區(qū)間估計(jì)的基本概念課件

第七章

參數(shù)估計(jì)

§7.2區(qū)間估計(jì)的基本概念1區(qū)間估計(jì)的基本概念一、基本概念前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值,它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.2區(qū)間估計(jì)的基本概念譬如，在估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題中，若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，得到魚(yú)數(shù)N的極大似然估計(jì)為1000萬(wàn)尾.若我們能給出一個(gè)區(qū)間，實(shí)際上，N的真值可能大于1000萬(wàn)尾，也可能小于1000萬(wàn)尾.在此區(qū)間內(nèi)我們合理地相信

N

的真值位于其中.這樣對(duì)魚(yú)數(shù)的估計(jì)就有把握多了.3區(qū)間估計(jì)的基本概念也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚(yú)數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，習(xí)慣上這里α是一個(gè)很小的正數(shù).稱為置信概率，置信度或置信水平.置信水平記作1-α,4區(qū)間估計(jì)的基本概念置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?-α=0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，使我們求出一個(gè)盡可能小的區(qū)間

置信區(qū)間.稱區(qū)間為θ的置信水平為1-α的5區(qū)間估計(jì)的基本概念尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得根據(jù)置信水平1-α

，可以找到一個(gè)正數(shù)δ，我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.稱δ為與θ之間的誤差限.6區(qū)間估計(jì)的基本概念下面我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義,由不等式可以解出θ

：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.7區(qū)間估計(jì)的基本概念置信區(qū)間定義：滿足設(shè)θ是一個(gè)待估參數(shù)，給定α>0,若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量分別稱為置信下限和置信上限.則稱區(qū)間是θ的置信水平(置信度、置信概率)為1-α的置信區(qū)間.8區(qū)間估計(jì)的基本概念這里有兩個(gè)要求:可見(jiàn)，對(duì)參數(shù)θ作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)一旦有了樣本，就把θ估計(jì)在區(qū)間內(nèi).9區(qū)間估計(jì)的基本概念2.

估計(jì)的精度要盡可能的高.就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，1.

要求θ以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi).盡可能短，如要求區(qū)間長(zhǎng)度或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.10區(qū)間估計(jì)的基本概念二、單側(cè)置信區(qū)間上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.11區(qū)間估計(jì)的基本概念于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)θ是一個(gè)待估參數(shù)，給定α>0,若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是θ的置信水平為1-α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.12區(qū)間估計(jì)的基本概念又若統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是θ的置信水平為1-α的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信上限.滿足13區(qū)間估計(jì)的基本概念設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值μ的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例1

從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樣本函數(shù)解：的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值

14區(qū)間估計(jì)的基本概念使即對(duì)給定的置信度1-α,確定分位數(shù)得均值μ的置信水平為1-α的單側(cè)置信區(qū)間為15區(qū)間估計(jì)的基本概念

將樣本值代入得1065小時(shí)即μ的置信水