小學(xué)奧數(shù)合輯（學(xué)生用書）3-2-6 變速問題

變速問題

1、能夠利用以前學(xué)習(xí)的知識理清變速變道問題的關(guān)鍵點

2、能夠利用線段圖、算術(shù)、方程方法解決變速變道等綜合行程題。

3、變速變道問題的關(guān)鍵是如何處理“變”

變速變道問題屬于行程中的綜合題，用到了比例、分步、分段處理等多種處理問題等解題方法。對于

這種分段變速問題，利用算術(shù)方法、折線圖法和方程方法解題各有特點。

算術(shù)方法對于運動過程的把握非常細(xì)致，但必須一步一步來；

折線圖則顯得非常直觀，每一次相遇點的位置也易于確定；

方程的優(yōu)點在于無需考慮得非常仔細(xì)，只需要知道變速點就可以列出等量關(guān)系式，把大量的推理過程

轉(zhuǎn)化成了計算.

行程問題常用的解題方法有

⑴公式法

即根據(jù)常用的行程問題的公式進(jìn)行求解，這種方法看似簡單，其實也有很多技巧，使用公式不僅包括

公式的原形，也包括公式的各種變形形式：有時條件不是直接給出的，這就需要對公式非常熟悉，可以推

知需要的條件；

⑵圖示法

在一些復(fù)雜的行程問題中，為了明確過程，常用示意圖作為輔助工具.示意圖包括線段圖和折線圖.圖

示法即畫出行程的大概過程，重點在折返、相遇、追及的地點.另外在多次相遇、追及問題中，畫圖分析

往往也是最有效的解題方法；

⑶比例法

行程問題中有很多比例關(guān)系，在只知道和差、比例時，用比例法可求得具體數(shù)值.更重要的是，在一

些較復(fù)雜的題目中，有些條件（如路程、速度、時間等）往往是不確定的，在沒有具體數(shù)值的情況下，只能

用比例解題；

⑷分段法

在非勻速即分段變速的行程問題中，公式不能直接適用.這時通常把不勻速的運動分為勻速的幾段，

在每一段中用勻速問題的方法去分析，然后再把結(jié)果結(jié)合起來；

⑸方程法

在關(guān)系復(fù)雜、條件分散的題目中，直接用公式或比例都很難求解時，設(shè)條件關(guān)系最多的未知量為未知

數(shù)，抓住重要的等量關(guān)系列方程常?？梢皂樌蠼?

【例1］小紅和小強同時從家里出發(fā)相向而行。小紅每分走52米，小強每分走70米，二人在途中的A

處相遇。若小紅提前4分出發(fā)，且速度不變，小強每分走90米，則兩人仍在A處相遇。小

紅和小強兩人的家相距多少米？

【例2】甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去。相遇后

甲比原來速度增加2米/秒，乙比原來速度減少2米/秒，結(jié)果都用24秒同時回到原地。

求甲原來的速度。

【例3】A、B兩地相距7200米，甲、乙分別從A,B兩地同時出發(fā)，結(jié)果在距B地2400米處相

遇.如果乙的速度提高到原來的3倍，那么兩人可提前10分鐘相遇，則甲的速度是每分鐘行

多少米？

【例4】甲、乙兩車分別從A,B兩地同時出發(fā)相向而行，6小時后相遇在C點.如果甲車速度不變,

乙車每小時多行5千米，且兩車還從A,B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12

千米；如果乙車速度不變，甲車速度每小時多行5千米，則相遇地點距C點16千米.甲車

原來每小時行多少千米？

【鞏固】甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，5小時后相遇在C點。如果甲速度不變，乙

每小時多行4千米，且甲、乙還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇點。距C點/。千

米；如果乙速度不變，甲每小時多行3千米，且甲、乙還從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，則

