四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)試題-奧數(shù)講練：第六講 等差數(shù)列 競(jìng)賽篇（解析版）全國(guó)通用

第六講等差數(shù)列

關(guān)于等差數(shù)列的求和問(wèn)題，我們奧數(shù)網(wǎng)的課程安排是在三年級(jí)的春季進(jìn)行了系統(tǒng)的知

識(shí)梳理，在整個(gè)小學(xué)四年級(jí)階段我們沒(méi)有進(jìn)行過(guò)相關(guān)的系統(tǒng)講解.我們這節(jié)課的主體以等差

數(shù)列的提高和應(yīng)用為主，但考慮到許多學(xué)生沒(méi)有系統(tǒng)接觸過(guò)“等差數(shù)列”的知識(shí)，有些接

觸過(guò)的同學(xué)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間，遺忘的已經(jīng)比較多了！所以我們希望教師在相關(guān)公式的復(fù)習(xí)

時(shí)能夠系統(tǒng)得講解一下！

許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，就利用巧妙的算法迅速

計(jì)算出從1到100這100個(gè)自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒(méi)有仔細(xì)想一想，高斯

為什么算得這么快呢？當(dāng)然，小高斯的聰明和善于觀察是不必說(shuō)了，往深處想，最基本的

原因卻是這100個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的規(guī)律性一一每項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大

1,即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)列有極簡(jiǎn)便的求和方法.通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，我

們回顧加強(qiáng)有關(guān)等差數(shù)列求和的方法，而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來(lái)解決許多有趣的問(wèn)題.

【復(fù)習(xí)1】你能給大家說(shuō)一說(shuō)有關(guān)等差數(shù)列的性質(zhì)、結(jié)論以及相關(guān)公式嗎？呵呵！快快舉手,

多多贏得小印章！

分析:以下答案僅供參考!

(1)先介紹一下一些定義和表示方法：

定義:從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都比前一項(xiàng)大（或?。┮粋€(gè)常數(shù)（固定不變的數(shù)），這樣的數(shù)列

我們稱(chēng)它為等差數(shù)列.

譬如：2、5、8、11、14、17、20、……從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3,遞增數(shù)列

100>95、90、85、80、……從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)比前一項(xiàng)小5,遞減數(shù)列

（2）首項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)，通常用&表示；

末項(xiàng)：一個(gè)數(shù)列的最后一項(xiàng)，通常用&表示，它也可表示數(shù)列的第n項(xiàng).每個(gè)數(shù)列都有最

后一項(xiàng)嗎？數(shù)列分有限數(shù)列和無(wú)限數(shù)列；

項(xiàng)數(shù)：一個(gè)數(shù)列全部項(xiàng)的個(gè)數(shù)，通常用n來(lái)表示；

公差：等差數(shù)列每?jī)身?xiàng)之間固定不變得差，通常用d來(lái)表示；

和：一個(gè)數(shù)列的某些項(xiàng)的和，常用出來(lái)表示.

（3）三個(gè)重要的公式：

①通項(xiàng)公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-i）x公差

=4+（〃-l）xd

回憶講解這個(gè)公式的時(shí)候我們可以結(jié)合具體數(shù)列或者原來(lái)學(xué)的植樹(shù)問(wèn)題的思想，讓同

學(xué)明白末項(xiàng)其實(shí)就是首項(xiàng)加上（末項(xiàng)與首項(xiàng)的）間隔的公差個(gè)數(shù)，或者從找規(guī)律的情況入

手.同時(shí)我們還可延伸出來(lái)這樣一個(gè)有用的公式：4—%,=（〃-〃?）xd,（〃m）

②項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù):（末項(xiàng)-首項(xiàng)）+公差+1（其實(shí)此公式是由①推導(dǎo)出來(lái)的，教師也可

以幫助同學(xué)推導(dǎo)，可以為以后的解方程做好鋪墊）

由通項(xiàng)公式可以得到：〃=（〃“一q）+d+l（若q）;〃=d+l

（若qan）.

