理論力學課件：靜力學公理與物體的受力分析

靜力學公理與物體的受力分析1.1

靜力學公理1.2約束和約束反力1.3物體的受力分析及受力圖思考題

1.1

靜力學公理

公理是人類經(jīng)過長期生產(chǎn)實踐積累的經(jīng)驗總結(jié),又反復經(jīng)過實踐檢驗,被確認是符合客觀實際的最普遍、最一般的規(guī)律。靜力學公理闡述了力的一些基本性質(zhì),是研究力系簡化和平衡條件的理論基礎和基本依據(jù)。

公理1-力的平行四邊形法則

作用在物體上同一點的兩個力,可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點,合力的大小和方向由這兩個力為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線確定,如圖1-1(a)所示。這種合

成方法稱為力的平行四邊形法則。合力矢等于這兩個力矢的幾何和,即

合力FR與二力F1、F2的共同作用等效。有時,為了方便,可以不必作出整個平行四邊形,而是由點O作矢量F1,再由F1的末端作矢量F2(見圖1-1(b)),或者由點O作矢量F2,再由F2的末端作矢量F1(見圖1-1(c)),則力三角形的封閉邊即為合力矢FR。這種求合力的方法稱為力的三角形法則。

力的平行四邊形公理表明了最簡單力系的簡化規(guī)律,它是復雜力系簡化的基礎。圖1-1

公理2二力平衡公理

作用于剛體上的兩個力,使剛體平衡的必要和充分條件是:這兩個力的大小相等、方向相反,且在同一條直線上,如圖1-2所示。即

需要指出的是,該公理僅適用于剛體,對于非剛體該平衡條件是不充分的。圖1-2

對于只受兩個力作用而處于平衡的物體,稱為二力體或二力構(gòu)件,圖1-3所示物體為一二力構(gòu)件。由二力平衡條件可知,二力構(gòu)件不論其形狀如何,所受兩個力的作用線必為沿二

力作用點的連線。圖1-4所示桿件僅受兩力作用且處于平衡狀態(tài),該桿件亦稱為二力桿。顯然,二力的作用線與該桿件的軸線重合。圖1-3圖1-4

公理3加減平衡力系公理

在作用于剛體的任意力系上,加上或減去任一平衡力系,不改變原力系對剛體的作用。也就是說,如果兩個力系相差一個或幾個平衡力系,那么它們對剛體的作用效果是完全相同的。該公理是研究力系等效替換的重要依據(jù)。

推論1-力的可傳性

作用于剛體上某點的力,可沿其作用線移至剛體內(nèi)任意一點,而不改變該力對剛體的作用效應。

證明:假設力F作用于剛體上的A點,B是力的作用線上的任一點,如圖1-5(a)所示?？稍贐點處加上一對平衡力F'、F″,且F'=F,F″=-F,如圖1-5(b)所示。由加減平衡力系公理可知,F、F'、F″三力所構(gòu)成的力系與力F等效。將F、F″構(gòu)成的平衡力系減去之后得到作用于B點的力F',如圖1-5(c)所示,F'與三力所構(gòu)成的力系等效。根據(jù)等效的遞推性質(zhì),力F'與力F等效。于是力F沿作用線由A點移到了B點。圖1-5

由此可見,對于剛體來說,力的作用點不是決定力的作用效應的主要因素,它已被力的作用線所取代。因此,作用在剛體上的力的三要素為:力的大小、方向和作用線。力矢量可以從它的作用線上的任一點畫出,具有這種性質(zhì)的矢量稱為滑動矢量。

必須注意的是,力的可傳性只能在剛體內(nèi)部應用,不能沿作用線滑移到其他剛體上去。例如,圖1-6(a)所示作用于A物體上的力F不能沿作用線滑移到B物體上去,圖1-6(a)與圖1-6(b)所示兩種情形顯然并不等效。再如,圖1-6(c)所示作用于三鉸拱的左半拱上的力同樣不能滑移到右半拱上,圖1-6(c)與圖1-6(d)所示兩種情形下F所引起的拱腳支座處的反力完全不同。圖1-6

