初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)

Word文檔初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)工作閱歷需要去累積，不斷反思和總結(jié)，能在崗位上更好的去做好工作，取得長進，工作了一段時光，就要去好好的把過往工作總結(jié)好。下面是由我我為大家收拾的《初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)學(xué)問點總結(jié)》。

i.定義與定義表達式

普通地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c

(a，b，c為常數(shù)，a0，且a打算函數(shù)的開口方向，a0時，開口方向向上，a0時，開口方向向下,iai還可以打算開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

ii.二次函數(shù)的三種表達式

普通式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a0)

頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點p(h，k)]

交點式：y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點a(x，0)和b(x，0)的拋物線]

注：在3種形式的相互轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-bb^2-4ac)/2a

iii.二次函數(shù)的圖像

在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

iv.拋物線的性質(zhì)

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。特殊地，當(dāng)b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點p，坐標為：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時，p在y軸上;當(dāng)=b^2-4ac=0時，p在x軸上。

3.二次項系數(shù)a打算拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a0時，拋物線向上開口;當(dāng)a0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同打算對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左;

當(dāng)a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右。

5.常數(shù)項c打算拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0，c)

6.拋物線與x軸交點個數(shù)

=b^2-4ac0時，拋物線與x軸有2個交點。

=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

=b^2-4ac0時，拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(shù)(x=-bb^2-4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，囫圇式子除以2a)

v.二次函數(shù)與一元二次方程

特殊地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)，即ax^2+bx+c=0

此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a0)的圖象外形相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸：

當(dāng)h0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

當(dāng)h0時，則向左平行移動|h|個單位得到.

當(dāng)h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h0,k0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

當(dāng)h0,k0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

因此，討論拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象，通過配方，將普通式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清晰了.這給畫圖象提供了便利.

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a0)的圖象：當(dāng)a0時，開口向上，當(dāng)a0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=ax^2+bx+c(a0)，若a0，當(dāng)x-b/2a時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x-b/2a時，y隨x的增大而增大.若a0，當(dāng)x-b/2a時，y隨x的增大而增大;當(dāng)x-b/2a時，y隨x的增大而減小.

4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);

(2)當(dāng)△=b^2-4ac0，圖象與x軸交于兩點a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a0)的兩根.這兩點間的距離ab=|x-x|

當(dāng)△=0.圖象與x軸惟獨一個交點;

當(dāng)△0.圖象與x軸沒有交點.當(dāng)a0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)時，都有y0;當(dāng)a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值：假如a0(a0)，則當(dāng)x=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值

6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時，可設(shè)解析式為普通形式：

y=ax^2+bx+c(a0).

(2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時，可設(shè)解析式為頂點式：y=a(x-h)^2+k(a0).

(3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設(shè)解析式為兩根式：y=a(x-x)(x-x)(a0).

7.二次函數(shù)學(xué)問很簡單與其它學(xué)問綜合應(yīng)用，而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此，以二次函數(shù)學(xué)問為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式浮現(xiàn).

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高中數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié)——函數(shù)

一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零;

2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零;

3、對數(shù)的真數(shù)大于零;

4、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1;

5、三角函數(shù)正切函數(shù)y=tanx中xk+/2;

6、假如函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。

二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法;2、換元法;3、待定系數(shù)法;4、函數(shù)方程法;5、參數(shù)法;6、配辦法

三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法;2、配辦法;3、判別式法;4、幾何法;5、不等式法;6、單調(diào)性法;7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配辦法;2、換元法;3、不等式法;4、幾何法;5、單調(diào)性法

五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增(減)函數(shù)，則f(x)+g(x)在這個區(qū)間上也為增(減)函數(shù)

2、若f(x)為增(減)函數(shù)，則-f(x)為減(增)函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則f[g(x)]是增函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則f[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、假如一個奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0，假如一個函數(shù)y=f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)=0(反之不成立)

2、兩個奇(偶)函數(shù)之和(差)為奇(偶)函數(shù);之積(商)為偶函數(shù)。

3、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積(商)為奇函數(shù)。

4、兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù);當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。