相遇點E距C點5千米。問：甲原來的速度是每小時多少千米？

【例5】A、B兩地間有一座橋（橋的長度忽略不計），甲、乙二人分別從兩地同時出發(fā)，3小時后在橋

上相遇.如果甲加快速度，每小時多走2千米，而乙提前0.5小時出發(fā)，則仍能恰在橋上相

遇.如果甲延遲0.5小時出發(fā)，乙每小時少走2千米，還會在橋上相遇.則A、B兩地相距

多少千米？

【例6】一列火車出發(fā)1小時后因故停車0.5小時，然后以原速的3/4前進(jìn)，最終到達(dá)目的地晚1.5小

時.若出發(fā)1小時后又前進(jìn)90公里再因故停車0.5小時，然后同樣以原速的3/4前進(jìn)，則到

達(dá)目的地僅晚1小時，那么整個路程為多少公里？

【例7】王叔叔開車從北京到上海，從開始出發(fā)，車速即比原計劃的速度提高了1/9,結(jié)果提前一個半小

時到達(dá)；返回時，按原計劃的速度行駛280千米后，將車速提高1/6,于是提前1小時40分

到達(dá)北京.北京、上海兩市間的路程是多少千米？

【例8】甲、乙兩人同時從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山

速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后1小時，甲與乙在離山頂600米處相遇，當(dāng)

乙到達(dá)山頂時，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點共用多少小時？

［例9］小華以每小時8/3千米的速度登山，走到途中A點后，他將速度改為每小時2千米，在接下來

的1小時中，他走到山頂，又立即下山，并走到A點上方500米的地方.如果他下山的速度是

每小時4千米，下山比上山少用了52.5分鐘.那么，他往返共走了多少千米？

【例10】甲、乙兩車從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，5小時相遇；如果乙車提前1小時出發(fā)，則差

13千米到中點時與甲車相遇，如果甲車提前1小時出發(fā)，則過中點37千米后與乙車相遇，

那么甲車與乙車的速度差等于多少千米/小時？

【例11】甲、乙兩名運動員在周長400米的環(huán)形跑道上進(jìn)行10000米長跑比賽，兩人從同一起跑線同時起

跑，甲每分鐘跑400米，乙每分鐘跑360米，當(dāng)甲比乙領(lǐng)先整整一圈時，兩人同時加速，乙的

速度比原來快甲每分鐘比原來多跑18米，并且都以這樣的速度保持到終點.問：甲、乙兩

4

人誰先到達(dá)終點？

【例12】環(huán)形場地的周長為1800米，甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)相背而行（甲速大于乙速），12分鐘

后相遇.如果每人每分鐘多走25米，則相遇點與前次相差33米，求原來二人的速度.

【例13］王剛騎自行車從家到學(xué)校去，平常只用20分鐘。因途中有2千米正在修路，只好推車步行，步

行速度只有騎車速度的,，結(jié)果這天用了36分鐘才到學(xué)校。從王剛家到學(xué)校有多少千米？

3

【例14】甲、乙兩車分別從A、8兩地同時出發(fā)，相向而行.出發(fā)時，甲，乙的速度之比是5:4,相遇

后甲的速度減少20%,乙的速度增加20%.這樣當(dāng)甲到達(dá)B地時，乙離開A地還有10千米.那

么A、8兩地相距多少千米？

【例15】甲、乙往返于相距1000米的A,3兩地.甲先從A地出發(fā)，6分鐘后乙也從A地出發(fā)，并在距

A地600米的C地追上甲.乙到8地后立即原速向A地返回，甲到8地休息1分鐘后加快速度

向A地返回，并在C地追上乙.問：甲比乙提前多少分鐘回到A地？

【例16】一輛大貨車與一輛小轎車同時從甲地開往乙地，小轎車到達(dá)乙地后立即返回，返回時速度提高

50%?出發(fā)2小時后，小轎車與大貨車第一次相遇，當(dāng)大貨車到達(dá)乙地時，小轎車剛好走到甲、

乙兩地的中點。小轎車在甲、乙兩地往返一次需要多少時間？

【例17】甲、乙兩地間平路占,，由甲地去往乙地，上山路千米數(shù)是下山路千米數(shù)的工，一輛汽車從甲

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地到乙地共行了10小時，已知這輛車行上山路的速度比平路慢20%,行下山路的速度比平路快

