大二上概率七章講

第四節(jié)

區(qū)間估計(jì)

引言

前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì).它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來(lái)把握不大.區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.也就是說(shuō)，我們希望確定一個(gè)區(qū)間，使我們能以比較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.湖中魚數(shù)的真值[]這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平.

習(xí)慣上把置信水平記作

，這里是一個(gè)很小的正數(shù).置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.例如，通?？扇≈眯潘?0.95或0.9等.根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，由給定的置信水平，我小的區(qū)間，使們求出一個(gè)盡可能置信區(qū)間.稱區(qū)間為的置信水平為的

尋找置信區(qū)間的方法,一般是從確定誤差限入手.使得稱

為與

之間的誤差限.

我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平，可以找到一個(gè)正數(shù)

，只要知道的概率分布，確定誤差限并不難.

下面我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義,并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.由不等式可以解出：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.

一、置信區(qū)間定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是

的置信水平（置信度、置信概率）為

的置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.

一旦有了樣本，就把估計(jì)在區(qū)間內(nèi).這里有兩個(gè)要求:可見(jiàn)，

對(duì)參數(shù)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.關(guān)于定義的說(shuō)明若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,例如~N(0,1)選的點(diǎn)估計(jì)為求參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間.

例1

設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，二、置信區(qū)間的求法明確問(wèn)題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？

尋找未知參數(shù)的一個(gè)良好估計(jì).解：

尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量的函數(shù)，要求其分布為已知.有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率.對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得對(duì)于給定的置信水平(大概率),根據(jù)U的分布，確定一個(gè)區(qū)間,使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平.使為什么這樣取？對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得使從中解得也可簡(jiǎn)記為于是所求的置信區(qū)間為

從例1解題的過(guò)程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下:1.明確問(wèn)題,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?

置信水平

是多少?2.尋找參數(shù)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)T(X1,X2,…Xn)稱S(T,)為樞軸量.

3.尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)S(T,),且其分布為已知.4.對(duì)于給定的置信水平

，根據(jù)S(T,)的分布，確定常數(shù)a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=

5.對(duì)“a≤S(T,)≤b”作等價(jià)變形,得到如下形式:則就是的100(

)％的置信區(qū)間.

可見(jiàn)，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)和估計(jì)量T的函數(shù)S(T,),且S(T,)的分布為已知,不依賴于任何未知參數(shù)(這樣我們才能確定一個(gè)大概率區(qū)間).而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要.

這里，我們主要討論總體分布為正態(tài)的情形.若樣本容量很大，即使總體分布未知，應(yīng)用中心極限定理，可得總體的近似分布，于是也可以近似求得參數(shù)的區(qū)間估計(jì).教材上討論了以下幾種情形：?jiǎn)蝹€(gè)正態(tài)總體均值和方差的區(qū)間估計(jì).兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì).比例p的區(qū)間估計(jì).教材180頁(yè)已經(jīng)給出了概率分布的上側(cè)分位數(shù)（分位點(diǎn)）的定義，為便于應(yīng)用，這里我們?cè)俸?jiǎn)要介紹一下.在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位數(shù).

設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位數(shù).例如:

設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位數(shù).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)例如:

設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位數(shù).

分布的上分位數(shù)自由度為n的

設(shè)0<<1,對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿足的點(diǎn)為X的概率分布的上分位數(shù).F分布的上分位數(shù)自由度為n1,n2的

書末附有分布、t

分布、F分布的上側(cè)分位數(shù)表，供使用.需要注意的事項(xiàng)在教材上有說(shuō)明.

至于如何由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表求得分位數(shù)，若你對(duì)分布函數(shù)定義熟悉的話，這個(gè)問(wèn)題不難解決.一、單個(gè)總體的情況由例1可知:1.

包糖機(jī)某日開(kāi)工包了12包糖,稱得質(zhì)量(單位:克)分別為506,500,495,488,504,486,505,513,521,520,512,485.假設(shè)重量服從正態(tài)分布,解..\新建文件夾4\2-1.ppt2-1例2附表2-2查表得推導(dǎo)過(guò)程如下:解

有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱得重量(克)如下:設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布,試求總體均值附表3-1例3就是說(shuō)估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4克與507.1克之間,這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%.這個(gè)誤差的可信度為95%.推導(dǎo)過(guò)程如下:根據(jù)第六章第二節(jié)定理二知進(jìn)一步可得:注意:在密度函數(shù)不對(duì)稱時(shí),習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)確定置信區(qū)間(如圖).

(續(xù)例2)

求例2中總體標(biāo)準(zhǔn)差

的置信度為0.95的置信區(qū)間.解代入公式得標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間附表4-1附表4-2例4休息片刻繼續(xù)例5

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重X~隨機(jī)抽查100個(gè)嬰兒…得100個(gè)體重?cái)?shù)據(jù)X1,X2,…,X100

的區(qū)間估計(jì)求和（置信水平為1-

）.解：這是單總體均值和方差的估計(jì)已知先求均值的區(qū)間估計(jì).因方差未知，取

對(duì)給定的置信度

,確定分位數(shù)使即均值的置信水平為的區(qū)間估計(jì).即為從中解得取樞軸量從中解得再求方差的置信水平為的區(qū)間估計(jì).

對(duì)給定的置信度

,確定分位數(shù)

使于是即為所求.