5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)可以表示為f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。

初中數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié)

第一章圖形的變換

考點一、平移(3~5分)

1、定義

把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的外形和大小徹低相同，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。

2、性質(zhì)

(1)平移不轉(zhuǎn)變圖形的大小和外形，但圖形上的每個點都沿同一方向舉行了移動

(2)銜接各組對應(yīng)點的線段平行(或在同向來線上)且相等。

考點二、軸對稱(3~5分)

1、定義

把一個圖形沿著某條直線折疊，假如它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線成軸對稱，該直線叫做對稱軸。

2、性質(zhì)

(1)關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形。

(2)假如兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線。

(3)兩個圖形關(guān)于某直線對稱，假如它們的對應(yīng)線段或延伸線相交，那么交點在對稱軸上。

3、判定

假如兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱。

4、軸對稱圖形

把一個圖形沿著某條直線折疊，假如直線兩旁的部分能夠相互重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

考點三、旋轉(zhuǎn)(3~8分)

1、定義

把一個圖形繞某一點o轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中o叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、性質(zhì)

(1)對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

考點四、中心對稱(3分)

1、定義

把一個圖形圍著某一個點旋轉(zhuǎn)180，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和本來的圖形相互重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

2、性質(zhì)

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或在同向來線上)且相等。

3、判定

假如兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。

4、中心對稱圖形

把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和本來的圖形相互重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。

考點五、坐標系中對稱點的特征(3分)

1、關(guān)于原點對稱的點的特征

兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點p(x，y)關(guān)于原點的對稱點為p(-x，-y)

2、關(guān)于x軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點p(x，y)關(guān)于x軸的對稱點為p(x，-y)

3、關(guān)于y軸對稱的點的特征

兩個點關(guān)于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點p(x，y)關(guān)于y軸的對稱點為p(-x，y)

其次章圖形的相像

考點一、比例線段(3分)

1、比例線段的相關(guān)概念

假如選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分離為m，n，那么就說這兩條線段的比是，或?qū)懗蒩：b=m：n

在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項，b叫做比的后項。

在四條線段中，假如其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段

若四條a，b，c，d滿足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項，線段的d叫做a，b，c的第四比例項。

假如作為比例內(nèi)項的是兩條相同的線段，即或a：b=b：c，那么線段b叫做線段a，c的比例中項。

2、比例的性質(zhì)

(1)基本性質(zhì)

①a：b=c：dad=bc

②a：b=b：c

(2)更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)

(交換內(nèi)項)

(交換外項)

(同時交換內(nèi)項和外項)

(3)反比性質(zhì)(交換比的前項、后項)：

(4)合比性質(zhì)：

(5)等比性質(zhì)：

3、黃金分割

把線段ab分成兩條線段ac，bc(acbc)，并且使ac是ab和bc的比例中項，叫做把線段ab黃金分割，點c叫做線段ab的黃金分割點，其中ac=ab0.618ab

考點二、平行線分線段成比例定理(3~5分)

三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

推論：

(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延伸線)，所得的對應(yīng)線段成比例。

逆定理：假如一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

(2)平行于三角形一邊且和其他兩邊相交的直線截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例。

考點三、相像三角形(3~8分)

1、相像三角形的概念

對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相像三角形。相像用符號∽來表示，讀作相像于。相像三角形對應(yīng)邊的比叫做相像比(或相像系數(shù))。

2、相像三角形的基本定理

平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延伸線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像。

用數(shù)學(xué)語言表述如下：

∵de∥bc，△ade∽△abc

相像三角形的等價關(guān)系：

(1)反身性：對于任一△abc，都有△abc∽△abc;

(2)對稱性：若△abc∽△abc，則△abc∽△abc

(3)傳遞性：若△abc∽△abc，并且△abc∽△abc，則△abc∽△abc。

3、三角形相像的判定

(1)三角形相像的判定辦法

①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相像

②平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延伸線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像

③判定定理1：假如一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相像，可簡述為兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像。

④判定定理2：假如一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相像，可簡述為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像。