推論2三力平衡匯交定理

作用于剛體上的三個相互平衡的力,若其中兩個力的作用線匯交于一點,則此三力必在同一平面內(nèi),且第三個力的作用線通過匯交點。

證明:在圖1-7(a)所示剛體的A、B、C三點處,分別作用了三個相互平衡的力F1、F2、F3。依據(jù)力的可傳性,將力F1和F2沿其作用線移至匯交點O,由力的平行四邊形法則,得到力F1和F2的合力FF12。于是,三力的平衡簡化為F12與F3的二力平衡。由二力平衡公理可知,力F3的作用線與F12重合而必過點O,且三力作用線共面,如圖1-7(b)所示。圖1-7

公理4作用力與反作用力定律

當A物體對B物體施加作用力F時,B物體必然同時對A物體施加反作用力F'。F和F'大小相等、方向相反且作用線重合。它們互為作用力與反作用力。

例如,置于臺面上的物體A向臺面施加一個向下的作用力FN,臺面同時也對物體施加一個向上的反作用力F'N。FN與F'N是一對作用力與反作用力,如圖1-8(a)所示。應該注意

的是,作用力與反作用力分別作用在兩個物體上,它們不構(gòu)成平衡力系。本例中,在分析A物體受力時,桌面對它的作用力F'N與重力G構(gòu)成平衡力系,A物體的質(zhì)心為點C,如圖1-8(b)所示。圖1-8

公理5剛化原理

剛化原理提供了把變形體抽象為剛體模型的條件,使得剛體靜力學的理論可應用于變形體。但是,此時需要考慮變形體的物理條件。繩索在等值、反向、共線的兩個拉力F1和F2的作用下處于平衡,若將繩索剛化為剛體,則其平衡狀態(tài)保持不變,如圖1-9(a)所示。反之,若在剛體兩端施加兩個等值、反向、共線的壓力F1和F2,則剛體能保持平衡。若將剛體換成繩索,則不能保持平衡,因為此時繩索不能剛化為剛體,如圖1-9(b)所示。圖1-9

1.2約束和約束反力

當物體與其他物體相互接觸或聯(lián)系時,物體的運動會受到限制,它在空間某一方向的運動將成為不可能,這樣的物體稱為非自由體。能自由地在空間運動的物體稱為自由體。

力學中在研究非自由體的運動和受力時,把限制非自由體運動的其他物體稱為約束。從力學角度來分析,約束對物體的作用,實際上就是力,這種力稱為約束反力,簡稱約束力。約束反力由約束自身的特點決定,其方向與被限制物體的運動方向相反。約束反力的作用點在約束和被約束物體的接觸位置處。而約束反力的大小由施加于物體上的其他已知力(主動力)大小以及物體的運動狀態(tài)決定。

1.光滑接觸面約束

如圖1-10(a)和(b)所示的支承物體的固定面,不計摩擦時,屬于光滑接觸面約束。圖1-10

對于光滑接觸面來說,不論接觸面的形狀如何,只能限制物體沿著接觸點的公法線方向趨向于接觸面運動。因此,光滑接觸面對物體的約束反力作用在接觸點處,方向沿接觸面的公法線并指向被約束的物體。這種約束反力,稱為法向約束反力,一般用FN表示。如圖1-10(a)和(b)所示的力FN、FNA和FNB。

光滑接觸面約束是一種典型的約束,在工程中經(jīng)常遇到。例如,圖1-11(a)所示的嚙合齒輪的齒面約束和圖1-11(b)所示的凸輪曲面對頂桿的約束。圖1-11

