廣東省揭陽市揭西縣2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測高一級數(shù)學(xué)科試題一、選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全集求出的補(bǔ)集即可.【詳解】，，.故選：A.2.克糖水中含克糖，若再加入克糖，則糖水變甜了．請根據(jù)此事實(shí)提煉一個不等式（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出加糖前后糖水中糖的濃度的表達(dá)式，結(jié)合題意可得出不等關(guān)系，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】克糖水中含克糖，糖水中糖的濃度為，再加入克糖后，糖水中糖的濃度為，加糖后，糖水變甜了，說明糖水中糖的濃度變大了，則有.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查不等關(guān)系的求解，屬于基礎(chǔ)題.3.某天0時，小鵬同學(xué)生病了，體溫上升，吃過藥后感覺好多了，中午時他的體溫基本正常（正常體溫為37℃），但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙了.下面能大致反映出小鵬這一天（0時至24時）體溫變化情況的圖像是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)體溫變化過程結(jié)合圖像可得答案.【詳解】選項A反映，體溫逐漸降低，不符合題意；選項B不能反映下午體溫又開始上升的過程；選項D不能反映下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺身上不那么發(fā)燙這一過程.故選：C4.設(shè)f（x）＝(2a－1)x＋b在R上是減函數(shù)，則有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)減的條件是一次項系數(shù)小于零，得到結(jié)果.【詳解】∵f（x）在R上是減函數(shù)，2a－1<0，即，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)遞減的條件，屬于基礎(chǔ)題目.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，得，則，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A.6.中國數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，就是黃金分割比的近似值，古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將原式都轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再利用二倍角公式化簡求值.【詳解】.故選：D7.若，則下列不等式一定成立的是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法和函數(shù)的單調(diào)性即可得到.【詳解】令，則為上增函數(shù)，又則，則故選：B8.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，，，，，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得有5個根，作出的圖像，利用正弦型函數(shù)圖像的對稱性，找出間的關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】由函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，知有5個根，由五點(diǎn)法作圖，02πx0100如圖，可知過點(diǎn)，，，又則，，，故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解二、多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.）9.已知函數(shù)，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】分與兩種情況，解方程，求出答案.詳解】當(dāng)時，，解得，滿足要求，當(dāng)時，，解得，滿足要求故選：BC10.若，且，則下列不等式中，恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式分析判斷AD；舉例說明判斷BC.【詳解】對于A，，不等式成立，A正確；對于B，由于，且，當(dāng)時，，而，不等式不成立，B錯誤；對于C，由于，且，當(dāng)時，，而，不等式不成立，C錯誤；對于D，由，且，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，如果函數(shù)滿足對任意，都存在，使得，稱實(shí)數(shù)為函數(shù)的包容數(shù)，下列數(shù)中可以為函數(shù)的包容數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】將選項中的取值代入解析式，利用二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)值域的求法可分別求得和的值域，根據(jù)包含關(guān)系可確定結(jié)果.【詳解】記的值域為，的值域為，由題意可知：；對于A，當(dāng)時，；；則，，滿足，A正確；對于B，當(dāng)時，，；則，，滿足，B正確；對于C，當(dāng)時，，；則，，滿足，C正確；對于D，當(dāng)時，；；則，，不滿足，D錯誤.故選：ABC.12.關(guān)于函數(shù)有以下四個選項，正確的是（）A.對任意的都不是偶函數(shù)B.存在使是奇函數(shù)C.存在使D.若的圖像關(guān)于對稱，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】因為，其中，，對于A，要使為偶函數(shù)，則，且，則無解，即對任意的a，都不是偶函數(shù)，故正確；對于B，要使為奇函數(shù)，則，且，又，所以不存在a，使是奇函數(shù)，故錯誤；對于C，因為，故錯誤；對于D，若的圖像關(guān)于對稱，則，，解得，且，所以，即，故正確.故選：AD三、填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分.）13.寫出一個在上單調(diào)遞增的奇函數(shù)____________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的函數(shù)解析式即可.