專題06 平面向量和復數(shù)（解析版）-備戰(zhàn)2024年高中學業(yè)水平考試數(shù)學真題分類匯編

專題06平面向量和復數(shù)考點一：平面向量的加減數(shù)乘運算1．（2021春·河北）在中，設，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴D為BC的中點，∴，又∵，，∴.故選：A.2．（2021秋·吉林）在中，點D在BC邊上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B3．（2021秋·青海）化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B4．（2022·北京）如圖，已知四邊形為矩形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知.故選：C5．（2022春·廣西）如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可知六邊形ABCDEF是正六邊形，所以ED=AB，與方向相同的只有；而,,與長度相等，方向不同，所以選項A,C,D,均錯誤；故選：B6．（2022春·貴州）如圖，在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，.故選：B.7．（2021·北京）如圖，在中，D為BC的中點，下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A錯誤；對于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B錯誤；對于C，利用三角形法則知，故C錯誤；對于D，利用三角形法則知，故D正確；故選：D8．（2021春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在平行四邊形中.故選：B9．（2023·河北）在中，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，故選：.10．（2023·江蘇）已知是邊長為2的等邊三角形，分別是邊的中點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對選項A：，錯誤；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確.故選：D11．（2023春·福建）如圖所示，，，M為AB的中點，則為（

）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】，，M為AB的中點，所以.故選：B12．（2023春·湖南）在中，D為BC的中點，設，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，故，故選：B13．（2022春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，因為，，所以.故選：B14．（2022·山西）已知平面內一點P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關系是（

）A．P在△ABC外部 B．P在線段AB上C．P在線段AC上 D．P在線段BC上【答案】B【詳解】因為，所以所以點P在線段AB上故選：B15．（2022春·遼寧）已知向量，，則（

）．A． B． C． D．（1，1）【答案】C【詳解】因為向量，，所以.故選：C.16．（2022春·遼寧）如圖所示，在中，為邊上的中線，若，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因為在中，為邊上的中線，所以故選：C17．（2022春·浙江）在中，設，，，其中.若和的重心重合，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】設為和的重心，連接延長交與，連接延長交與，所以是的中點，是的中點，所以，，，可得，解得.故選：D.18．（2022·湖南）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設，因為，所以，所以.故選：D.19．（2022秋·廣東）已知點，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】,故選:D.20．（2022春·廣西）如圖，在中，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由平行四邊形法則知，.故選：B.21．（2022春·貴州）已知向量，則（

）A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）【答案】A【詳解】因為，所以，故選：A22．（2023·山西）中，M為邊上任意一點，為中點，，則的值為【答案】【詳解】因為，所以，所以，所以故答案為：23．（2023春·浙江）在矩形ABCD中，，，點M、N滿足，，，則.【答案】14【詳解】,,所以,故答案為：14

24．（2023·云南），則的坐標為.【答案】【詳解】因為，則，所以的坐標為.故答案為：25．（2021秋·福建）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設，.故選：C.考點二：平面向量的模1．（2021春·河北）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B．4 C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，兩邊平方，得，又，所以，解得.故選：C.2．（2021·湖北）已知兩個單位向量，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：.故選：A.3．（多選）（2021·湖北）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】解：，，所以，因為，所以.故選：CD.4．（2022秋·浙江）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．8 D．【答案】B【詳解】∵,又∵∴，∴，∴，故選：B.5．（2021秋·浙江·）已知平面向量滿足，則.【答案】【詳解】因為，所以，，，故答案為：6．（2023春·湖南）已知向量，，則.【答案】5【詳解】由，可得,所以,故答案為：57．（2022春·天津）已知向量，.(1)求，的坐標；(2)求，的值.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1），（2），8．（2021春·天津）已知向量，．(1)求、的坐標；(2)求、的值．【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：因為向量，，則，.（2）解：因為向量，，則，.9．（多選）（2023春·浙江）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．向量在向量上的投影向量為C． D．【答案】BD【詳解】因為，，，所以，故A錯誤；向量在向量上的投影向量，故B正確；因為，，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確.故選：BD10．（2022春·貴州）已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建立平面直角坐標系，設，由，不妨設，又，不妨設在直線上，又可得，即，則，設，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；又，則的最小值等價于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點到直線上一點距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.故選：D.考點三：平面向量的數(shù)量積1．（2023·云南）已知與的夾角為，則（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【詳解】.故選：B2．（2022·北京）已知向量，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】.故選：B.3．（2021春·貴州）已知向量和的夾角為，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】由故選：D4．（2023·廣東）已知向量和的夾角為，，，則.【答案】【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得.故答案為：.5．（2022春·浙江）已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模為1，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】解：由題意，令，，則，所以，由，得，所以.，故答案為：6．（2021秋·廣西）已知向量，，則.【答案】2【詳解】由題意可得：.故答案為：2.7．（2021·北京）已知向量，且，則實數(shù)；.【答案】24【詳解】解：（1）由題得；（2）.故答案為：2；4.8．（2022春·浙江）在矩形中，，，點為邊的中點，點為邊上的動點，則的取值范圍是（

