機械控制工程基礎(chǔ)第五章

第五章系統(tǒng)的穩(wěn)定性——系統(tǒng)能正常工作的首要條件系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Bode穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性制作：華中科技大學系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象例：液壓位置隨動系統(tǒng)原理：外力→閥芯初始位移Xi(0)→閥口2、4打開→活塞右移→閥口關(guān)閉（回復平衡位置）→（慣性）活塞繼續(xù)右移→閥口1、3開啟→活塞左移→平衡位置→（慣性）活塞繼續(xù)左移→閥口2、4開啟……①隨動：活塞跟隨閥芯運動②慣性：引起振蕩③振蕩結(jié)果：①減幅振蕩（收斂，穩(wěn)定）②等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）③增幅振蕩（發(fā)散，不穩(wěn)定）一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件制作：華中科技大學一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)定條件結(jié)論：系統(tǒng)是否穩(wěn)定，取決于系統(tǒng)本身（結(jié)構(gòu)，參數(shù)），與輸入無關(guān)不穩(wěn)定現(xiàn)象的存在是由于反饋作用穩(wěn)定性是指自由響應(yīng)的收斂性定義：系統(tǒng)在初始狀態(tài)作用下無輸入時的初態(tài)輸入引起的初態(tài)輸出（響應(yīng)）收斂（回復平衡位置）系統(tǒng)穩(wěn)定發(fā)散（偏離越來越大）系統(tǒng)不穩(wěn)定制作：華中科技大學系統(tǒng)穩(wěn)定條件線性定常系統(tǒng)：強迫響應(yīng)輸入引起的自由響應(yīng)系統(tǒng)的初態(tài)引起的自由響應(yīng)自由響應(yīng)si:系統(tǒng)的特征根制作：華中科技大學系統(tǒng)穩(wěn)定條件當系統(tǒng)所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有負實部（位于[s]平面的左半平面）自由響應(yīng)收斂，系統(tǒng)穩(wěn)定若有任一sk具有正實部（位于[s]平面的右半平面）自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定制作：華中科技大學系統(tǒng)穩(wěn)定條件若有特征根sk

=±jω（位于[s]平面的虛軸上），其余極點位于[s]平面的坐半平面自由響應(yīng)等幅振動，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定若有特征根sk

=0（位于[s]平面的原點），其余極點位于[s]平面的坐半平面自由響應(yīng)收斂于常值，系統(tǒng)穩(wěn)定簡諧運動制作：華中科技大學系統(tǒng)穩(wěn)定條件結(jié)論：線性定常系統(tǒng)是否穩(wěn)定，完全取決于系統(tǒng)的特征根。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：若系統(tǒng)的全部特征根（傳遞函數(shù)的全部極點）均具有負實部（位于[s]平面的左半平面），則系統(tǒng)穩(wěn)定。制作：華中科技大學如何判別？求出閉環(huán)極點？實驗？①高階難求②不必要如果不穩(wěn)定，可能導致嚴重后果思路：①特征方程→根的分布（避免求解）②開環(huán)傳遞函數(shù)→閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（開環(huán)極點易知，閉環(huán)極點難求）穩(wěn)定判據(jù)制作：華中科技大學二、Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)——代數(shù)判據(jù)（依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系判斷根的分布）系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程為：s1,s2,…,sn：特征根

因為比較系數(shù)：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：各系數(shù)同號且不為零或：an>0,

an-1>0,…,a1>0,

a0>0制作：華中科技大學二、Routh（勞斯）穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件特征方程：Routh表：其中：Routh判據(jù)：Routh表中第一列各元符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程具有正實部特征根的個數(shù)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Routh表中第一列各元的符號均為正，且值不為零。

制作：華中科技大學例1系統(tǒng)的特征方程D(s)=s4＋s3－19s2＋11s＋30＝0

Routh表：第一列各元符號改變次數(shù)為2，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)有兩個具有正實部的特征根

制作：華中科技大學例2已知

=0.2及

n=86.6，試確定K取何值時，系統(tǒng)方能穩(wěn)定。

D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K=0

由系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，有(1)7500K>0，亦即K>0。顯然，這就是由必要條件所得的結(jié)果。(2)，亦即K<34.6。故能使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)K的取值范圍為0<K<34.6。

系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程：即：制作：華中科技大學二階系統(tǒng)(n=2)穩(wěn)定的充要條件為：a2>0,

a1>0,

a0>0,三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為：a3>0,

a2>0,

a0>0,

a1a2－a0a3>0特別：制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)——幾何判據(jù)（利用開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性）幅角原理Ls：[s]平面上一封閉曲線（不經(jīng)過F(s)的奇點）

設(shè)有復變函數(shù)：幅角原理：ｓ按順時針方向沿Ls變化一周時，F(xiàn)(s)將繞原點順時針旋轉(zhuǎn)N周，即包圍原點N次。N=Z-PZ：Ls內(nèi)的F(s)的零點數(shù)

P：Ls內(nèi)的F(s)的極點數(shù)制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)開、閉環(huán)零極點與F(s)取