20%,照這樣計算，汽車從乙地回到甲地要行多長時間？

【例18】甲、乙二人在同一條圓形跑道上作特殊訓(xùn)練：他們同時從同一地出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑

完第一圈到達(dá)出發(fā)點后立即回頭加速跑第二圈，跑第一圈時，乙的速度是甲的速度的2.甲跑

3

第二圈的速度比第一圈提高了乙跑第二圈的速度提高了！，已知沿跑道看從甲、乙兩人第

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二次相遇點到第一次相遇點的最短路程是190米，問這條跑道長多少米？

【例19】甲、乙兩人沿400米環(huán)形跑道練習(xí)跑步，兩人同時從跑道的同一地點向相反方向跑去.相遇后

甲比原來速度增加4米/秒，乙比原來速度減少4米/秒，結(jié)果都用25秒同時回到原地.求甲

原來的速度.

【鞏固】從A村到8村必須經(jīng)過C村，其中A村至C村為上坡路，C村至8村為下坡路，A村至8村的

總路程為20千米.某人騎自行車從A村到3村用了2小時，再從3村返回A村又用了1小時45

分.已知自行車上、下坡時的速度分別保持不變，而且下坡時的速度是上坡時速度的2倍.求A、

C之間的路程及自行車上坡時的速度.

【例20】歡歡和貝貝是同班同學(xué)，并且住在同一棟樓里.早晨7:40,歡歡從家出發(fā)騎車去學(xué)校，7:46追

上了一直勻速步行的貝貝；看到身穿校服的貝貝才想起學(xué)校的通知，歡歡立即調(diào)頭，并將速度

提高到原來的2倍，回家換好校服，再趕往學(xué)校；歡歡8:00趕到學(xué)校時，貝貝也恰好到學(xué)校.如

果歡歡在家換校服用去6分鐘且調(diào)頭時間不計，那么貝貝從家里出發(fā)時是點

分.

【例21】甲、乙兩人都要從4地到8地去，甲騎自行車，乙步行，速度為每分鐘60米.乙比甲早出發(fā)

20分鐘，甲在距A地1920米的C處追上乙，兩人繼續(xù)向前，甲發(fā)現(xiàn)自己忘帶東西，于是將速

度提高到原來的1.5倍，馬上返回A地去取，并在距離C處720米的。處遇上乙.甲到達(dá)A地

后在A地停留了5分鐘，再以停留前的速度騎往3地，結(jié)果甲、乙兩人同時到達(dá)3地.4、B

兩地之間的距離是米.

【例22】小芳從家到學(xué)校有兩條一樣長的路，一條是平路，另一條是一半上坡路，一半下坡路.小芳上

學(xué)走這兩條路所用的時間一樣多.已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度

的多少倍？

【例23】趙伯伯為鍛煉身體，每天步行3小時，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返回。假設(shè)趙伯

