一階倒立擺系統(tǒng)模型分析、狀態(tài)反饋與觀測(cè)器設(shè)計(jì)課件

一階倒立擺系統(tǒng)模型分析、狀態(tài)反饋與

觀測(cè)器設(shè)計(jì)1最新版整理ppt1.建立一級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型

圖1.一級(jí)倒立擺模型

注意：后面建立倒立擺數(shù)學(xué)模型過程中忽略了空氣阻力和彈性形變等。2最新版整理ppt首先對(duì)擺桿進(jìn)行受力分析，如圖2所示。其中H表示擺桿受到的水平方向力，N表示擺桿所受的豎直方向的力，擺桿所受的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩用表示，則得到擺桿平面運(yùn)動(dòng)微分方程。

圖2.擺桿受力分析圖3最新版整理ppt

（1）水平方向：擺桿質(zhì)心的水平位移擺桿受到的水平方向力（2）豎直方向擺桿質(zhì)心的豎直位移：擺桿受到的豎直方向力

（3）繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)

4最新版整理ppt根據(jù)以上方程可得消去H和N可得

由則得5最新版整理ppt根據(jù)系統(tǒng)最終的控制方式，給系統(tǒng)施加的控制量是車體的加速度，因此選擇加速度為系統(tǒng)的輸入，從而可得倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：根據(jù)以上系統(tǒng)方程可以看出倒立擺模型是非線性的。為了應(yīng)用線性系統(tǒng)理論，可在倒立擺平衡位置附近對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，取，令并忽略高次項(xiàng)，可得如下方程：

6最新版整理ppt可以用線性系統(tǒng)理論對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制，選擇狀態(tài)變量x。則狀態(tài)空間表達(dá)式可表示為：7最新版整理ppt倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下8最新版整理ppt代入數(shù)據(jù)計(jì)算得狀態(tài)空間表達(dá)式：9最新版整理ppt2.倒立擺數(shù)學(xué)模型分析（1）穩(wěn)定性分析根據(jù)特征方程的根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由計(jì)算得特征根為知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。10最新版整理ppt（2）可控性分析由知系統(tǒng)是完全能控的，滿足特征值可任意配置的極點(diǎn)配置定理。11最新版整理ppt（3）可觀測(cè)性分析由可知系統(tǒng)完全能觀，滿足全維觀測(cè)器極點(diǎn)配置條件。12最新版整理ppt3.狀態(tài)反饋對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)為：K為狀態(tài)反饋增益陣。13最新版整理ppt狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：

狀態(tài)反饋實(shí)際上是通過狀態(tài)反饋增益陣K的選擇來改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而獲得系統(tǒng)所要求的性能。反之，可以根據(jù)系統(tǒng)所要求的性能來確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，進(jìn)而確定K的值（對(duì)應(yīng)于極點(diǎn)配置的內(nèi)容）。14最新版整理ppt4.極點(diǎn)配置假設(shè)系統(tǒng)要求超調(diào)量不超過10%，調(diào)整時(shí)間為2s，根據(jù)公式

經(jīng)計(jì)算取，可得系統(tǒng)特征方程為主導(dǎo)極點(diǎn)為15最新版整理ppt對(duì)于倒立擺系統(tǒng)，選取其余n-2=2個(gè)期望的閉環(huán)極點(diǎn)（選取的閉環(huán)極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)）。則取為因此得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：

16最新版整理ppt對(duì)于原被控系統(tǒng)，引入反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為