F(s)=1＋G(s)H(s)=1+Gk(s)制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)[s]平面上的Nyquist軌跡的選取[F(s)]與[GH]平面上的Nyquist軌跡F(s)=1+Gk(s)①s沿虛軸L1：s=jω，（ω從－∞到+∞）；LGH：G(jω)H(jω)s沿L2：s→0；LGH：②LF包圍原點的圈數(shù)=LGH包圍（－1，j0）點的圈數(shù)N=Z-P制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)當

由－

到+

時，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j

)逆時針方向包圍（－1，j0）點P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（P為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點數(shù)）對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j

)不包圍（-1，j0）點。確定P作G(j)H(j

)的Nyquist圖運用判據(jù)判據(jù)制作：華中科技大學例1三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)例2開環(huán)不穩(wěn)定，閉環(huán)穩(wěn)定P=1制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡當s沿無窮小半圓逆時針方向移動時，有

映射到[GH]平面上的Nyquist軌跡為：

當s沿小半圓從

=0－變化到=0＋時

角從－

/2經(jīng)0

變化到

/2[GH]平面上的Nyquist軌跡將沿無窮大半徑按順時針方向從經(jīng)0

轉(zhuǎn)到制作：華中科技大學P=0三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)的Nyquist軌跡例3例4穩(wěn)定不穩(wěn)定P=1制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例例1不論K取任何正值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的

開環(huán)為最小相位系統(tǒng)時，只有在三階或三階以上，其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。

P=0P=0例2制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例例3P=0若G(j

)H(j

)如圖中曲線①所示，包圍點（－1，j0），則系統(tǒng)不穩(wěn)定。減小K值，使G(j

)H(j

)

減小，曲線①有可能因模減小，相位不變，而不包圍(－1，j0），因而系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。若K不變，亦可增加導前環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T4、T5使相位減小，曲線①變成曲線②。由于曲線②不包圍點(－1，j0),故系統(tǒng)穩(wěn)定。制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用舉例P=0例4當導前環(huán)節(jié)作用小，即當T4小時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線①，它包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當導前環(huán)節(jié)作用大，即當T4大時，開環(huán)Nyquist軌跡為曲線②，它不包圍點(－1，j0），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

制作：華中科技大學三、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)具有延時環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性GK(s)＝G1(s)e－

s

GK(j

)＝G1(j)e－j

GK(j)

=

G1(j)

GK(j

)=

G1(j

)－

延時環(huán)節(jié)不改變原系統(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化。

例1+G1(s)e－

s＝0，G1(j)＝1，G1(j)－＝－解得：＝0.786，＝1.15。所以，＞1.15時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

制作：華中科技大學四、Bode穩(wěn)定判據(jù)（對數(shù)判據(jù)）Nyquist圖與Bode圖的對應(yīng)關(guān)系——幾何判據(jù)（Nyquist判據(jù)的引申）Nyquist圖上的單位圓→Bode圖上的0dB線，即對數(shù)幅頻特性圖的橫軸 單位圓之外→對數(shù)幅頻特性圖的0dB線之上。(2)Nyquist圖上的負實軸

→

Bode圖上的－180°線，即對數(shù)相頻特性圖的橫軸。ωgωgωc：幅值穿越頻率（剪切頻率）ωg：相位穿越頻率制作：華中科技大學四、Bode穩(wěn)定判據(jù)（對數(shù)判據(jù)）穿越的概念穿越：開環(huán)Nyquist軌跡在(－1，j0)點以左穿過負實軸（對數(shù)相頻特性穿過－180°線）負穿越：開環(huán)Nyquist軌跡自下而上的穿越（隨ω的增加）（對數(shù)相頻特性自上而下穿過－180°線）正穿越：開環(huán)Nyquist軌跡自上而下的穿越（隨ω的增加）（對數(shù)相頻特性自下而上穿過－180°線）半次穿越：起始于－180°的穿越制作：華中科技大學四、Bode穩(wěn)定判據(jù)（對數(shù)判據(jù)）正穿越一次，Nyquist軌跡逆時針包圍(－1，j0)點一圈負穿越一次，Nyquist軌跡順時針包圍(－1，j0)點一圈開環(huán)Nyquist軌跡逆時針包圍(－1，j0)點的次數(shù)→正穿越和負穿越的次數(shù)之差。

判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，在Bode圖上，當

由0變到＋∞時，在開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對數(shù)相頻特性對－180°線的正穿越與負穿越次數(shù)之差為P／2。

特別：P＝0時，若ωc＜ωg，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；ωc＞ωg，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；ωc=ωg，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定制作：華中科技大學五、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性：GK(jω)靠近(－1,j0)的程度定量指標：相位裕度

幅值裕度Kｇ

制作：華中科技大學五、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性相位裕度γ在ω=ωc時，GK(jω)的相頻特性

(

c）距－180°線的相位差即

＝

(

c）－（－180°）

＝180°＋

(

c）

顯然，對于穩(wěn)定系統(tǒng)＞0

對數(shù)相頻特性圖橫軸以上極坐標圖負實軸以下，正相位裕度，有正的穩(wěn)定性儲備＜0系統(tǒng)不穩(wěn)定對數(shù)相頻特性圖橫軸以下極坐標圖負實軸以上，負相位裕度，有負的穩(wěn)定性儲備制作：華中科技大學五、系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性幅值裕度（增益裕度）Kg在ω=ωg時，開環(huán)幅頻特性│GK(jωg)│的倒數(shù)顯