找項(xiàng)數(shù)還有一種配組的方法，其中運(yùn)用的思想我們是常常用到的！

譬如：找找下面數(shù)列的項(xiàng)數(shù)：4、7、10、13、...、40、43、46,分析：配組：（4、5、6）、

（7、8、9）、（10、H、12）＞（13、14、15）、...、（46、47、48）,注意等差是3,那么

每組有3個(gè)數(shù)，我們數(shù)列中的數(shù)都在每組的第1位，所以46應(yīng)在最后一組第1位，4到48

有48-4+1=45項(xiàng)，每組3個(gè)數(shù)，所以共45+3=15組，原數(shù)列有15組.當(dāng)然，我們還可以

有其他的配組方法.

③求和公式：和二（首項(xiàng)+末項(xiàng)）X項(xiàng)數(shù)+2

%=（q+〃“）x〃+2

對(duì)于這個(gè)公式的得到我們可以從兩個(gè)方面入手：

（思路1）1+2+3+…+98+99+100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）

共50個(gè)101

=101x50=5050

（思路2）這道題目，我們還可以這樣理解:

和=1+2+3+4+....+98+99+100

+和=100+99+98+97+....+3+2+1

2倍和=101+101+101+101+....+101+101+101

_----100-------------

即，和=(100+1)x100+2=101x50=5050

(4)中項(xiàng)定理

對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首

相與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說(shuō)，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù).

譬如：(1)4+8+12+…+32+36=(4+36)X94-2=20X9=180,題中的等差數(shù)列有9項(xiàng)，

中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20,而和恰等于20X9；

(2)65+63+61+…+5+3+1=(1+65)X33+2=33X33=1+89,題中的等差數(shù)列有33

項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于33X33.

如果是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列，我們?cè)撊绾芜\(yùn)用這個(gè)公式呢？其實(shí)我們可以將其

去掉一項(xiàng)，變成奇數(shù)項(xiàng)，求和之后再加上去掉的那一項(xiàng).中項(xiàng)定理也可用在速算與巧算中.

譬如：計(jì)算：124.68+324.684-524.68+724.68+924.68

分析：這是一列等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)，中間數(shù)是524.68,所以可以用5X524.68=2623.4.

等差數(shù)列是小學(xué)奧數(shù)的一個(gè)重要知識(shí)，無(wú)論是競(jìng)賽還是小升初都是一個(gè)考核的重點(diǎn).

一部分題目是直接考數(shù)列，但更多的是結(jié)合到找規(guī)律、周期等問(wèn)題進(jìn)行考核.復(fù)習(xí)題目的重

點(diǎn)就是讓學(xué)生熟練掌握等差數(shù)列的求和、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)的求解.不能讓學(xué)生去單純的背公式，

而應(yīng)該把原理講透.

【復(fù)習(xí)2】小明從1月1日開(kāi)始寫(xiě)大字.第一天寫(xiě)了4個(gè)，以后每天比前一天多寫(xiě)相同數(shù)量

的大字，結(jié)果全月(總共31天)共寫(xiě)了589個(gè)大字，問(wèn)：小明每天比前一天多寫(xiě)多少個(gè)字?

分析：數(shù)列末項(xiàng)為：589x2+31—4=34,所以公差為(34—4)+30=1,小明每天比前一天多寫(xiě)1

個(gè)大字.

【復(fù)習(xí)3】建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，

第3層io塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，n---------n

問(wèn)中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？1111111111httn

分析：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來(lái)，2,6,10,14,-容易知道，是一個(gè)等差數(shù)

列.2106是第11=(2106-2)+4+1=527層，中間一層是第(527+1)+2=264層，那么中間

一層有：2+(264-1)X4=1054塊，這堆磚共有：1054X527=555458(塊),

44■【例1】計(jì)算:(1)61+692+6993+69994+699995+6999996（帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)）

(2)0.1+0.2+0.3+…+0.9+0.10+0.11+…+0.98+0.99

(3)(04陳省身杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)

44444

計(jì)算：(10----Xl)+(9—X2)+(8—X3)+-+(2—X9)+(l-X10)=.

5555555555

(4)計(jì)算：l+3+4+6+7+9+10+12+13+.??+66+67+69+70；

分析：(1)原式=(70-9)+(700?8)+(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)

=7777770-(9+8+7+6+5+4)

=7777731

(2)分析:仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)并不是一個(gè)等差數(shù)列，但是我們可以分為0.1至0.9和0.10

至0.99兩部分，這樣就變成等差數(shù)列了，然后再求和.