⑤判定定理3：假如一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相像，可簡述為三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像

(2)直角三角形相像的判定辦法

①以上各種判定辦法均適用

②定理：假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相像

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相像。

4、相像三角形的性質(zhì)

(1)相像三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

(2)相像三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相像比

(3)相像三角形周長的比等于相像比

(4)相像三角形面積的比等于相像比的平方。

5、相像多邊形

(1)假如兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相像多邊形。相像多邊形對應(yīng)邊的比叫做相像比(或相像系數(shù))

(2)相像多邊形的性質(zhì)

①相像多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例

②相像多邊形周長的比、對應(yīng)對角線的比都等于相像比

③相像多邊形中的對應(yīng)三角形相像，相像比等于相像多邊形的相像比

④相像多邊形面積的比等于相像比的平方

6、位似圖形

假如兩個圖形不僅是相像圖形，而且每組對應(yīng)點所在直線都經(jīng)過同一個點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，此時的相像比叫做位似比。

性質(zhì)：每一組對應(yīng)點和位似中心在同向來線上，它們到位似中心的距離之比都等于位似比。

由一個圖形得到它的位似圖形的變換叫做位似變換。利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小。

初中數(shù)學(xué)學(xué)問點總結(jié)歸納

一、基本學(xué)問

一、數(shù)與代數(shù)a、數(shù)與式：1、有理數(shù)有理數(shù)：①整數(shù)正整數(shù)/0/負整數(shù)②分數(shù)正分數(shù)/負分數(shù)

數(shù)軸：①畫一條水平直線，在直線上取一點表示0(原點)，選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。③假如兩個數(shù)惟獨符號不同，那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù)，也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù)。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，位于原點的兩側(cè)，并且與原點距離相等。④數(shù)軸上兩個點表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)。

肯定值：①在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點與原點的距離叫做該數(shù)的肯定值。②正數(shù)的肯定值是他的本身、負數(shù)的肯定值是他的相反數(shù)、0的肯定值是0。兩個負數(shù)比較大小，肯定值大的反而小。

有理數(shù)的運算：加法：①同號相加，取相同的符號，把肯定值相加。②異號相加，肯定值相等時和為0;肯定值不等時，取肯定值較大的數(shù)的符號，并用較大的肯定值減去較小的肯定值。③一個數(shù)與0相加不變。

減法：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

乘法：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，肯定值相乘。②任何數(shù)與0相乘得0。③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。

除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù)。②0不能作除數(shù)。

乘方：求n個相同因數(shù)a的積的運算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪，a叫底數(shù)，n叫次數(shù)。

混合挨次：先算乘法，再算乘除，最后算加減，有括號要先算括號里的。

2、實數(shù)無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)

平方根：①假如一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。②假如一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根。③一個正數(shù)有2個平方根/0的平方根為0/負數(shù)沒有平方根。④求一個數(shù)a的平方根運算，叫做開平方，其中a叫做被開方數(shù)。

立方根：①假如一個數(shù)x的立方等于a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根。②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負數(shù)的立方根是負數(shù)。③求一個數(shù)a的立方根的運算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)。

實數(shù)：①實數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù)。②在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)，倒數(shù)，肯定值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)，倒數(shù)，肯定值的意義徹低一樣。③每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點來表示。

3、代數(shù)式

代數(shù)式：單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

合并同類項：①所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項，叫做同類項。②把同類項合并成一項就叫做合并同類項。③在合并同類項時，我們把同類項的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。

4、整式與分式

整式：①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項式，幾個單項式的和叫多項式，單項式和多項式統(tǒng)稱整式。②一個單項式中，全部字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù)。③一個多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)叫做這個多項式的次數(shù)。

整式運算：加減運算時，假如碰到括號先去括號，再合并同類項。

冪的運算：am+an=a(m+n)

(am)n=amn

(a/b)n=an/bn除法一樣。

整式的乘法：①單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母的冪分離相乘，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式。②單項式與多項式相乘，就是按照分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。③多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

