長白山第二高級中學(xué)校2022屆高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題及答案

數(shù)學(xué)

本試卷分第1卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其

中第n卷22題一24題為選考題，其它題為必考題.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

注意事項：

1.答題前，考生必須將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域

內(nèi).

2.選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工

整、筆跡清楚.

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、

試題卷上答題無效.

4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.

第I卷

一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，與有：項是

符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）.

1.設(shè)全集U={xeR|x>0},函數(shù)/（幻二亍1一的定義域為A,則Q’A為

Vl-lnx

A.（e,+oo）B.（e,+8）C.（0,e）D.（0,e]

2.復(fù)數(shù)4,Z2滿足|4|=|z2|=1,|%+Z21=G,則IZj-z21=

A.1B.V2C.2D.141

3.如圖是秦九韶算法的一個程序框圖，則輸出的S為

A.q+玉）（。3+x（）（ao+。2玉）））的值

B.%+/（。2+/（6+a0X0））的值

c.a0+玉）（q+x0（a2+a3x0））的值

D.g+升）（％+%）（/+%））的值

4.5名學(xué)生和2名老師排成一排照相，2名老師不在兩邊且不相鄰的概率為

5.在aABC中，角A,民C的對邊分別是a,b,c,若=#>bc,sinC=28sinB,則A=

TCTCLit

A.—B.—C.—D.—

6336

6.函數(shù)=的大致圖象為

A.16+3乃B.32+6%

C.64+12乃D.64+6乃

8.如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底8在同一水平面內(nèi)的兩個

觀測點。與。，測得/BCD=15",ZBDC=30\CD=30米，并在。

測得塔頂A的仰角為60°,則塔的高度AB為

A.15板米B.156米

C.15(6+1)米D.15卡米

9.若等差數(shù)列｛%｝的前〃項和S,有最大值，且包＜-1,則當(dāng)數(shù)列｛S“｝的前〃項和7；取最大值

時，〃的值為

A.11B.12

如圖所示，正弦曲線y=sinx,余弦曲線y=8sx

與兩直線x=0,工=乃所圍成的陰影部分面積為

A.1B.V2

C.2D.2a

11.已知耳,E,是雙曲線C:「一2r=1（。＞0,。＞0）的兩個焦點，P是C上一點，若

ab

［尸耳HP與|=8/,且片工的最小內(nèi)角為30°,則雙曲線。的離心率是

A.41C.垂)

12.已知函數(shù)/（幻=皿二!■（x＞e）,若/（?。?/（〃）=1,則/（加?“）的最小值為

第n卷

本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題―21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22

題一24題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上）.

7TJT

13.已知函數(shù)/（x）=sin（2x+^）與g（x）的圖象關(guān)于直線x=—對稱，將g（x）的圖象向右平移

36

0（8＞0）個單位后與f（x）的圖象重合，則（p的最小值為.

'x—4y+4W0

14.在平面直角坐標(biāo)系中，若P（x,y）滿足＜2x+y-10W0,則當(dāng)取取得最大值時，點P的坐標(biāo)

5x—2y+2>0

是.?

15.給出下列5種說法：

①在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等；

②標(biāo)準(zhǔn)差越小，樣本數(shù)據(jù)的波動也越小；

③回歸分析研究的是兩個相關(guān)事件的獨立性；

④在回歸分析中，預(yù)報變量是由解釋變量和隨機(jī)誤差共同確定的；

⑤相關(guān)指數(shù)/?2是用來刻畫回歸效果的，R2的值越大，說明殘差4平方和

越小，回歸模型的擬合效果越好.

其中說法正確的是_（請將正確說法的序號寫在橫線上）.（/；\\

16.如圖，在三棱錐A-38中，A4CD與ABCD是全等的等腰三（/；\）角

形，且平面ACD_L平面8cD,AB=2CD=4,則該三棱錐的曉三芝?外

接球的表面積為_____.

三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.

17.（本小題滿分12分）

21

已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，q=——，滿足S“+—+2=a“（〃》2）.

