概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量

概率論與數(shù)理統(tǒng)計隨機變量匯報人：AA2024-01-19AAREPORTING2023WORKSUMMARY目錄CATALOGUE隨機變量基本概念常見離散型隨機變量及其分布常見連續(xù)型隨機變量及其分布隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理參數(shù)估計與假設(shè)檢驗AAPART01隨機變量基本概念定義與性質(zhì)隨機變量定義隨機變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點映射到一個實數(shù)。隨機變量的性質(zhì)隨機變量具有可測性，即對于任意實數(shù)x，隨機變量的取值小于等于x的事件是一個可測事件。取值可數(shù)的隨機變量稱為離散型隨機變量，如投擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)。離散型隨機變量取值充滿某個區(qū)間的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量，如測量某物體的長度。連續(xù)型隨機變量離散型與連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)描述隨機變量取值概率的函數(shù)稱為分布函數(shù)，記為F(x)。對于任意實數(shù)x，F(xiàn)(x)表示隨機變量取值小于等于x的概率。概率密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機變量，描述其在某一點取值的概率密度的函數(shù)稱為概率密度函數(shù)，記為f(x)。f(x)滿足非負(fù)性、規(guī)范性，且F(x)是f(x)從負(fù)無窮到x的積分。分布函數(shù)與概率密度函數(shù)PART02常見離散型隨機變量及其分布定義在n次獨立重復(fù)的伯努利試驗中，設(shè)每次試驗成功的概率為p，則X表示n次試驗中成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=C_n^kp^k(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,...,n。期望和方差E(X)=np，D(X)=np(1-p)。二項分布定義泊松分布是一種描述稀有事件的概率分布，常用于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=(λ^k/k!)e^(-λ)，k=0,1,2,...。期望和方差E(X)=λ，D(X)=λ。泊松分布定義在伯努利試驗中，記每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，試驗進行到事件A首次出現(xiàn)為止，此時所進行的試驗次數(shù)X服從幾何分布。概率質(zhì)量函數(shù)P{X=k}=(1-p)^(k-1)p，k=1,2,3,...。期望和方差E(X)=1/p，D(X)=(1-p)/p^2。幾何分布超幾何分布E(X)=(nK)/N，D(X)=(nK/N)((N-K)/N)((N-n)/(N-1))。期望和方差超幾何分布描述了從有限個（N個）物件（其中包含K個指定種類的物件）中抽出n個物件，成功抽出指定種類物件的次數(shù)。定義P{X=k}=[C_K^kC_(N-K)^(n-k)]/C_N^n，k=0,1,2,...,min{n,K}。概率質(zhì)量函數(shù)PART03常見連續(xù)型隨機變量及其分布性質(zhì)均勻分布由兩個參數(shù)a和b定義，它們是數(shù)軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b）。應(yīng)用均勻分布在自然情況下極為罕見，同樣來由的是指數(shù)分布，若是在分布的區(qū)間，呈現(xiàn)等機率的情形，才是均勻分布。定義在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。均勻分布010203定義指數(shù)分布是一種連續(xù)概率分布。指數(shù)分布可以用來表示獨立隨機事件發(fā)生的時間間隔，比如旅客進機場的時間間隔、中文維基百科新條目出現(xiàn)的時間間隔等等。性質(zhì)許多電子產(chǎn)品的壽命分布一般服從指數(shù)分布。有的系統(tǒng)的壽命分布也可用指數(shù)分布來近似。它在可靠性研究中是最常用的一種分布形式。指數(shù)分布是伽瑪分布和威布爾分布的特殊情況。應(yīng)用在日本的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)和美國軍用標(biāo)準(zhǔn)中，半導(dǎo)體器件的抽驗方案都是采用指數(shù)分布。此外，指數(shù)分布還大量用在壽命試驗中，所謂壽命試驗就是研究產(chǎn)品壽命特征的實驗，這種方法是在模擬實際工作條件的強化實驗條件下進行的。指數(shù)分布要點三定義正態(tài)分布（Normaldistribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布（Gaussiandistribution），最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導(dǎo)出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質(zhì)。是一個在數(shù)學(xué)、物理及工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，在統(tǒng)計學(xué)的許多方面有著重大的影響力。要點一要點二性質(zhì)正態(tài)曲線呈鐘型，兩頭低，中間高，左右對稱因其曲線呈鐘形，因此人們又經(jīng)常稱之為鐘形曲線。