公式兩條：平方差公式/徹低平方公式

整式的除法：①單項式相除，把系數(shù)，同底數(shù)冪分離相除后，作為商的因式;對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式。②多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分離除以單項式，再把所得的商相加。

分解因式：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項式分解因式。

辦法：提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法。

分式：①整式a除以整式b，假如除式b中含有分母，那么這個就是分式，對于任何一個分式，分母不為0。②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式，分式的值不變。

分式的運算：

乘法：把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。

除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數(shù)。

加減法：①同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。②異分母的分式先通分，化為同分母的分式，再加減。

分式方程：①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程。②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根。

b、方程與不等式

1、方程與方程組

一元一次方程：①在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫一元一次方程。②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以(不為0)一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式。

解一元一次方程的步驟：去分母，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1。

二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程的解。

解二元一次方程組的辦法：代入消元法/加減消元法。

一元二次方程：惟獨一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的項的最高系數(shù)為2的方程

1)一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系

大家已經(jīng)學(xué)過二次函數(shù)(即拋物線)了，對他也有很深的了解，好似解法，在圖象中表示等等，其實一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示，其實一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特別狀況，就是當(dāng)y的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了。那假如在平面直角坐標系中表示出來，一元二次方程就是二次函數(shù)中，圖象與x軸的交點。也就是該方程的解了

2)一元二次方程的解法

大家知道，二次函數(shù)有頂點式(-b/2a,4ac-b2/4a)，這大家要記住，很重要，由于在上面已經(jīng)說過了，一元二次方程也是二次函數(shù)的一部分，所以他也有自己的一個解法，利用他可以求出全部的一元一次方程的解

(1)配辦法

利用配方，使方程變?yōu)閺氐推椒焦?，在用直接開平辦法去求出解

(2)分解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的時候也一樣，利用這點，把方程化為幾個乘積的形式去解

(3)公式法

這辦法也可以是在解一元二次方程的萬能辦法了，方程的根x1={-b+[b2-4ac)]}/2a，x2={-b-[b2-4ac)]}/2a

3)解一元二次方程的步驟：

(1)配辦法的步驟：

先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成徹低平方公式

(2)分解因式法的步驟：

把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘，假如可以，就可以化為乘積的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系數(shù)分離代入，這里二次項的系數(shù)為a，一次項的系數(shù)為b，常數(shù)項的系數(shù)為c

4)韋達定理

利用韋達定理去了解，韋達定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之積=c/a

也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韋達定理，可以求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很常用

5)一元一次方程根的狀況

利用根的判別式去了解，根的判別式可在書面上可以寫為△，讀作diaota，而△=b2-4ac，這里可以分為3種狀況：

i當(dāng)△0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根;

ii當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根;

iii當(dāng)△0時，一元二次方程沒有實數(shù)根(在這里，學(xué)到高中就會知道，這里有2個虛數(shù)根)

2、不等式與不等式組

不等式：①用符號〉，=，〈號銜接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)，不等號方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個含有未知數(shù)的不等式的全部解，組成這個不等式的解集。③求不等式解集的過程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

一元一次不等式的符號方向：

在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號是不變的，他是隨著你加或乘的運算轉(zhuǎn)變。

在不等式中，假如加上同一個數(shù)(或加上一個正數(shù))，不等式符號不改向;例如：ab,a+cb+c

在不等式中，假如減去同一個數(shù)(或加上一個負數(shù))，不等式符號不改向;例如：ab，a-cb-c

在不等式中，假如乘以同一個正數(shù)，不等號不改向;例如：ab，acbc(c0)

在不等式中，假如乘以同一個負數(shù)，不等號改向;例如：ab，ac

假如不等式乘以0，那么不等號改為等號

所以在題目中，要求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否浮現(xiàn)一元一次不等式，假如浮現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為0，否則不等式不成立;

3、函數(shù)

變量：因變量，自變量。

在用圖象表示變量之間的關(guān)系時，通常用水平方向的數(shù)軸上的點自變量，用豎直方向的數(shù)軸上的點表示因變量。

一次函數(shù)：①若兩個變量x，y間的關(guān)系式可以表示成y=kx+b(b為常數(shù)，k不等于0)的形式，則稱y是x的一次函數(shù)。②當(dāng)b=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。