2.由柔軟的繩索、鏈條或皮帶等構(gòu)成的柔索約束

由柔軟的繩索、鏈條等物體構(gòu)成的約束稱為柔索約束。柔索約束只限定物體沿柔索中心線離開柔索方向的運動,其約束反力沿柔索且背離被約束的物體,即使被約束的物體受拉力。圖1-12所示的吊住重物的繩索、圖1-13所示的傳動機構(gòu)的皮帶或鏈條都構(gòu)成柔索約束。圖1-12圖1-13

3.光滑鉸鏈約束

光滑鉸鏈約束包括圓柱形鉸鏈、向心軸承和固定鉸鏈支座等。

1)圓柱形鉸鏈

在兩個物體的連接處各鉆一個直徑相同的光滑圓孔,中間插入一個圓柱形銷釘彼此相連,銷釘阻止了構(gòu)件彼此之間沿孔徑方向的相對移動,但是構(gòu)件卻可以繞銷釘作相對轉(zhuǎn)動。

這種約束稱為圓柱形鉸鏈約束,簡稱鉸鏈約束(當鉸鏈連接多個構(gòu)件時稱為復鉸)。

鉸鏈約束的約束反力通過鉸鏈中心,沿孔徑方向,可以看成是構(gòu)件彼此之間的一對相互作用力。反力的具體方向由主動力或構(gòu)件之間的相對運動趨勢確定。在受力分析時通常把這種方向、大小都是未知的力用兩個互相垂直的分力FAx、FAy表示,如圖1-14所示。圖1-14

2)固定鉸鏈支座

鉸鏈連接中如果有一個物體固定在地面或機架上,則它就構(gòu)成了固定鉸鏈支座,如圖1-15(a)所示。固定鉸鏈支座的力學簡圖有多種表達形式,如圖1-15(b)所示。盡管固定鉸鏈支座的畫法各異,但是物體所受的約束反力和鉸鏈約束反力是相同的,通常用兩個正交分力FAx和FAy來表示,如圖1-15(c)所示。圖1-15

3)向心軸承(徑向軸承)

向心軸承也稱徑向軸承,是工程中常見的約束形式。若不計摩擦,則軸與軸承的接觸面是兩個光滑圓柱面的接觸面,軸可在孔內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,也可以沿著孔的中心線移動,但是沿徑

向向外移動會受到軸承的阻礙。因此,當軸和軸承在某點A光滑接觸時,軸承對軸的約束反力FA作用在接觸點A,且沿公法線指向軸心,如圖1-16(a)所示。

因為軸和軸承接觸點的位置隨軸所承受的主動力的變化而變化,所以當主動力未確定時,約束反力的方向不能預先確定。但是,無論約束反力方向如何,其作用線必垂直于軸線

且通過軸心。因此,軸承對軸的約束反力可用通過軸心的兩個大小未知的正交分力FAx和FAy來表示,如圖1-16(b)和(c)所示,FAx和FAy的方向可以任意假設。圖1-16

4.其他約束

1)滾動支座(輥軸支座)

在光滑平面上用幾個圓柱形滾子支承固定鉸支座下部,便形成滑動鉸支座(又稱輥軸支座或滾動鉸支座),如圖1-17所示。圖1-17

2)鏈桿約束

兩端用鉸鏈與其他物體相連的剛桿構(gòu)成鏈桿約束,如圖1-18所示。圖1-18

在靜力學問題中,一端同支承面鉸接并與支承面垂直的短鏈桿(或稱支桿)和滑動鉸支座有相同的約束作用。兩根匯交的短鏈桿與固定鉸支座有相同的約束作用。所以,在計算簡圖中經(jīng)常用鏈桿表示固定鉸支座和滑動鉸支座,如圖1-19所示。圖1-1

1.3物體的受力分析及受力圖無論是研究物體平衡時力的關系,還是研究物體運動中作用力與運動的關系,都需要首先對物體進行受力分析,根據(jù)問題的性質(zhì)和特點有選擇性地分析其中某個物體或某幾個物體的運動(包括平衡)和受力狀態(tài)。這些被選擇的物體稱之為研究對象。在分析之前,首先將研究對象所受的約束解除,并從其周圍物體中分離出來。分離出的研究對象稱為分離體。將作用于分離體上的所有力(主動力、約束反力)以矢量形式表示在分離體圖上所得的簡圖稱為受力圖。把分析研究對象受力情況的過程稱為受力分析。