伯在平路上每小時行4千米，上山每小時行3千米，下山每小時行6千米，在每天鍛煉中，他

共行走多少米？

【例24］王老師每天早上晨練，他第一天跑步1000米，散步1600米，共用25分鐘；第二天跑步2000

米，散步800米，共用20分鐘。假設(shè)王老師跑步的速度和散步的速度均保持不變。求：（1）王

老師跑步的速度；（2）王老師散步800米所用的時間。

【例25】某校在400米環(huán)形跑道上進(jìn)行1萬米比賽，甲、乙兩名運動員同時起跑后，乙的速度始終保持

不變，開始時甲比乙慢，在第15分鐘時甲加快速度，并保持這個速度不變，在第18分鐘時甲

追上乙并且開始超過乙。在第23分鐘時甲再次追上乙，而在23分50秒時甲到達(dá)終點。那么，

乙跑完全程所用的時間是多少分鐘？

【例26】甲、乙兩人同時同地同向出發(fā)，沿環(huán)形跑道勻速跑步.如果出發(fā)時乙的速度是甲的2.5倍，當(dāng)乙

第一次追上甲時，甲的速度立即提高25%,而乙的速度立即減少20%,并且乙第一次追上甲的

地點與第二次追上甲的地點相距100米，那么這條環(huán)形跑道的周長是米.

【例27］如圖所示，甲、乙兩人從長為400米的圓形跑道的A點背向出發(fā)跑步。跑道右半部分（粗線部分）

道路比較泥濘，所以兩人的速度都將減慢，在正常的跑道上甲、乙速度均為每秒8米，而在泥

濘道路上兩人的速度均為每秒4米。兩人一直跑下去，問：他們第99次迎面相遇的地方距A點

還有米。

4

【例28】丁丁和樂樂各拿了一輛玩具甲蟲在400米跑道上進(jìn)行比賽，丁丁的玩具甲蟲每分鐘跑30米，樂

樂的玩具甲蟲每分鐘跑20米，但樂樂帶了一個神秘遙控器，按第一次會使丁丁的玩具甲蟲以原

來速度的10%倒退1分鐘，按第二次會使丁丁的玩具甲蟲以原來速度的20%倒退1分鐘，以此

類推，按第N次，使丁丁的玩具甲蟲以原來的速度的NxlO%倒退1分鐘，然后再按原來的速

度繼續(xù)前進(jìn)，如果樂樂在比賽中最后獲勝，他最少按次遙控器。

【例29】唐老鴨和米老鼠進(jìn)行5000米賽跑.米老鼠的速度是每分鐘125米，唐老鴨的速度是每分鐘100

米.唐老鴨有一種能使米老鼠停止或減速的遙控器，每次使用都能使米老鼠進(jìn)入“麻痹”狀態(tài)1

分鐘，1分鐘后米老鼠就會恢復(fù)正常，遙控器需要1分鐘恢復(fù)能量才能再使用.米老鼠對“麻痹”

狀態(tài)也在逐漸適應(yīng)，第1次進(jìn)入“麻痹”狀態(tài)時，米老鼠會完全停止，米老鼠第2次進(jìn)入“麻痹”

狀態(tài)時，就會有原速度5%的速度，而第3次就有原速度10%的速度……，第20次進(jìn)入“麻痹”

狀態(tài)時已有原速度95%的速度了，這以后米老鼠就再也不會被唐老鴨的遙控器所控制了.唐老

鴨與米老鼠同時出發(fā)，如果唐老鴨要保證不敗，它最晚要在米老鼠跑了多少米的時候第一次使

用遙控器？

【例30】小周開車前往某會議中心，出發(fā)20分鐘后，因為交通堵塞，中途延誤了20分鐘，為了按時到

達(dá)會議中心，小周將車速提高了25%,小周從出發(fā)時算起到達(dá)會議中心共用了多少分鐘？

【例31】如圖，甲、乙分別從A、C兩地同時出發(fā)，勻速相向而行，他們的速度之比為5:4,相遇于8地

后，甲繼續(xù)以原來的速度向C地前進(jìn)，而乙則立即調(diào)頭返回，并且乙的速度比相遇前降低1,

5

這樣當(dāng)乙回到C地時，甲恰好到達(dá)離C地18千米的。處，那么A、C兩地之間的距離是

__________千米。

ABCD

【例32】甲、乙兩車分別從A、8兩地同時出發(fā)相向而行，甲車速度為32千米/時，乙車速度為48千米

/時，它們到達(dá)8地和A地后，甲車速度提高,，乙車速度減少,，它們第一次相遇地點與第二

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次相遇地點相距74千米，那么A、3之間的距離是多少千米？

【例33］上午8點整，甲從A地出發(fā)勻速去B地，8點20分甲與從B地出發(fā)勻速去4地的乙相遇；相遇

后甲將速度提高到原來的3倍，乙速度不變；8點30分，甲、乙兩人同時到達(dá)各自的目的地.那

么，乙從B地出發(fā)時是8點分.