一次函數(shù)的圖象：①把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分離作為點的橫坐標與縱坐標，在直角坐標系內(nèi)描出它的對應(yīng)點，全部這些點組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。②正比例函數(shù)y=kx的圖象是經(jīng)過原點的一條直線。③在一次函數(shù)中，當(dāng)k〈0，b〈o，則經(jīng)234象限;當(dāng)k〈0，b〉0時，則經(jīng)124象限;當(dāng)k〉0，b〈0時，則經(jīng)134象限;當(dāng)k〉0，b〉0時，則經(jīng)123象限。④當(dāng)k〉0時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)x〈0時，y的值隨x值的增大而削減。

二空間與圖形

a、圖形的熟悉

1、點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構(gòu)成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

綻開與折疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側(cè)棱是相鄰兩個側(cè)面的交線，棱柱的全部側(cè)棱長相等，棱柱的上下底面的外形相同，側(cè)面的外形都是長方體。②n棱柱就是底面圖形有n條邊的棱柱。

截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

視圖：主視圖，左視圖，鳥瞰圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧、扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2、角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延伸就形成了射線。射線惟獨一個端點。③將線段的兩端無限延伸就形成了直線。直線沒有端點。④經(jīng)過兩點有且惟獨一條直線。

比較長短：①兩點之間的全部連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線圍著他的端點旋轉(zhuǎn)而成的。②一條射線圍著他的端點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。②經(jīng)過直線外一點，有且惟獨一條直線與這條直線平行。③假如兩條直線都與第3條直線平行，那么這兩條直線相互平行。

垂直：①假如兩條直線相交成直角，那么這兩條直線相互垂直。②相互垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內(nèi)，過一點有且惟獨一條直線與已知直線垂直。

垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線。

垂直平分線垂直平分的一定是線段，不能是射線或直線，這按照射線和直線可以無限延伸有關(guān)，再看后面的，垂直平分線是一條直線，所以在畫垂直平分線的時候，確定了2點后(關(guān)于畫法，后面會講)一定要把線段穿出2點。

垂直平分線定理：

性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點到該線段兩端點的距離相等;

判定定理：到線段2端點距離相等的點在這線段的垂直平分線上

角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線。

定義中有幾個要點要注重一下的，就是角的角平分線是一條射線，不是線段也不是直線，無數(shù)時，在題目中會浮現(xiàn)直線，這是角平分線的對稱軸才會用直線的，這也涉及到軌跡的問題，一個角個角平分線就是到角兩邊距離相等的點

性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等

判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上

正方形：一組鄰邊相等的矩形是正方形

性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)

判定：1、對角線相等的菱形2、鄰邊相等的矩形

二、基本定理

1、過兩點有且惟獨一條直線

2、兩點之間線段最短

3、同角或等角的補角相等

4、同角或等角的余角相等

5、過一點有且惟獨一條直線和已知直線垂直

6、直線外一點與直線上各點銜接的全部線段中，垂線段最短

7、平行公理經(jīng)過直線外一點，有且惟獨一條直線與這條直線平行

8、假如兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也相互平行

9、同位角相等，兩直線平行

10、內(nèi)錯角相等，兩直線平行

11、同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

12、兩直線平行，同位角相等

13、兩直線平行，內(nèi)錯角相等

14、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

15、定理三角形兩邊的和大于第三邊

16、推論三角形兩邊的差小于第三邊

17、三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180

18、推論1直角三角形的兩個銳角互余

19、推論2三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和

20、推論3三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角

21、全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等

22、邊角邊公理(sas)有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

23、角邊角公理(asa)有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

24、推論(aas)有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

25、邊邊邊公理(sss)有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

26、斜邊、直角邊公理(hl)有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

27、定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

28、定理2到一個角的兩邊的距離相同的點，在這個角的平分線上

29、角的平分線是到角的兩邊距離相等的全部點的集合

30、等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個底角相等(即等邊對等角)