第一部分：0.1+0.2+0.3+…+0.9=4.5；

第二部分：0.10+0.11+…+0.98+0.99=(0.14-0.99)X904-2=49.05；

因此總和等于：49.05+4.5=53.55.

44

(3)原式=(10+9+8+…+1)--X(1+2+3+…+10)=55-—X55=51

5555

(4)可以把這個(gè)數(shù)列拆分為兩個(gè)數(shù)列1+4+7+9+13+...+67+70和3+6+9+12+...+66+69,對(duì)

他們分別求和：(1+70)X244-2+(3+69)X234-2=1680.

【鞏固】(1)計(jì)算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+...+0.97+0.99；

(2)計(jì)算72+793+7994+79995+799996=；

(3)2+4+8+10+14+16+20+22+...+92+94+98+100.

分析：(1)原式=(0.1+03+0.5+0.7+0.9)+(0.11+0.13+0.15+0.17+...+0.97+0.99)

=(0.1+0.9)X54-2+(0.11+0.99)X454-2=27.25.

(2)原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)

=888880-(8+7+6+5+4)=888850

(3)拆分為2+8+14+20+...+92+98和4+10+16+22+...+94+100：(2+98)x17^-2+(4+100)X

174-2=1734.

4【例2】（走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園）如右圖，25個(gè)同樣大小的等邊三角形拼成了大等產(chǎn)格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

邊三角形，在圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)處都標(biāo)上一個(gè)數(shù)，使得圖中每條直線上所標(biāo)的數(shù)都順次成等差

數(shù)列.已知在大等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)放置的數(shù)分別是100,2()0,800.求所有結(jié)點(diǎn)上數(shù)的

總和.

分析：如右下圖，各結(jié)點(diǎn)上放置的數(shù)如圖所示.從100到300這條直線上的各數(shù)

的平均數(shù)是200,平行于這條直線的每條直線上的各數(shù)的平均數(shù)都是200.所以

21個(gè)數(shù)的平均數(shù)是200,總和為200x21=4200.

4【例3】(全國(guó)華羅庚金杯)如右圖，有碼放整齊的一堆球，從上往下看，這

堆球共有多少個(gè)?

分析：最上層有1個(gè)球；第二層有1+2+3+4+5=15(個(gè))；第三層有15+6=21(個(gè))；

第四層有21+7=28(個(gè))；七層共有球1+15+21+28+36+45+55=201(個(gè)).

4【例4】在1?200這二百個(gè)自然數(shù)中，所有能被4整除或能被11整除的數(shù)的

和是多少？

分析：先求出能被4整除的自然數(shù)和，再求出能被11整除的自然數(shù)和，將二者相加，但是

此時(shí)得到的不是題目需要的和，因?yàn)?4,88等數(shù)在兩個(gè)數(shù)列中都存在，也就是說(shuō)能被44

整除的數(shù)列被計(jì)算了兩次，所以我們還應(yīng)該減去能被44整除的數(shù)列和.

(4+8+12+-+200)+(11+22+33+-+198)-(44+88+132+176)=(4+200)X50-2+(11+198)X18

4-2-(44+176)X44-2=6541.

【前鋪】在1?100這一百個(gè)自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？

分析：我們先計(jì)算1?100的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9

整除的自然數(shù)和了.1+2+-+100=(1+100)X1004-2=5050,

9+18+27+…+99=(9+99)X11+2=594,所有不能被9整除的自然數(shù)和：5050-594=4456.如

果直接計(jì)算不能被9整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以我們先計(jì)算所有1?100的自然數(shù)

和，再排除掉能被9整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過(guò)程變得簡(jiǎn)便多了.

【前鋪】100到200之間不能被3整除的數(shù)之和是多少？

分析:考慮能被3整除的各數(shù)之和102+105+…+198;

然后(100+101+102+…+200)—(102+105+…+198)=10200.

注【例5】已知有一個(gè)數(shù)列:1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，試問(wèn)：<:帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)]

(1)15是這樣的數(shù)列中的第幾個(gè)到第幾個(gè)數(shù)？

(2)這個(gè)數(shù)列中第100個(gè)數(shù)是幾？

(3)這個(gè)數(shù)列前100個(gè)數(shù)的和是多少？

分析：分析可得下表：

數(shù)：1234567-141516........

