2023·河南洛陽·高一校聯(lián)考階段練習）與角終邊相同的角是（）A．B．C．D．5．（2023·高一課時練習）與405°角終邊相同的角是（）A．k·360°－45°，k∈ZB．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z6．（2023·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學?？茧A段練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（）A．B．C．D．7．（2023·全國·高一專題練習）已知為第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角8．（2023·福建泉州·高一德化第一中學校聯(lián)考階段練習）若角與角的終邊相同，則（）A．B．C．D．二、多選題9．（2023·湖南株洲·高一統(tǒng)考開學考試）已知下列各角：①；②；③；④，其中是第二象限角的是（）A．①B．②C．③D．④10．（2023·江蘇蘇州·高一江蘇省蘇州第一中學校?？茧A段練習）與角終邊相同的角的集合是（）A．B．C．D．11．（2023·安徽阜陽·高一阜南實驗中學校考階段練習）已知{第一象限角}，{銳角}，{小于的角}，那么A、B、C關系是（）A．B．C．D．12．（2023·高一單元測試）角的終邊在第三象限，則的終邊可能在（）A．第一象限B．第二象限C．y軸非負半軸D．第三或四象限三、填空題13．（