衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文C題

1、衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控摘要 對于問題一：我們根據(jù)已知問題一條件的假設(shè)和測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，可以畫出衛(wèi)星的軌道圖以及測控站的測控范圍，同時測控站的測控范圍可由其圓心角來表示，則測控站的數(shù)量可由與其圓心角的商得到。根據(jù)正弦定理，可得到軌道半徑與測控范圍的關(guān)系，繼而得到測控站的數(shù)量個數(shù)，其個數(shù)至少為3個。對于問題二：由問題二的假設(shè)，而且假設(shè)每個測控站的測控范圍都相同的條件下，我們想到把對衛(wèi)星或飛船進(jìn)行測控的測控站的個數(shù)問題看成在一個大的球殼（或部分球殼）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。我們把球殼沿著一個平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來

2、的順序鋪在一個平面上，中點在y軸上，即成一個橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋。又因為在周長相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個平面時，將會存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓即可得出所需的測控站最少個數(shù)，其最少個數(shù)應(yīng)為個。對于問題三：由于問題三是求實際測控站的測控范圍，由于各測控站的位置都不是很均勻，因而難以直接計算出來，于是我們把飛船的球帶軌道近似成一個矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域為。再根據(jù)經(jīng)

3、緯度將各個站添加上去，求出每個站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。關(guān)鍵詞： 測控站 跟蹤測控 測控率一、問題的提出1.1背景 隨著科學(xué)技術(shù)的提高，衛(wèi)星和飛船的應(yīng)用越來越廣泛，同時衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟和國防建設(shè)中有著重要的作用。對它們的發(fā)射和運行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進(jìn)行全程跟蹤測控，然而在現(xiàn)實生活中，我們以現(xiàn)在的技術(shù)還不能達(dá)到，所以在衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運行過程中，往往采取以多個測控站聯(lián)合來完成測控任務(wù)，因此，測控站的選取也決定了能否對衛(wèi)星和飛船進(jìn)行全程跟蹤測控。1.2問題重述 衛(wèi)

4、星和飛船在國民經(jīng)濟和國防建設(shè)中有著重要的作用，對它們的發(fā)射和運行過程進(jìn)行測控是航天系統(tǒng)的一個重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進(jìn)行全程跟蹤測控。測控設(shè)備只能觀測到所在點切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內(nèi)測控效果不好，實際上每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運行過程中，往往有多個測控站聯(lián)合完成測控任務(wù)，如神州七號飛船發(fā)射和運行過程中測控站的分布如下圖所示：因此我們需要建立模型去分析衛(wèi)星或飛船的測控情況，需要解決的問題是：問題一：在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面的情況下至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對其進(jìn)行全程跟蹤

5、測控？問題二：如果一個衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為h的球面s上運行?？紤]到地球自轉(zhuǎn)時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應(yīng)該建立多少個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達(dá)到全程跟蹤測控的目的？問題三：收集我國一個衛(wèi)星或飛船的運行資料和發(fā)射時測控站點的分布信息，分析這些測控站點對該衛(wèi)星所能測控的范圍。1.3問題分析對于問題一：我們根據(jù)已知條件的假設(shè)，和測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，可以畫出衛(wèi)星的軌道圖以及測控站的測控范圍，同時測控站的測控范圍可由其圓心角來表示，則測控站的數(shù)量可由與其圓心角的商得到。根

6、據(jù)正弦定理，可得到軌道半徑與測控范圍的關(guān)系，繼而得到測控站的數(shù)量個數(shù)。對于問題二：由問題二的假設(shè)，而且假設(shè)每個測控站的測控范圍都相同的條件下，我們想到把對衛(wèi)星或飛船進(jìn)行測控的測控站的個數(shù)問題看成在一個大的球殼（或部分球殼）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。我們把球殼沿著一個平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來的順序鋪在一個平面上，中點在y軸上，即成一個橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋。又因為在周長相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個平面時，將會存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可

7、能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓即可得出所需的測控站最少個數(shù)。對于問題三：由于問題三是求實際測控站的測控范圍，由于各測控站的位置都不是很均勻，因而難以直接計算出來，于是我們把飛船的球帶軌道近似成一個矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域為。再根據(jù)經(jīng)緯度將各個站添加上去，求出每個站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。二、模型假設(shè)（1）假設(shè)地球是一個理想的球形，不考慮其他影響建站的因素。（2）假設(shè)每個測控站的測控范圍都相同。 三、符號說明符號說明：h為衛(wèi)星到地球的表面高度。為測