個(gè)數(shù)：2468101214-283032........

(1)2+4+6+…+28=210,所以15是第211個(gè)到240個(gè)

(2)在這個(gè)數(shù)列中前9組的個(gè)數(shù)是：2+4+6+???+18=90個(gè)

這個(gè)數(shù)列前10組的個(gè)數(shù)是：2+4+6+…+20=110

而90<100<110,所以第100個(gè)數(shù)是第10組中數(shù)，是10

(3)這個(gè)數(shù)列中前100個(gè)數(shù)的和是：1X2+2X4+3X6+…+9X18+10X10=670

6基【例6】已知數(shù)列2、3、4、6、6、9、8、12、…，問(wèn):這個(gè)數(shù)列中第2000個(gè)數(shù)是多少?<［帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

第2003個(gè)數(shù)是多少？

分析:奇數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：2、4、6、8,…

偶數(shù)項(xiàng)的排列規(guī)律是：3、6、9、12,…

先求出這兩個(gè)數(shù)各自在等差數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)：第2000個(gè)數(shù)在偶數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列中是第20004-

2=1000個(gè)數(shù)，第2003個(gè)數(shù)在奇數(shù)項(xiàng)等差數(shù)列中是第(2003+1)+2=1002個(gè)數(shù)，所以第2000

個(gè)數(shù)是3000,第2003個(gè)數(shù)是2004.

【拓展】求出原題中的前100項(xiàng)和，并判斷出100、111、120分別是數(shù)列中的第幾項(xiàng)。

分析：前100項(xiàng)的和=(3+150)X504-24-(2+100)X504-2=255X25=6375,

100是2的倍數(shù)，所以是奇數(shù)項(xiàng)的第50項(xiàng)，原數(shù)列的第99項(xiàng)：

111是3的倍數(shù)，所以是偶數(shù)項(xiàng)的第37項(xiàng)，原數(shù)列的第74項(xiàng)；

同樣，120是原數(shù)列的第80項(xiàng)和第119項(xiàng).

斗【例7】觀察下面的數(shù)陣,容易看出，第n行最右邊的數(shù)是那么，第20行最左邊<:帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

的數(shù)是幾？第20行所有數(shù)字的和是多少？

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

分析:第20行最左邊的數(shù)等于192+1=362,該行共有(202-192)個(gè)數(shù)，(362+400)X394-

2=14559.

【鞏固】觀察下面各式并解答:

1+2=3,

4+5+6=7+8,

9+10+11+12=13+14+15，

第10個(gè)等式左右兩邊的和是多少？

分析：由題中的式子可知第四個(gè)等式左邊的第一個(gè)數(shù)是16,發(fā)現(xiàn)從第一個(gè)等式開(kāi)始，每個(gè)

等式左邊第1個(gè)數(shù)組成數(shù)列：1,4,9,16,…,分別為/，*32,42,…所以第10個(gè)等

式左邊第1個(gè)數(shù)為102=100,并且共有11個(gè)數(shù)相加.第10個(gè)等式左邊的和為：

100+101+102+-+110=(100+110)X114-2=1155.

81【例8】學(xué)校進(jìn)行乒乓球選拔賽,每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)，一共<:帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

進(jìn)行了78場(chǎng)比賽.問(wèn)：有多少人參加了選拔賽？

分析：我們假設(shè)有x個(gè)選手，根據(jù)題目中“每個(gè)參賽選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)”，

第一個(gè)選手要比立1場(chǎng)；第二個(gè)選手，由于第一個(gè)選手已經(jīng)和他比賽過(guò)了，所以他只需要同

剩下的x?2個(gè)選手比賽x?2場(chǎng)，依此類(lèi)推，總比賽場(chǎng)數(shù)就是數(shù)列1,2,3,…，x?l的和.

設(shè)有x個(gè)選手，列出方程：(l+x-l)X(x-l)v2=78,x(x-l)=156,比較求解得x=13.

【鞏固】某次宴會(huì)結(jié)束時(shí)總共握手45次，如果參加宴會(huì)的每一個(gè)人，和其他參加宴會(huì)的每

一個(gè)人都只握一次手.參加宴會(huì)的一共有多少人？

分析:經(jīng)試驗(yàn)：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,所以一共有10人參加宴會(huì).