【詳解】解：令，則，故為奇函數(shù)，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故答案為：（答案不唯一）14.若函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式可求得結(jié)果.【詳解】，，所以.故答案為：.15.已知函數(shù)，既有最小值也有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】或【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式可知,令,結(jié)合函數(shù)圖像,討論最大值為和1兩種情況,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】解:令.則由可得則.要使其既有最小值又有最大值若最大值為則,解得若最大值,則,解得.綜上所述:或.故答案為:或.【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式,考查了三角函數(shù)最值問題.本題的易錯點(diǎn)是漏解,只考慮了最大值為1的情況.本題的難點(diǎn)是分界點(diǎn)能否取得的判斷.16.已知，，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】將已知條件變形為，再利用“”的妙用將待求式子變形為并利用對勾函數(shù)完成取值范圍的求解.【詳解】因為，所以，所以，因為，令，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用對勾函數(shù)求代數(shù)式取值范圍，對學(xué)生的轉(zhuǎn)化與計算能力要求較高，難度較難.注意對勾函數(shù)的單調(diào)性：在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.四、解答題（共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.化簡下列式子并求值:（1）;（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)將式子用對數(shù)運(yùn)算公式等展開合并化簡即可求值;(2)將式子用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算公式等,進(jìn)行化簡求值即可.【小問1詳解】解:原式為;【小問2詳解】原式為.18.如圖，已知單位圓與軸正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在單位圓上，其中點(diǎn)在第一象限，且，記．（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義結(jié)合條件即得；（2）由題可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后結(jié)合條件及三角函數(shù)的定義即得.【小問1詳解】因為，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為,因為，所以，所以點(diǎn)坐標(biāo)為；所以兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為；【小問2詳解】由點(diǎn)在單位圓上，得，又點(diǎn)位于第一象限，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即．所以，所以．19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若對一切實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，列不等式，解不等式即可；（2）利用判別式即可解決.【小問1詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，且的對稱軸為，所以，解得.【小問2詳解】若對一切實(shí)數(shù)都成立，則，解得.20.設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求不等式的解集.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)正切型三角函數(shù)最小正周期的求法求得正確答案.（2）根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求得不等式.【小問1詳解】的最小正周期.【小問2詳解】不等式，即，所以，求得，故不等式的解集為，.21.用水清洗一堆蔬菜上殘留的農(nóng)藥，已知用1個單位量的水清洗一次可洗掉蔬菜上殘留農(nóng)藥量的，用水越多洗掉的農(nóng)藥量也越多，但總還有農(nóng)藥殘留在蔬菜上，設(shè)用x個單位量的水清洗一次以后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥量與本次清洗前殘留的農(nóng)藥量之比為．（1）試確定的值，并解釋其實(shí)際意義；（2）設(shè)．方案1：用3個單位量的水，清洗一次；方案2：每次用1.5個單位量的水，清洗兩次；方案3：每次用1個單位量的水，清洗三次．試問用哪個方案清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量最少，說明理由．【答案】（1）答案見解析；（2）方案2，理由見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接可得，表示未沖洗時殘留的農(nóng)藥量保持不變；（2）分別計算出每種方案清洗后的殘留量，比較出大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意可得，實(shí)際意義：表示未用清水沖洗蔬菜時蔬菜上殘留的農(nóng)藥量保持原樣；【小問2詳解】設(shè)清洗前殘留的農(nóng)藥量為，用第套方案清洗后殘留的農(nóng)藥量為，則；；，易知，所以，即用方案2清洗后蔬菜上殘留的農(nóng)藥量最少；22.已知定義在上的奇函數(shù)，且對定義域內(nèi)的任意x都有，當(dāng)時，．（1）用單調(diào)性的定義證明在上單調(diào)遞減；（2）若，對任意的，存在，使得成立，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）或【解析】【分析】（1）直接利用函數(shù)單調(diào)性定義按照步驟證明即可；（2）根據(jù)為奇函數(shù)可得周期為，利用換元法令可得，對參數(shù)進(jìn)行分類討論解不等式即可求得a的取值范圍.【小問1詳解】取，且，由；因為，所以，即，可得；所以在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由奇函