需要指出的是，給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間.~N(0,1)取樞軸量由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，對(duì)任意a、b，我們可以求得P(a<U<b).

例如，設(shè)X1,…Xn是取自

的樣本，求參數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間.~N(0,1)例如，由P(-1.96≤U≤1.96)=0.95我們得到均值的置信水平為的置信區(qū)間為由P(-1.75≤U≤2.33)=0.95這個(gè)區(qū)間比前面一個(gè)要長(zhǎng)一些.置信區(qū)間為我們得到均值的置信水平為的我們總是希望置信區(qū)間盡可能短.類似地，我們可得到若干個(gè)不同的置信區(qū)間.

任意兩個(gè)數(shù)a和b，只要它們的縱標(biāo)包含f(u)下95%的面積，就確定一個(gè)95%的置信區(qū)間.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)a=-b時(shí)求得的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.a=-b

即使在概率密度不對(duì)稱的情形，如分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.

我們可以得到未知參數(shù)的的任何置信水平小于1的置信區(qū)間，并且置信水平越高，相應(yīng)的置信區(qū)間平均長(zhǎng)度越長(zhǎng).

也就是說(shuō)，要想得到的區(qū)間估計(jì)可靠度高，區(qū)間長(zhǎng)度就長(zhǎng)，估計(jì)的精度就差.這是一對(duì)矛盾.

實(shí)用中應(yīng)在保證足夠可靠的前提下，盡量使得區(qū)間的長(zhǎng)度短一些.二、兩個(gè)總體的情況討論兩個(gè)總體均值差和方差比的估計(jì)問(wèn)題.推導(dǎo)過(guò)程如下:1.例7為比較?,??兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度,隨機(jī)地取?型子彈10發(fā),得到槍口速度的平均值為隨機(jī)地取??型子彈20發(fā),得槍口速度平均值為假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且由生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為它們的方差相等,求兩總體均值差信區(qū)間.解由題意,兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),解由題意,兩總體樣本獨(dú)立且方差相等(但未知),例8為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過(guò)程的得率,試圖采用一種新的催化劑,為慎重起見(jiàn),在試驗(yàn)工廠先進(jìn)行體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布,且方差相等,求兩總體均值差試驗(yàn).設(shè)采用原來(lái)的催化劑進(jìn)行了次試驗(yàn),得到得率的平均值又采用新的催化劑進(jìn)行了次試驗(yàn),得到得率的平均值假設(shè)兩總推導(dǎo)過(guò)程如下:2.根據(jù)F分布的定義,知解例9研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑,隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子18只,測(cè)得樣本方差為均未知,求方差比區(qū)間.設(shè)兩樣本相互獨(dú)抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只,測(cè)得樣本方差為立,且設(shè)由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布信解例10甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工同一種零件,在機(jī)床甲加工的零件中抽取9個(gè)樣品,在機(jī)床乙加工的零件信區(qū)間.假定測(cè)量值都服從正態(tài)分布,方差分別為的置在置信度由所給數(shù)據(jù)算得0.98下,試求這兩臺(tái)機(jī)床加工精度之比中抽取6個(gè)樣品,并分別測(cè)得它們的長(zhǎng)度(單位:mm),一個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（一）待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限兩個(gè)正態(tài)總體未知參數(shù)的置信區(qū)間（二）待估參數(shù)隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布

雙側(cè)置信區(qū)間的上、下限三、單側(cè)置信區(qū)間

上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的，但對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題，人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.

例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō)，平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題，過(guò)短就有問(wèn)題了.

這時(shí)，可將置信上限取為+∞，而只著眼于置信下限，這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.于是引入單側(cè)置信區(qū)間和置信限的定義：滿足設(shè)是一個(gè)待估參數(shù)，給定

若由樣本X1,X2,…Xn確定的統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.稱為單側(cè)置信下限.又若統(tǒng)計(jì)量滿足則稱區(qū)間是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間.

稱為單側(cè)置信上限.單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的單側(cè)置信區(qū)間設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布.求燈泡壽命均值的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限.

例11從一批燈泡中隨機(jī)抽取5只作壽命試驗(yàn)，測(cè)得壽命X（單位：小時(shí)）如下：1050，1100，1120，1250，1280由于方差未知，取樞軸量解：的點(diǎn)估計(jì)取為樣本均值

對(duì)給定的置信水平

，確定分位數(shù)使即于是得到的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間為

將樣本值代入得的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限是1065小時(shí)的置信水平為的單側(cè)置信下限為即

同學(xué)們可通過(guò)練習(xí)，掌握各種求未知參數(shù)的置信區(qū)間的具體方法.這一講，我們介紹了區(qū)間估計(jì).數(shù)學(xué)文化欣賞

------數(shù)學(xué)獎(jiǎng)

菲爾茲獎(jiǎng)與阿貝爾獎(jiǎng),沃爾夫獎(jiǎng)

為什么諾貝爾在以他名字命名的獎(jiǎng)項(xiàng)中不設(shè)立數(shù)學(xué)獎(jiǎng)？這個(gè)問(wèn)題曾經(jīng)引起許多猜測(cè)。比較流行的說(shuō)法有兩種：一個(gè)傳說(shuō)是諾貝爾本人認(rèn)為數(shù)學(xué)與人類的進(jìn)步?jīng)]有直接