應(yīng)用正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中具有重要地位且滿足嚴(yán)苛的條件，提供現(xiàn)實數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為正態(tài)偏差的方法。要點三正態(tài)分布定義對數(shù)正態(tài)分布(logarithmicnormaldistribution)是指一個隨機變量的對數(shù)服從正態(tài)分布，則該隨機變量服從對數(shù)正態(tài)分布。性質(zhì)對數(shù)正態(tài)分布從短期來看，與正態(tài)分布非常接近（即認(rèn)為極短期內(nèi)可以認(rèn)為是均值不發(fā)生偏移的正態(tài)分布）。但長期來看，就是均值會發(fā)生偏移的正態(tài)分布。應(yīng)用對數(shù)正態(tài)分布是對數(shù)為正態(tài)分布的任意隨機變量的概率分布。如果Y是正態(tài)分布的隨機變量，則exp(Y)為對數(shù)正態(tài)分布；同樣，如果log(X)是正態(tài)分布，則X為對數(shù)正態(tài)分布。如果一個變量可以看作是許多很小獨立因子的乘積，則這個變量可以看作是對數(shù)正態(tài)分布。一個典型的例子是股票投資的長期收益率，它可以看作是每天收益率的乘積。對數(shù)正態(tài)分布PART04隨機變量的數(shù)字特征VS描述隨機變量取值的“平均水平”，是隨機變量所有可能取值與其對應(yīng)概率的乘積之和。方差衡量隨機變量取值與其數(shù)學(xué)期望的偏離程度，即隨機變量取值的波動性或分散程度。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望與方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)衡量兩個隨機變量變化趨勢是否相同的統(tǒng)計量，正值表示同向變化，負(fù)值表示反向變化，零表示無關(guān)。協(xié)方差標(biāo)準(zhǔn)化后的協(xié)方差，消除了量綱影響，更直觀地反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)矩描述隨機變量分布形態(tài)特征的統(tǒng)計量，包括原點矩和中心矩，可用于計算偏度和峰度等。偏度衡量隨機變量分布偏態(tài)的統(tǒng)計量，正值表示右偏，負(fù)值表示左偏，零表示對稱分布。峰度衡量隨機變量分布峰態(tài)的統(tǒng)計量，正值表示尖峰分布，負(fù)值表示平峰分布，零表示正態(tài)分布。矩與偏度峰度030201PART05大數(shù)定律與中心極限定理定義種類應(yīng)用條件大數(shù)定律大數(shù)定律是描述隨機變量序列的算術(shù)平均值向常數(shù)收斂的定律，即當(dāng)試驗次數(shù)足夠多時，隨機事件發(fā)生的頻率趨于一個穩(wěn)定值。包括伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律等。要求隨機變量序列獨立同分布，且期望存在。中心極限定理是指當(dāng)樣本量足夠大時，樣本均值的分布近似于正態(tài)分布，無論總體分布是什么。定義包括獨立同分布的中心極限定理、德莫佛-拉普拉斯定理等。種類要求隨機變量序列獨立同分布，且方差存在。應(yīng)用條件010203中心極限定理保險行業(yè)保險公司利用大數(shù)定律來預(yù)測和計算風(fēng)險，以確定保費和賠付金額。通過收集大量歷史數(shù)據(jù)并計算平均值，保險公司能夠更準(zhǔn)確地評估風(fēng)險并制定相應(yīng)策略。在制造業(yè)中，中心極限定理被廣泛應(yīng)用于質(zhì)量控制領(lǐng)域。通過收集產(chǎn)品樣本并計算其均值和標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷生產(chǎn)過程是否穩(wěn)定，并確定產(chǎn)品是否符合質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。投資者可以利用大數(shù)定律和中心極限定理來評估投資組合的風(fēng)險和回報。通過分析歷史數(shù)據(jù)并計算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，投資者可以制定更科學(xué)的投資策略并降低風(fēng)險。質(zhì)量控制金融投資應(yīng)用舉例PART06參數(shù)估計與假設(shè)檢驗利用樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)進行一次性估計，得到參數(shù)的近似值。常見的點估計方法有矩估計法和最大似然估計法。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個置信區(qū)間，使得該區(qū)間以一定的概率包含總體參數(shù)的真值。置信區(qū)間由置信水平和樣本數(shù)據(jù)共同決定。點估計區(qū)間估計點估計與區(qū)間估計原假設(shè)與備擇假設(shè)在假設(shè)檢驗中，需要提出兩個相互對立的假設(shè)，即原假設(shè)和備擇假設(shè)。原假設(shè)通常是研究者想要推翻的假設(shè)，而備擇假設(shè)則是研究者希望證實的假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個檢驗統(tǒng)計量，并根據(jù)原假設(shè)下的分布確定一個拒絕域。如果檢驗統(tǒng)計量的值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。顯著性水平與第一類錯誤顯著性水平是事先設(shè)定的一個概率值，用于控制第一類錯誤（即錯誤地拒絕原假設(shè)）的概率。通常取顯著性水平為0.05或0.01。010203假設(shè)檢驗基本原理雙樣本t檢驗用于檢驗兩個獨立總體均值是