31、推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合

33、推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60

34、等腰三角形的判定定理假如一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35、推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36、推論2有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形

37、在直角三角形中，假如一個銳角等于30那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39、定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40、逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41、線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的全部點的集合

42、定理1關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43、定理2假如兩個圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

44、定理3兩個圖形關(guān)于某直線對稱，假如它們的對應(yīng)線段或延伸線相交，那么交點在對稱軸上

45、逆定理假如兩個圖形的對應(yīng)點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱

46、勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理假如三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形

48、定理四邊形的內(nèi)角和等于360

49、四邊形的外角和等于360

50、多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)180

51、推論隨意多邊的外角和等于360

52、平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對角相等

53、平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對邊相等

54、推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55、平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對角線相互平分

56、平行四邊形判定定理1兩組對角分離相等的四邊形是平行四邊形

57、平行四邊形判定定理2兩組對邊分離相等的四邊形是平行四邊形

58、平行四邊形判定定理3對角線相互平分的四邊形是平行四邊形

59、平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60、矩形性質(zhì)定理1矩形的四個角都是直角

61、矩形性質(zhì)定理2矩形的對角線相等

62、矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形

63、矩形判定定理2對角線相等的平行四邊形是矩形

64、菱形性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

65、菱形性質(zhì)定理2菱形的對角線相互垂直，并且每一條對角線平分一組對角

66、菱形面積=對角線乘積的一半，即s=(ab)2

67、菱形判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

68、菱形判定定理2對角線相互垂直的平行四邊形是菱形

69、正方形性質(zhì)定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等

70、正方形性質(zhì)定理2正方形的兩條對角線相等，并且相互垂直平分，每條對角線平分一組對角

71、定理1關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等的

72、定理2關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分

73、逆定理假如兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱

74、等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個角相等

75、等腰梯形的兩條對角線相等

76、等腰梯形判定定理在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形

77、對角線相等的梯形是等腰梯形

78、平行線等分線段定理假如一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等

79、推論1經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線，必平分另一腰

80、推論2經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線，必平分第三邊

81、三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

82、梯形中位線定理梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半l=(a+b)2s=lh

83、(1)比例的基本性質(zhì)：假如a:b=c:d,那么ad=bc假如ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性質(zhì)：假如a/b=c/d,那么(ab)/b=(cd)/d

85、(3)等比性質(zhì)：假如a/b=c/d==m/n(b+d++n0),

那么(a+c++m)/(b+d++n)=a/b

86、平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例

87、推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延伸線)，所得的對應(yīng)線段成比例

88、定理假如一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延伸線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊

89、平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例

90、定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延伸線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像

91、相像三角形判定定理1兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像(asa)

92、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相像

93、判定定理2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像(sas)

94、判定定理3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像(sss)

95、定理假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相像

96、性質(zhì)定理1相像三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相像比

97、性質(zhì)定理2相像三角形周長的比等于相像比

98、性質(zhì)定理3相像三角形面積的比等于相像比的平方

99、隨意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，隨意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值

100、隨意銳角的正切值等于它的余角的余切值，隨意銳角的余切值等于它的余角的正切值

101、圓是定點的距離等于定長的點的集合

102、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合

103、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合

104、同圓或等圓的半徑相等

105、到定點的距離等于定長的點的軌跡，是以定點為圓心，定長為半徑的圓

106、和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡，是著條線段的垂直平分線

107、到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡，是這個角的平分線

108、到兩條平行線距離相等的點的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109、定理不在同向來線上的三點確定一個圓。

110、垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧

111、推論1

①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

112、推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等

113、圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形

114、定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等

115、推論在同圓或等圓中，假如兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應(yīng)的其余各組量都相等

116、定理一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半

117、推論1同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等

118、推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑

119、推論3假如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形

120、定理圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角

121、①直線l和⊙o相交d

②直線l和⊙o相切d=r

③直線l和⊙o相離dr

122、切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

123、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

124、推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

125、推論2經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126、切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

127、圓的外切四邊形的兩