【例34】甲、乙往返于相距1000米的A,3兩地.甲先從A地出發(fā)，6分鐘后乙也從A地出發(fā)，并在距

A地600米的。地追上甲.乙到B地后立即原速向A地返回，甲到B地休息1分鐘后加快速度

向A地返回，并在C地追上乙.問：甲比乙提前多少分鐘回到A地？

【例35】汽車從甲地到乙地，先行上坡，后行下坡，共用9.4小時。如果甲、乙兩地相距450千米，上坡

車速為每小時45千米，下坡車速為每小時50千米，那么原路返回要小時。

【例36］如圖所示，有A、B、C、。四個游樂景點，在連接它們的三段等長的公路回、BC、CD上,

汽車行駛的最高時速限制分別是120千米、40千米和60千米。一輛大巴車從A景點出發(fā)駛向O

景點，到達(dá)。點后立刻返回；一輛中巴同時從。點出發(fā)，駛向8點。兩車相遇在C景點，而當(dāng)

中巴到達(dá)8點時，大巴又回到了C點，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能達(dá)到且被允許

的速度盡量快地行駛，大巴自身所具有的最高時速大于60千米，中巴在與大巴相遇后自身所具

有的最高時速比相遇前提高了12.5%,求大巴客車的最高時速。

ABCD

I_____________I_______________I________________I

【鞏固】從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米；在第二段上,

汽車速度是每小時90千米；在第三段上，汽車速度是每小時50千米.己知第一段公路的長恰

好是第三段的2倍，現(xiàn)有兩汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行，1小時20分后，在第

二段從甲到乙方向的。處相遇.那么，甲、乙兩市相距多少千米？

3

ABECD

【例37】現(xiàn)在甲乙兩輛車往返于相距20千米的A、8兩地，甲車先從A地出發(fā)，9分鐘后乙車也從A地

出發(fā)，并且在距離A地5千米的C地追上甲車。乙車到B地之后立即向A地原速駛回，甲車到

8地休息12分鐘之后加快速度向A地返回，并在C地又將乙車追上。那么最后甲車比乙車提前

多少分鐘到A地？

【例38】甲、乙兩地相距100千米,小張先騎摩托車從甲地出發(fā),1小時后小李駕駛汽車從甲地出發(fā),兩人同

時到達(dá)乙地.摩托車開始速度是每小時50千米,中途減速后為每小時40千米.汽車速度是每小時

80千米，汽車曾在途中停駛10分鐘.那么小張駕駛的摩托車減速是在他出發(fā)后的多少小時？

【例39】甲、乙兩人在400米圓形跑道上進(jìn)行10000米比賽.兩人從起點同時同向出發(fā)，開始時甲的速

度為每秒8米，乙的速度為每秒6米.當(dāng)甲每次追上乙以后，甲的速度每秒減少2米，乙的速

度每秒減少0.5米.這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次從后面追上自己開始，兩人都把自己的速

度每秒增加0.5米，直到終點.那么領(lǐng)先者到達(dá)終點時，另一人距終點多少米？

【例40】如圖214A至8是下坡，8至C是平路，C至。是上坡.小張和小王在上坡時步行速度是每小

時4千米，平路時步行速度是每小時5千米，下坡時步行速度是每小時6千米.小張和小王分

別從A和。同時出發(fā)，1小時后兩人在E點相遇.已知E在8C上，并且E至C的距離是8至

C距離的1.當(dāng)小王到達(dá)A后9分鐘，小張到達(dá)D.那么A至。全程長是多少千米？

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