旺【例9】(走進(jìn)美妙數(shù)學(xué)花園)黑板上寫(xiě)有從1開(kāi)始的一些連續(xù)奇數(shù)：1,3,5,7,<帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

9,擦去其中一個(gè)奇數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)的和是2008,那么擦去的奇數(shù)是.

分析：1,3,5,7,…,(2n?1),這n個(gè)奇數(shù)之和等于分452=2025,擦去的奇數(shù)是2025-2008=17.

【前鋪】小明練習(xí)打算盤(pán)，他按照自然數(shù)的順序從1開(kāi)始求和，當(dāng)加到某一個(gè)數(shù)的時(shí)候，

和是1997,但他發(fā)現(xiàn)計(jì)算時(shí)少加了一個(gè)數(shù)，試問(wèn)：小明少加了哪個(gè)數(shù)？

分析：用X表示小明少加的那個(gè)數(shù),1997+X=(l+n)Xn-r2,(1+n)Xn=3994+2x,兩個(gè)

相鄰的自然數(shù)的積比3994大一些，因?yàn)?l+n)Xn和「比較接近，可以先找3994附近的

平方數(shù)，最明顯的要數(shù)3600=60X60,而后試算兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積61X62=3782,62X

63=3906,63X64=4032,所以n=63,正確的和是2016,少加的數(shù)為：2016-1997=19.

【拓展】小明住在一條胡同里.一天，他算了算這條小胡同的門(mén)牌號(hào)碼.他發(fā)現(xiàn)，除掉他自

己家的不算，其余各門(mén)牌號(hào)碼之和正好是100.請(qǐng)問(wèn)這條小胡同一共有多少戶(即有多少個(gè)

門(mén)牌號(hào)碼)？小明家的門(mén)牌號(hào)碼是多少？

分析：這道題目的具體數(shù)值只有一個(gè)，所以我們要通過(guò)估算的方法解決問(wèn)題！我們都知道：

1+2+…+10=55,所以和在100附近的應(yīng)該為1?14、或1?15,

(1)1+2+…+14=105,小明家門(mén)牌號(hào)為5,共有14戶人家；

(2)1+2+…+14+15=120,小明家門(mén)牌號(hào)為20,不再1?15的范圍，所以不符合題意.

M【例10](數(shù)學(xué)科普電視賽)小明往一個(gè)大池里扔石子，第一次扔1塊石子，第，帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

二次扔2塊石子，第三次扔3塊石子，第四次扔4塊石子……他準(zhǔn)備扔到大池里的石子總

數(shù)被106除，余數(shù)是0為止，那么小明應(yīng)至少扔多少次？

分析：106=2X53.設(shè)小明應(yīng)扔n次，則扔的石子總數(shù)為"十")",當(dāng)n+l=53,n=52時(shí)，

2

石子總數(shù)第一次能被53整除.

口基【例11】有一列數(shù):1,2,4,7,11,16,22,29,37,—,問(wèn)這列數(shù)第1001個(gè)?:帶格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

數(shù)是多少？

分析：從題目中可以看出第二個(gè)數(shù)與第一個(gè)數(shù)差1,第三個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)相差2,第四個(gè)數(shù)

與第三個(gè)數(shù)相差3............依此類(lèi)推，以后每項(xiàng)數(shù)與前一項(xiàng)的差都會(huì)依次增加1,因此有以

下規(guī)律：

第1個(gè)數(shù)：1=1，

第2個(gè)數(shù)：2=1+1,

第3個(gè)數(shù)：4=2+2=1+1+2,

第4個(gè)數(shù)：7=3+4=1+1+2+3,

第5個(gè)數(shù)：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4,

第6個(gè)數(shù)：16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5,

第n個(gè)數(shù)：1+1+2+3+4+5+...+(n-1).

第1001個(gè)數(shù)為:1+1+2+3+4+5+???+(1001-1)=1+1+2+3+44-5+...+1000=1+500500=5005001

削【例12】9張面積都是9的圖形放在面積為45的桌面上（不能超出桌面）,能否使＜（精格式的：項(xiàng)目符號(hào)和編號(hào)

任何2個(gè)圖形相互重疊的面積都小于1?