比較可求得17最新版整理ppt解得則反饋增益陣為狀態(tài)反饋通過調(diào)整K能任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，有效地改善系統(tǒng)的性能。同時(shí)，系統(tǒng)解耦、鎮(zhèn)定、漸近跟蹤以及最優(yōu)控制等都離不開狀態(tài)反饋。但狀態(tài)反饋的前提條件是必須得到系統(tǒng)內(nèi)部的各個(gè)狀態(tài)變量，而系統(tǒng)的狀態(tài)變量往往比較難獲取，甚至是無法測(cè)量，因此需要設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)。18最新版整理ppt4.狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器的定義：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)x不能直接檢測(cè)，構(gòu)造一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，以的輸入u和輸出y為輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量漸進(jìn)與x，使則稱為的狀態(tài)觀測(cè)器。19最新版整理ppt狀態(tài)觀測(cè)器的方程為：虛線框?yàn)闋顟B(tài)觀測(cè)器，狀態(tài)逼近的速度取決于G的選擇和A-GC的配置。20最新版整理ppt倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)：根據(jù)觀測(cè)器綜合原則，可取期望的觀測(cè)器特征值為-20，-20，，采用極點(diǎn)配置算法可計(jì)算得觀測(cè)器增益矩陣G為計(jì)算21最新版整理ppt帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)為22最新版整理ppt5.仿真分析基于全維狀態(tài)觀測(cè)器下的倒立擺控制系統(tǒng)仿真：23最新版整理ppt仿真結(jié)果24最新版整理ppt狀態(tài)估計(jì)值與系統(tǒng)狀態(tài)比較從仿真結(jié)果看，控制性能滿足系統(tǒng)要求的性能指標(biāo)。25最新版整理ppt全維觀測(cè)器狀態(tài)跟蹤誤差仿真結(jié)果：26最新版整理ppt降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)在實(shí)際工程實(shí)踐中，系統(tǒng)的輸出是能夠測(cè)量的，因此可以考慮用輸出量直接產(chǎn)生響應(yīng)的部分狀態(tài)變量，其余狀態(tài)變量則通過構(gòu)造觀測(cè)器來實(shí)現(xiàn)，所構(gòu)造的觀測(cè)器為降維觀測(cè)器。本實(shí)驗(yàn)的倒立擺系統(tǒng)采用P變換方法設(shè)計(jì)降維觀測(cè)器。27最新版整理ppt（1）由rank(C)=2,對(duì)于C取如下非奇異陣P

則

（2）取期望的特征值為，則特征多項(xiàng)式為，解方程得28最新版整理ppt進(jìn)一步計(jì)算

綜合得到降維狀態(tài)觀測(cè)器為29最新版整理ppt基于降維觀測(cè)器的倒立擺控制系統(tǒng)仿真：30最新版整理ppt基于降維狀態(tài)觀測(cè)器的倒立擺控制系統(tǒng)仿真從仿真結(jié)果看，控制性能也滿足系統(tǒng)要求。31最新版整理ppt降維觀測(cè)器狀態(tài)跟蹤誤差仿真結(jié)果：32最新版整理ppt

不管是系統(tǒng)的極點(diǎn)配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無靜差跟蹤還是線性二次型的最優(yōu)控制,都可以用狀態(tài)反饋去加以實(shí)現(xiàn)。但是狀態(tài)不易直接量測(cè),或者是由于量測(cè)的設(shè)備在經(jīng)濟(jì)上和使用上的限制,使得不可能來實(shí)際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量,從而使?fàn)顟B(tài)反饋的物理實(shí)現(xiàn)成為不可能。狀態(tài)反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實(shí)現(xiàn)性形成了一個(gè)尖銳的矛盾。解決這個(gè)矛盾的途徑之一,就是通過重構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài),并用這個(gè)重構(gòu)的狀態(tài)來代替系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài),以實(shí)現(xiàn)所要求的狀態(tài)反饋。狀態(tài)觀測(cè)器正是在這樣的背景下提出的一個(gè)同時(shí)具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值的研究課題。33最新版整理ppt對(duì)線性系統(tǒng)而言,著名的Kalman濾波器和Luenberger觀測(cè)器為該領(lǐng)域的觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題提供了較為完美的答案（對(duì)非線性系統(tǒng)而言,觀測(cè)器問題沒有系統(tǒng)的方法可采用,非線性系統(tǒng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)問題要比線性