）\A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，設，，，，，，即的取值范圍為.故選：B.9．（2021·北京）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，那么（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標系由題意可知，，，故選：B考點四：平面向量的夾角1．（2022秋·福建）已知向量與滿足，且，則與的夾角等于．【答案】/【詳解】依題意，，∴與的夾角為；故答案為：.2．（2023·河北）已知向量滿足，那么向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得：，∵，∴向量的夾角為.故選：D3．（2021秋·福建）已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【詳解】解：設與的夾角為，因為，，，所以，所以與的夾角的余弦值為．故答案為：.4．（2021春·河北）若向量，，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量，，，設向量與的夾角為，則，由，得.故選：A.5．（2021秋·河南）已知在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，，.（1）求；（2）求的余弦值.【答案】（1）-16（2）【詳解】解：（1）由已知，得，.所以.（2）.考點五：平面向量的平行和垂直關系1．（2023·北京）已知向量，．若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為向量，且，則.故選：C.2．（2023·河北）已知向量，，若，則實數(shù)（

）A．1 B． C．4 D．【答案】A【詳解】因為，則，又因為向量，，所以，則，故選：.3．（2023·山西）已知向量，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，，，所以，所以，，A錯誤，B錯誤，所以，所以，C正確，D錯誤.故選：C.4．（2023春·福建）已知，，且，則y的值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【詳解】因為，，且，則，解得，所以y的值為3.故選：A5．（2023·云南）已知向量，若，則（

）A．-8 B．8 C．-10 D．10【答案】D【詳解】由向量，，則，解得.故選：D.6．（2023春·新疆）已知向量，若，則（

）A． B．C．6 D．【答案】D【詳解】向量，且，則，所以.故選：D7．（2021秋·吉林）已知向量，，若，則實數(shù)m等于（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【詳解】由于，所以.故選：A8．（2021·吉林）已知向量，若，則實數(shù)的值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】B【詳解】因為，所以，所以，即.故選：B9．（2021春·貴州）已知向量．若，則實數(shù)m的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】解：因為，所以，解得.故選：B.10．（2021秋·貴州）已知向量，若，則實數(shù)x＝.【答案】-6【詳解】因為，所以，解得：故答案為：-611．（2022春·浙江）已知平面向量，.若，則實數(shù)（

）A． B．3 C． D．12【答案】B【詳解】由，可得，解得.故選：B.12．（2022秋·廣東）設向量，，若，則．【答案】1【詳解】由于，所以.故答案為：13．（2022春·遼寧）已知向量，，(1)求；(2)若，求y的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：向量，，所以.（2）解：向量，，若，則，解得.14．（2021秋·廣東）已知向量，若與共線，則m=.【答案】【詳解】因為向量，且與共線，所以，解得：，故答案為：.15．（2023·江蘇）已知向量，則實數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【詳解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故選：D16．（2023春·新疆）已知向量與的夾角為60°，．(1)求的值；(2)求為何值時，向量與相互垂直．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為向量與的夾角為60°，所以（2）因為向量與相互垂直，所以，則，所以，則考點六：正、余弦定理1．（2023·北京）在中，，，，則（

）A．60° B．75° C．90° D．120°【答案】D【詳解】由余弦定理得：，.故選：D.2．（2023·河北）在中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故選：A3．（2023·江蘇）在中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，解得.故選：D4．（2023春·浙江）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則角C為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】，，由正弦定理，,由角B為三角形內角，則，可得，由，可得或，故選：B5．（2023春·湖南）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理可得：.故選：C.6．（2023春·新疆）在△ABC中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理得，，又，所以.故選：C7．（2021春·河北）在中，內角所對的邊分別是.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦定理可得，即，解得，因為中，所以，所以，，故選：D8．（2021春·河北）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，為等邊三角形，則該四邊形的面積是（

）A．12 B．16 C． D．【答案】D【詳解】中，根據(jù)余弦定理，則，則,因為是等邊三角形，所以，的面積，所以四邊形的面積.故選：D9．（2021秋·吉林）在中，，，，則角B為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得，即，解得由于，所以為銳角，所以.故選：B10．（2021春·浙江）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選：B.11．（2021秋·河南）的三邊長分別為3，5，7，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【詳解】設最大角為，則，是鈍角，三角形為鈍角三角形．故選：C．12．（2021秋·河南）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，則B=（