8、控站到地點的圓心角的一半。為測量圓心角。n為測控站的數(shù)量。r為地球的半徑（且取平均半徑6371km）。h為衛(wèi)星的軌道半徑。為正六邊形的邊長為測控站能測到s球面的圓弦長為第個緯度所在平面分s球面所截平面的圓周長為第個緯度上的測控站的站點數(shù)t為測控站的總數(shù)為衛(wèi)星或飛船與赤道平面的夾角n相差多少個緯度四、問題分析五、模型的建立模型一：根據(jù)題意可知，衛(wèi)星的軌道如圖所示：所以我們根據(jù)正弦定理可得： 模型二：此問題就相當(dāng)于，在一個大的球殼（或球帶）上割去等大小的球蓋問題，求的是割的最少次數(shù)。于是我們把球殼沿著一個平面方形切割成無數(shù)的圓環(huán)，再將圓環(huán)剪斷成帶狀，按原來的順序鋪在一個平面上，中點在y軸上，即成一

9、個橢圓形。再用問題一得出的弧長為半徑的圓去覆蓋又因為在周長相同的幾何圖形中，圓的面積最大。然而如果我們用不相重疊的圓形來覆蓋整個平面時，將會存在一些縫隙沒被蓋住。另一方面，在一個固定的圓面積中，使用規(guī)則六邊形可以覆蓋盡可能大的面積而不留縫隙。所以我們用等邊六邊形的網(wǎng)去覆蓋橢圓，其圖如下：橢圓方程為由問題一可知: 我們由此可得出，在赤道上的測控站的站點數(shù)： 于是，我們可得：相差角度即在緯度上時建立測控站則 以此類推可得 所以即在緯度上建立測控站的站點數(shù)： 那么在緯度上建立的測控站的站數(shù)為： 離赤道最遠(yuǎn)的緯度應(yīng)為衛(wèi)星或飛船的軌道與赤道平面的夾角，于是可得 ： 即為分布測控站緯度的條數(shù)則總的測控站最

10、少個數(shù)為 模型三： 把飛船的球帶軌道近似成一個矩形，用經(jīng)度和緯度建立坐標(biāo)。把經(jīng)度與緯度的乘積看做面積。那么在其上的測控站的測控區(qū)域為。再根據(jù)經(jīng)緯度將各個站添加上去，求出每個站與其他站的重合測控區(qū)域。用總數(shù)乘以再減去重合區(qū)域即等到有效區(qū)域，再除以總面積可得測控率。五、求解模型模型一： 即=且 且 我們就方程進(jìn)行討論：當(dāng)時，則取最大值為，所以我們由公式，可得，又，所以可得測控站的數(shù)量至少為3個。而且當(dāng)測控站的數(shù)量為3個時，則為，所以由方程可得，h=2.2r , h=1.2r ，所以當(dāng)時，則測控站的數(shù)量隨h的增大，而增加 。代入神七的數(shù)據(jù)，飛行高度為343km，可計算得 所以 即應(yīng)該設(shè)立12個測控站

11、。 模型二：根據(jù)上述模型，我們帶入神七的參數(shù)可得。 模型三： 我們通過網(wǎng)上收集了有關(guān)“神舟七號”載人飛船的運行資料和發(fā)射時測控站點的分布信息如下：“神舟七號”載人飛船的測控站，除了五艘遠(yuǎn)望號測量船外，在國內(nèi)，還有主場站、喀什站、和田站、東風(fēng)站、青島站、渭南站、廈門站等7個地面測控站；在國外，也有卡拉奇站（巴基斯坦）、馬林迪站、圣地亞哥站（智利）、納米比亞站等4個地面測控站（其分布圖如下），這16個測控站組成了一個監(jiān)控天網(wǎng)，即刻掌握著神舟七號的相關(guān)信息，并給神舟七號發(fā)送指令，全程保護(hù)神舟七號的安全。下表數(shù)據(jù)為神舟七號飛船10個觀測站所在經(jīng)緯度:站名緯度經(jīng)度東風(fēng)站北緯3941東經(jīng)9830喀什站北緯3924東經(jīng)7606和田站北緯3706東經(jīng)7955青島站北緯3611東經(jīng)12018渭南站北緯3429東經(jīng)10930廈門站北緯2435東經(jīng)11758納米比亞站北緯2240東經(jīng)1431卡拉奇站北緯2451東經(jīng)6700馬林迪站南緯313東經(jīng)4006圣