3

（1）計算S，S2，S3,猜想S.的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；

（2）設(shè)2=一一，數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑?；,求證：7；,

n+n

18.(本小題滿分12分)

某城市隨機(jī)監(jiān)測一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量PM2.5的數(shù)據(jù)API,結(jié)果統(tǒng)計如下:

API[0,501(50,100](100,150](15(),2(X)1(200,250](250收)

天數(shù)61222301416

(1)若將API值低于150的天氣視為“好天”，并將頻率視為概率，根據(jù)上述表格，預(yù)測今年

高考6月7日、8日兩天連續(xù)出現(xiàn)“好天”的概率；

(2)API值對我國部分生產(chǎn)企業(yè)有著重大的影響，假設(shè)某企業(yè)的日利潤/(X)與API值X的函

數(shù)關(guān)系為：=(XW15O)(單位；萬元)，利用分層抽樣的方式從監(jiān)測的io。天中選出

[15(x>150)

10天，再從這10天中任取3天計算企業(yè)利潤之和X,求離散型隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)

學(xué)期望和方差.

19.(本小題滿分12分)

在三棱柱ABC-中，A3=BC=C4=/1Al=2,側(cè)棱

平面ABC,。為棱A#上的動點，E是AA的中點，點尸在

上，ELAF=-AB-

4

(1)設(shè)42=2，當(dāng)2為何值時，EF〃平面BG。；

DB}

(2)在(1)條件下，求二面角E-BG—。的余弦值.

20.(本小題滿分12分)

已知點尸(1,0),點P為平面上的動點，過點P作直線/：x=T的垂線，垂足為“，且

HP-HFFP-FH.

(1)求動點P的軌跡。的方程；

(2)設(shè)點P的軌跡C與x軸交于點〃，點是軌跡。上異于點的不同的兩點，且滿足

在A,5處分別作軌跡C的切線交于點N,求點N的軌跡E的方程;

(3)求證：女MN.%"為定值.

21.(本小題滿分12分)

1+ln

已知函數(shù)y(x)=--

X

(1)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a,a+；)上存在極值，求正實數(shù)a的取值范圍;

(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)Z的取值范圍；

x+1

(3)求證：[(w+1)!]2>(n+l)en-2(neN,).

請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22.(本小題滿分10分)選修4—1：幾何證明選講."、

如圖是圓。的一條弦，過點A作圓的切線AC,作\與該圓

交于點。，若AC=2g,CD=2.IVl0]

(1)求圓。的半徑；J

(2)若點E為中點，求證O,E,￡>三點共線.

23.(本小題滿分10分)選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講.

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為[”=2cos2ag是參數(shù))，以原點。為極點，x軸

y-sin2a

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0=_一!-----

sincos0

(1)求曲線C,的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

(2)求曲線G上的任意一點p到曲線G的最小距離，并求出此時點P的坐標(biāo).

24.(本小題滿分10分)選修4一5：不等式選講.

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x-a\+a.

(1)若不等式/(x)W6的解集為{x|-2WxW3},求實數(shù)”的值；

⑵在⑴條件下，若存在實數(shù)〃，使得了(〃)W〃L/(-〃)恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分參考

選擇題（本大題包括12小題,每小題5分,共60分）

1.A2.A3.C4.B5.A6.A

7.C8.D9.C10.D11.C12.C

二、填空題（本大題包括4小題，每小題5分,共20分）

51(1,5)65

一n

13.614.215.②?⑤16.4

三、解答題

17.（本小題滿分12分）

S,,+?—?+2=S”-S“_]

【試題解析】解：⑴因為4,所以S?

=S"-S"T5N2)由此整理得

193

c4

z+'i,于是有：345,

〃+1

猜想:〃+2

證明：①當(dāng)〃=1時，3猜想成立.

k+1

Sk

②假設(shè)〃=攵7時猜想成立，即k+2,

11k+2k+l

+1

2+S..0%+1Z+3*+1)+2

KZ-------

那么k+2

所以當(dāng)〃=%+1時猜想成立，由①②可知，猜想對任何〃eN”都成立.（6分）

1_1_

）

(2)由⑴〃(〃+2)2n〃+2，于是:

11

T,(=_l[(1+l+l+...+l)-(l+l+l+-+-L)]=-)

"223〃345n+222n+1〃+2又因為

31I

<-Tn>--

2〃+l/14-22,所以4(12分)

18.

