小學《奧數(shù)》合輯 學生用 -6-1-3 還原問題 一

6T-2.還原問題（一）

"tM蚱圖學目陽：

本講主要學習還原問題.通過本節(jié)課的學習，可以使學生掌握倒推法的解題思路以及方法，并會運用

倒推法解決問題.

1.掌握用倒推法解單個變量的還原問題.

2.了解用倒推法解多個變量的還原問題.

3.培養(yǎng)學生"倒推”的思想.

娜喃撥

一、還原問題

已知一個數(shù)，經(jīng)過某些運算之后，得到了一個新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常是以

新數(shù)為基礎(chǔ)，按運算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原問題.

還原問題又叫做逆推運算問題.解這類問題利用加減互為逆運算和乘除互為逆運算的道理，根據(jù)題意的

敘述順序由后向前逆推計算.在計算過程中采用相反的運算，逐步逆推.

二、解還原問題的方法

在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反.

方法：倒推法。

口訣：加減互逆，乘除互逆，要求原數(shù)，逆推新數(shù).

關(guān)鍵：從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變

減為加，變乘為除，變除為乘.列式時還要注意運算順序，正確使用括號.

模塊一、計算中的還原問題

【例1】一個數(shù)的四分之一減去5,結(jié)果等于5,則這個數(shù)等于

［例2］某數(shù)先加上3,再乘以3,然后除以2,最后減去2,結(jié)果是10,問：原數(shù)是多少？

【鞏固】有一個數(shù)，如果用它加上6,然后乘以6,再減去6,最后除以6,所得的商還是6,那么這個數(shù)

是O

【鞏固】一個數(shù)減16加上24,再除以7得36,求這個數(shù).你知道這個數(shù)是幾嗎?

【鞏固】少先隊員采集樹種子，采得的個數(shù)是一個有趣的數(shù).把這個數(shù)除以5,再減去25,還剩25，你算

一算，共采集了多少個樹種子?

【例3］學學做了這樣一道題：某數(shù)加上10，乘以10,減去10，除以10,其結(jié)果等于10,求這個數(shù).小

朋友，你知道答案嗎？

【鞏固】學學做了這樣一道題：一個數(shù)加上3,減去5,乘以4,除以6得16,求這個數(shù).小朋友，你知道

答案嗎？

【鞏固】一次數(shù)學競賽頒獎會上，小剛問老師：“我得了多少分？“老師說："你的得分減去6后，縮小2倍，

再加上10后，擴大2倍，恰好是100分”.小剛這次競賽得了多少分？

［例4］牛老師帶著37名同學到野外春游.休息時，小強問：“牛老師您今年多少歲啦?”牛老師有趣地回

答：“我的年齡乘以2,減去16后，再除以2,加上8，結(jié)果恰好是我們今天參加活動的總?cè)藬?shù)

小朋友們，你知道牛老師今年多少歲嗎?

【鞏固】小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數(shù)減去8,乘以7,加上6,除以5,

正好等于4.請你算一算，我今年幾歲？”

【鞏固】在小新爺爺今年的年齡數(shù)減去15后，除以4,再減去6之后，乘以10,恰好是100,問:小新爺爺今年多

少歲數(shù)?

【鞏固】學學和思思在游玩時,遇到T立小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！”誰知這位神

仙搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加上75,再除以5,然后減去15,再乘以10,恰好是

2000歲.”小朋友，你知道這位神仙現(xiàn)在有多少歲嗎？

【例5］在電腦里先輸入一個數(shù)，它會按給定的指令進行如下運算：如果輸入的數(shù)是偶數(shù)，就把它除

以2;如果輸入的數(shù)是奇數(shù)，就把它加上3.同樣的運算這樣進行了3、次,得出結(jié)果為27.原

來輸入的數(shù)可能是.

［例6］假設(shè)有一種計算器，它由4B、Q。四種裝置組成，將一個數(shù)輸入一種裝置后會自動輸出

另一個數(shù)。各裝置的運算程序如下：裝置4：將輸入的數(shù)加上6之后輸出；裝置8:將輸入

的數(shù)除以2之后輸出；裝置C:將輸入的數(shù)減去5之后輸出；裝置。：將輸入的數(shù)乘以3之

后輸出。這些裝置可以連接,如在裝置A后連接裝置B,就記作：4-民例如：輸人1后，

經(jīng)過4-8,輸出3.5。(1)若經(jīng)過/t—。，輸出120,則輸入的數(shù)是多少?(2)若經(jīng)過

B-AA-C,輸出13,則輸入的數(shù)是多少？

【例7】哪吒是個小馬虎，他在做一道減法題時,把被減數(shù)十位上的6錯寫成9，減數(shù)個位上的9錯寫成6,

最后所得的差是577,那么這道題的正確答案應(yīng)該是多少呢？

【鞏固】小馬虎在做一道加法題時，把一個加數(shù)個位上的9看作6，十位上的6看作9，結(jié)果和是174，那么

正確的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？

【鞏固】淘氣在做一道減法時，把減數(shù)個位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的結(jié)果是164,

請你幫淘氣算算正確的答案應(yīng)該是多少呢?

【鞏固】小新在做一道加法題由于粗心耨個位上的5看作9把十位上的8看作3結(jié)果所得的和是123JE

確的答案是多少？

模塊二、單個變量的還原問題

【例8]一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，則

天后桃子被吃完。

［例9］乒乓球從高空落下，到達地面后彈起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球從8米的高度落下，那

么彈起后再落下，則彈起第次時它的彈起高度不足1米。

【例10】李奶奶賣一筐雞蛋，第一位客人買走了一半少2個，第二位客人又買走了剩下的一半多2個，第

三位客人把剩下的5個雞蛋全部買走了.老婆婆的籃子里原來有個雞蛋.