分析:不能.如果能，將九個(gè)圖形依次編為1?9號(hào)，1號(hào)與2?9號(hào)重疊的面積小于8,2號(hào)

與3?9號(hào)重疊的面積小于7……8號(hào)與9號(hào)重疊的面積小于1,所以重疊的總面積必然小于

1+2+…+8=36,九個(gè)圖形所占的總面積大于9X9-36=45,與題意矛盾，所以不能.

［附1］計(jì)算：2000X1999-1999X1998+1998X1997-1997X1996+-+4X3-3X2+2X1.

分析：原式二1999X(2000-1998)+1997X(1998-1996)+-+3X(4-2)+2XI

=1999X2+1997X2+......+3X2+2X1

=2X(1999+1997+-+3+1)

=2000000.

【附2】盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球，將它變成3只球

后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出二只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……

第十次從盒子里拿出十只球，將每只球各變成3只球后放回到盒子里。這時(shí)盒子里共有多

少只乒乓球？

分析:一只球變成3只球，實(shí)際上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2X2只球……

第十次多了2X10只球。因此拿了十次后，多了

2X1+2X2+…+2X10

=2X(1+2+…+10)

=2X55=110(只)

加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113(只)

【附3】李明玩投放石子游戲，從A點(diǎn)出發(fā)，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子:

再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子…….照此規(guī)律最后走到B處共放下石

子35枚，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路程是多少米？

分析：N=(35-1)4-2+1=18,末項(xiàng)=1+3X(18-1)=52,和=(1+52)X18-2=477.

【附4】從兩位的自然數(shù)中，每次取兩個(gè)不同的數(shù)要使這兩個(gè)數(shù)的和是三位自然數(shù)，有多

少種取法？

分析：要使和為3位數(shù)，假設(shè)一個(gè)數(shù)為n,則另一個(gè)數(shù)必須大于100-n,同時(shí)為了防止取重

復(fù)(比如已經(jīng)取了50,51又取51,50),我們只取比n大的數(shù)，按照這個(gè)原則，可以寫(xiě)出一

個(gè)數(shù)列.

10有90?99,10種取法；11有89?99,11種取法；……；49有51?99,49種取法；50

有51?99,49種取法；51有52?99,48種取法；……;98有99,1種取

法.(10+11+12+???+49)+(49+48+47+…+2+1)=(10+49)X404-2+(1+49)X494-2=2405,對(duì)這個(gè)

數(shù)列求解就可以得到總共有2405種取法.

【附5](希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽)觀察下面的序號(hào)和等式，填括號(hào).

序號(hào)等式

11+2+3=6

33+54-7=15

554-8+11=24

77+114-15=33

()()+()+7983=()

分析：可以這樣想：(1)表中各豎行排列的規(guī)律是什么？(等差數(shù)列)

(2)表中這四個(gè)括號(hào)，應(yīng)先填哪一個(gè)？為什么？這個(gè)括號(hào)里的數(shù)怎么求？

應(yīng)先填左起第一個(gè)，因?yàn)樗切蛱?hào)，表示了其他三個(gè)括號(hào)里的數(shù)在各自的等差數(shù)列中所在

的位置，即各自的項(xiàng)數(shù).

第一個(gè)括號(hào)：(7983-3)4-44-1=1996,1+(1996-1)X2=3991；第二個(gè)括號(hào)：1+(1996T)

X2=3991；

第三個(gè)括號(hào)：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：2+(1996-1)X3=5987或3991+1996=5987；第

四個(gè)括號(hào)：根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：6+(1996-1)X9=17961或3991+5987+7983=17961.

【附6】求所有加6以后能被11整除的三位數(shù)的和？

分析：110-6+121-6+…+990-6+1001-6=(110+1001)X824-2-6X82=45059.

要注意最后一個(gè)數(shù)1001,雖然是四位數(shù)，但是減去6后就是三位數(shù)，符合題目要求.

1.用相同的立方體擺成右圖的形式，如果共擺了10層，那么最下面一層有多少

個(gè)立方體？

分析：從圖可以看出最底層每一列的立方數(shù)分別為10,9,8，…，1.所以最底

層立方體數(shù)目為：(10+1)x11)+2=55.要學(xué)會(huì)正確的讀圖