【試題解析】解：（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)出現(xiàn)好天的概率為0.4,

則連續(xù)兩天出現(xiàn)“好天”的概率為0-4X0.4=0?16.(4分)

（2）X的所有可能取值為45,70,95,120.

p(X=45)=(0.6)3=0.216

p(x=70)=CX0.4X(0.6)2=0432

p(X=95)=C；x(04)2x0.6=0.288

P(X=120)=(04)3=0.064

X457095120

P0.2160.4320.2880.064

E(X)=45x0.216+70x0.432+95x0.288+120x0.064=75

。(X)=(45-75)2x0.216+(70-75)2x0.432+(95-75)2x0.288+(120-75)2x0.064=450

(12分)

19

【試題解析】解：(1)證明：

EF〃平面BCQ

"u平面A3與A\^EFHBDDB[=AF=\丸=AQ

平面平面則西=7萬=2即=函

(6分)

(2)取A3中點”,可知CM_LA3,DM_L平面ABC.

以"為原點，以CM方向為x軸，以A8方向為曠軸，以方向為z軸,

建立如圖所示坐標(biāo)系.

E(0,-l,l)5(0,1,0)0(0,0,2),C,(-73,0,2)

平面EBC,中，￡B=(0,2,-l)芭=(-瓜1,1),

1=(31,2)

平面O8G中DB=(0,l,-2)(Dq=(-73,0,0)后=(0,2,1)

|々?4I_4_VlO

cos8=

I?II-I?21Vs-5/55

Vw

即二面角E—3￡一°的余弦值為5(12分)

20..

由麗.而=麗.閑可得"而H而jcosPHP=|萬||由IcosP切

【試題解析】解：⑴

即|加|cosP"F=|而IcosP”,可知點p為線段“尸中垂線上的點，即用，故動點P

的軌跡C為以F為焦點的拋物線，其方程為丁=4x

(4分)

4

(2)設(shè)直線M4的斜率為W0),易得A￥'2),可求得切線防的方程為%=4，T,化簡整

k2

y=—x+—

2

理得.k①

k°B=—y=—x

因為M4,MB,所以攵，故直線”8的方程為k.

聯(lián)立直線MB和拋物線方程解得8(4/,-46,

/x+4&212

-4ky—4--------y-----x-2k

所以切線的方程為2,化簡整理得2k②

k11

(一+—?+2(—+女)=0

(Wm22kk,所以x=T(定值).

故點N的軌跡為x=Y是垂直》軸的一條定直線.(8分)

一2以一7

k

“A8

2k2-\2渡-普…

N(-4,—-2k)kNM

(3)由(1)有k,所以2k

..1

故2(定值).(12分)

21.

“、1-1-lnxInx

/八xJ(X)=--------=----

【試題解析】解：(1)函數(shù)的定義域為(°，+8),X].

令/'(x)=O,得x=l；當(dāng)XG(O,1)時，尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增:

當(dāng)xe(l,+oo)時，((x)<0,/(x)單調(diào)遞減.所以，x=l為極大值點,

a<\<a+--<a<l(-,1)

所以2,故2,即實數(shù)a的取值范圍為2(4分)

..(x+l)(l+lnx)(、(x+l)(l+lnx)

g(x)=--------------

⑵當(dāng)時，一x令X

[1+lnx+ld—]x—(x+1)(1+Inx)

x-lnx

g'(x)=----------------------------

貝IJX-丁一再令〃(x)=x-lnx,

貝產(chǎn)）=1-9。，所以心注"1）=1,所以g,（x）〉O,

所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，所以g(x)Ng(D=2,故ZW2.記分)

1+lnx、2[、2x1x-l12,2

--------->-------lnx>---------1=-------=I---------->I——

(3)由⑵知，當(dāng)xNl時，xx+l,x+lx+lx-ix.

22

,八ln?(n+l)>l一一-~~-ln(lx2)>l一一—

令x=〃(〃+l),則〃("+1)，所以1x2

22

ln(2x3)>1--------，…,In〃("+1)>1--------------

2x3〃("+1),所以

2

infix22x32x---xrt2-(n+1)]>n-2+---->n-2