【鞏固】小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天

看了10頁正好看完。這本故事書共有頁。

【例11】學學看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長的一半還多2米，第二次用去余下的

一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？

【鞏固】一個人沿著公園馬路走了全長的一半后，又走了剩下路程的一班，還剩下1千米，間：公園馬路全

長多少千米？

【鞏固】一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，

最后還剩7米。這捆電線原來有多少米？

【鞏固】甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個，第二天又加工了剩下的一半又10個，

還剩下25個沒有加工，問：這批零件有多少個？

【鞏固】食堂買進一批大米，第一天吃了全部的一半少28千克，第二天吃了余下的一半少8千克，最后剩下

122千克.這批大米共有多少千克?

【鞏固】山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個，第二天又偷吃了剩下的一

半多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？

【例12】盒子里有若干個球。小明每次拿出盒中的一半再放回一個球。這樣共操作了7次，袋中還有3個球。

袋中原有（）個球。

【例131有一個培養(yǎng)某種微生物的容器，這個容器的特點是：往里面放入微生物，再把容器封住，每過一個

夜晚，容器里的微生物就會增加一倍，但是，若在白天揭開蓋子，容器內(nèi)的微生物就會正好減少

16個.小麗在實驗的當天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗開封看了看，

到第五天，當她又啟封查看時，驚訝地發(fā)現(xiàn)微生物都沒了。請問：小麗開始往容器里放了一個微

生物？

【例14］小麗用4元買了一本《童話大王》，又用剩下的錢的一半買了一本《兒童時代》，買鋼筆又用去第二

次剩下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問：小麗原有多少錢？

【鞏固】有一筐蘋果，甲取出一半又1個；乙取出余下的一半又1個；丙取出再余下的一半又1個，這時

筐里只剩下1個蘋果。這筐蘋果共值6元6角，問每個蘋果平均值多少錢？

【例15］思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，這時還剩下8

米，你知道這段五彩布原來長多少米嗎？

【鞏固】一群螞蟻搬家，原存一堆食物.第一天運出總數(shù)的一半少12克.第二天運出剩下的一半少12克,

結(jié)果窩里還剩下43克.問螞蟻家原有食物多少克?

【鞏固】一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，

最后還剩7米，這捆電線原有多少米？

【例16】工程隊要修一條小路，第一天修了全長的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修

了30米，此時還剩下14米沒有修，則這條小路長米。

【鞏固】修建一條下水道，第一周修了全長的一半多12米，第二周修了剩下的一半少12米，第三周修了

30米，最后還剩18米，這條下水道長多少米？

【例17］貨場原有煤若干噸。第一次運出原有煤的一半，第二次運進450噸，第三次又運出現(xiàn)有煤的

一半又50噸，結(jié)果剩余煤的2倍是1200噸。貨場原有煤多少噸？

【例18】從前，有一位樵夫，整天幻想著遇見神仙，求得一種不花氣力就能發(fā)財?shù)母[門.一天，有一位老

人突然來到樵夫面前，對他說："你不是想見到神仙嗎？"樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天

柴，累的要死要活，才賣的這么幾個錢.您老人家神通廣大，懇求您指點，使我可以不費力氣就

能得到錢吧！”老人指著東邊的一座石頭橋說：“好吧！從現(xiàn)在開始，你只要從那座橋上每走一

個來回，口袋里的錢都會增長一倍，但是每次回來都要付給我24個錢作為報酬.”樵夫高興的

在橋上走了一個來回，他數(shù)一數(shù)口袋里的錢，果然增長了一倍.他拿出24個錢交給神仙，然后

又向橋上走去，等到他第三次回來，把24個錢交給神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一個錢都沒

有了.正當他焦急不安的時候，神仙按原數(shù)把錢留下飄然而去，并留下一句話：“年輕人，不勞

而獲可不行?。　惫适伦x完了，小朋友們，你能不能算出，樵夫原來有多少錢呢？

【鞏固】有一個財迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個老人，老人對他說：“你只要走

過這座橋再回來，你身上的錢就會增加一倍，但作為報酬，你每走一個來回要給我32個銅板.”

財迷算了算挺合算，就同意了.他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了

老人32個銅板.這樣走完第五個來回，身上的最后32個銅板都給了老人，一個銅板也沒剩下.問:

財迷身上原有多少個銅板？

【鞏固】某人發(fā)現(xiàn)了一條魔道，下面有一個存錢的小箱子，當他從魔道走過去的時候，箱子里的一些錢會飛

到人的身上使人身上的錢熠加一倍，這人很高興；當他從魔道走回來時，身上的錢會飛到箱子里，

使箱子里的錢熠加一倍；這人一連走了3個來回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一元的硬

幣，那么原來這人身上有多少元？箱子里有多少元？

【例19】學學和思思見到一種神奇的蟲子，它每小時就長一倍，1天能長到20厘米，聰明的小朋友，你知

道小蟲長到5厘米時需要多少小時嗎？

【例20］桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數(shù)的一半又半個；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半個；

第三群猴子又來吃掉剩下桃子數(shù)的一半又半個.這時桃園里還只有100個桃了.那么園中原有多少

桃？

【鞏固】山頂上有棵桃數(shù)，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數(shù)的一半多2個，第二天又偷吃了剩下的一

半多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？

【鞏固】某水果店進一批水果，運迸的是原來的水果的一半，原有的蔬菜賣出去一半以后，恰好與現(xiàn)在的水