）A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°【答案】D【詳解】由正弦定理得，因為，即，所以或．故選：D．13．（2021春·貴州）三內角A，B，C所對邊分別是a，b，c．若則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由三角形面積公式知：.故選：A14．（2021春·貴州）三內角A，B，C所對邊分別是a，b，c．若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：在中由正弦定理可得，即，即，解得；故選：C15．（2021春·貴州）△三內角A，B，C所對邊分別是a，b，c．若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，則，所以，而，則且，又，當時的最大值為.故選：A16．（2021秋·貴州）△ABC三內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，則b=（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】由余弦定理得，因為，所以，故選：D17．（2021秋·福建）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則.【答案】【詳解】由可得,由正弦定理可得，解得，故答案為：18．（2023·北京）在中，，，則．【答案】4【詳解】由正弦定理可得，故，所以.故答案為：4.19．（2023春·福建）已知分別為三個內角的對邊，若，，則=.【答案】/【詳解】由余弦定理，則，又，所以，故答案為：.20．（2022秋·浙江）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，則b=.【答案】【詳解】解：因為a=2，A=45°，B=60°，，所以.故答案為：.21．（2022秋·福建）的內角所對的邊分別為，且，則．【答案】【詳解】由正弦定理得：；故答案為：.22．（2022·湖南）在中，角所對的邊分別為．已知，則的度數(shù)為．【答案】【詳解】由正弦定理：可得：，由可得，則：.23．（2022春·廣西）在中，，則cosA=.【答案】【詳解】由余弦定理得.故答案為：24．（2021秋·廣西）如圖，為了測定河兩岸點與點間的距離，在點同側的河岸選定點，測得，，，則點與點間的距離為m.【答案】【詳解】在中，，，，則，因為，所以，所以點與點間的距離為.故答案為：.25．（2021秋·貴州）已知△ABC三內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，D是線段BC上任意一點，ADBC，且AD＝BC，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因為ADBC，且，D是線段BC上任意一點，所以當點D與B重合時，c最小，b最大，取最大值，當點D與C重合時，c最大，b最小，取最小值，所以，由對勾函數(shù)的性質可得.故答案為：.26．（2022春·貴州）已知的外接圓半徑為，邊所對圓心角為，則面積的最大值為．【答案】【詳解】解：如圖設外接圓的圓心為，過點作，交于點，依題意，，所以，，要使的面積最大，即點到的距離最大，顯然點到的距離，所以故答案為：27．（2021春·天津）已知、、分別是三個內角、、的對邊，且，，，則．【答案】【詳解】因為，，，由余弦定理可得.故答案為：.28．（2023春·福建）已知分別為三個內角的對邊，.(1)求的值；(2)若，求b的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因為，所以.（2）由正弦定理，，又，所以.29．（2023·廣東）在中，內角、、的對邊分別為、、，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，因為，則，故.（2）解：由（1）可知，所以，.30．（2023·云南）在中，角的對邊分別為.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)4；(2)1.【詳解】（1）在中，，由正弦定理，得，所以的值是4.（2）在中，，由余弦定理，得，則有，即，解得，所以的值為1.31．（2022·山西）在中，內角的對面分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求及的面積.【答案】（1）；（2）8，.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，因為，所以，且易知所以，又，所以.（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，，即，因為，解得，所以.32．（2022春·遼寧）△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．(1)求A的大小；(2)若，，求a．【答案】(1)或；(2)答案見解析.【詳解】（1）解：由以及正弦定理可得，.又，所以.因為，所以或.（2）解：當時，，由余弦定理可得，，，解得；當時，，由余弦定理可得，，，解得.綜上所述，當時，；當時，.33．（2022秋·廣東）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，(1)求b(2)求的值【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，所以.（2）由正弦定理.34．（2021秋·廣東）如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長.【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，則，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.35．（2021·吉林）在中，角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求角的大小.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，∴，∵是的內角，∴.（2）∵，∴，∴，∵，∴，又因為，所以.考點六：復數(shù)的概念及四則運算1．（2023·河北）若實數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【詳解】因為，所以，所以，故選：A.2．（2023·山西）復數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】設，則，由，根據(jù)復數(shù)的模長公式，，即，.故選：B3．（2023·江蘇）已知，則（

）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.4．（2023春·湖南）已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，故選：B5．（2023·云南）若復數(shù)，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】復數(shù)，則在復平面內對應的點位于第二象限.故選：B6．（2023春·新疆）設復數(shù)，則的虛部是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因為復數(shù)，所以的虛部是.故選：D7．（2023春·新疆）若復數(shù)滿足，則對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【詳解】依題意，，復數(shù)對應的點位于第三象限.故選：C8．（2022·北京）在復平面內，復數(shù)z對應的點的坐標是，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵復數(shù)z對應的點的坐標是，∴.故選：D.9．（2022春·天津）是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】復數(shù)在復平面內對應的點為，該點位于第一象限.故選：A10．（2022春·遼寧）計算的值是（

）．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【詳解】.故選：A.11．（2022春·浙江）復數(shù)（為虛數(shù)單位）的實部是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】顯然復數(shù)的實部是2.故選：C.12．（2022春·浙江）復數(shù)在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四像限【答案】B【詳解】，對應的復平面內的點為，位于第二象限.故選：B