【例1-1】圖1-20所示為用懸索固定于梁上的A、B兩球,在重力作用下處于平衡狀態(tài)。試分別對A、B球以及A、B兩球作為一個整體進行受力分析,繪出其受力圖。圖1-20

解:首先取A球作為研究對象,將A球解除約束并從周圍物體中分離出來。然后將它所受的主動力即重力G1,按其大小、方向用力矢量G1在作用點A處繪出。在D點A球受到繩

索DO的約束作用,其約束反力沿繩索方向向外,用力矢量FT1表示,力矢量的始端點畫于力的作用點D處。在A、B球的接觸點C處,A球受到B球?qū)λ┘拥墓饣佑|面約束,其約束反力與接觸面的公法線方向一致,即沿兩球的球心連線方向,用力矢量FNC在C點處繪出。A球的受力圖如圖1-20(b)所示。同理,可對B球進行受力分析并繪出其受力圖,如圖1-20(c)所示。必須注意的是,B球在C點受到A球的作用力F'NC;F'NC與FNC是一對作用力和反作用力,其大小相等、方向相反。在對A、B整體進行受力分析時,A、B之間的相互作用則屬于內(nèi)力,不必畫出,其受力圖如圖1-20(d)所示。

【例1-2】機構(gòu)如圖1-21(a)所示,桿AB的A端用鉸鏈與墻體相連,B端用繩索固定在墻面C點處,桿AB的自重為P。試畫出桿AB的受力圖。圖1-21

解:先取桿AB為研究對象,解除約束畫出桿AB的簡圖。然后在桿AB上先畫出主動力P,根據(jù)約束的性質(zhì)再畫出約束反力。A點處為固定鉸鏈支座,鉸鏈對桿A端的約束反力必過鉸鏈中心,但其方向不能確定,可用兩正交分力FAx

和FAy

表示。桿上B點處有繩索約束,其對桿AB的約束反力為FT,桿AB的受力如圖1-21(b)所示。

因為桿AB系受三力作用而平衡,亦可由三力平衡匯交定理畫成如圖1-21(c)所示的受力圖。

【例1-3】在圖1-22(a)所示機構(gòu)中,水平梁AB用斜桿CD支撐,A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接。均質(zhì)梁自重為P1,在梁的末端放置一臺重為P2的電動機。若不計桿CD的自重,試分別畫出桿CD和梁AB(包括電動機)的受力圖。圖1-22

【例1-4】如圖1-23(a)所示三鉸拱,由構(gòu)件AC、BC鉸接而成,在構(gòu)件AC的點D處作用有載荷F。若不計拱的自重,試分別畫出構(gòu)件AC、BC以及整體ABC的受力圖。

解:(1)取拱BC為研究對象。拱BC僅在點B和點C處受到鉸鏈的約束,并處于平衡狀態(tài)。因此,拱BC為二力構(gòu)件。在鉸鏈中心B和C處的約束反力FB和FC的作用線必沿BC

連線方向,且FB=-FC,如圖1-23(b)所示。圖1-23

(2)取拱AC為研究對象。由于不計自重,因此作用在其上的主動力僅有載荷F。在鉸鏈C處拱AC受到拱BC的約束反力F'C作用,根據(jù)作用與反作用定律,F'C=-FC。A點處的

約束反力可用兩個大小未知的正交分力FAx

和FAy表示,如圖1-23(c)所示。因為AC構(gòu)件系受三力作用而平衡,亦可根據(jù)三力平衡匯交定理畫成如圖1-23(d)所示的受力圖。

圖1-23

(3)取整體ABC的分離體圖,在其上分別畫出主動力F及A、B點的約束反力