概率統(tǒng)計(jì)學(xué)-統(tǒng)計(jì)量的分布

概率統(tǒng)計(jì)學(xué)—統(tǒng)計(jì)量的分布匯報(bào)人：AA2024-01-25CONTENTS統(tǒng)計(jì)量及其分布概述樣本均值與方差分布順序統(tǒng)計(jì)量及其分布充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量指數(shù)族分布下統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)大樣本近似分布與中心極限定理統(tǒng)計(jì)量及其分布概述01性質(zhì)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，不依賴(lài)于任何未知參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量通常用于進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)等統(tǒng)計(jì)推斷。統(tǒng)計(jì)量的分布可以用來(lái)描述樣本數(shù)據(jù)的分布特性。定義：統(tǒng)計(jì)量是基于樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得出的一個(gè)數(shù)值，用于描述樣本特征或推斷總體參數(shù)。統(tǒng)計(jì)量定義與性質(zhì)常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量類(lèi)型樣本方差樣本比例表示樣本數(shù)據(jù)的離散程度。表示某一特定屬性在樣本中出現(xiàn)的頻率。樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本矩表示樣本數(shù)據(jù)的平均水平。方差的平方根，也用于描述數(shù)據(jù)離散程度。描述樣本數(shù)據(jù)分布形態(tài)的特征數(shù)，如偏度、峰度等。分布概念及意義分布概念：分布是指統(tǒng)計(jì)量取值的概率分布，即統(tǒng)計(jì)量所有可能取值的概率描述。意義通過(guò)統(tǒng)計(jì)量的分布，可以了解樣本數(shù)據(jù)的分布特性。分布是連接樣本數(shù)據(jù)和總體參數(shù)的橋梁，是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。不同的統(tǒng)計(jì)量具有不同的分布形式，了解這些分布有助于選擇合適的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析。樣本均值與方差分布02樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)01樣本均值的期望值等于總體均值，即樣本均值是總體均值的無(wú)偏估計(jì)。樣本均值的方差與樣本量成反比02隨著樣本量的增加，樣本均值的方差逐漸減小，即樣本均值逐漸趨近于總體均值。樣本均值服從正態(tài)分布03當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，無(wú)論樣本量大小，樣本均值都服從正態(tài)分布；當(dāng)總體分布非正態(tài)時(shí)，隨著樣本量的增加，樣本均值的分布逐漸趨近于正態(tài)分布。樣本均值分布特點(diǎn)03樣本方差具有可加性當(dāng)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的方差存在時(shí)，它們的和的方差等于各自方差的和。01樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)樣本方差的期望值等于總體方差，即樣本方差是總體方差的無(wú)偏估計(jì)。02樣本方差的分布與樣本量和總體分布有關(guān)當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時(shí)，樣本方差的分布與卡方分布有關(guān)；當(dāng)總體分布非正態(tài)時(shí)，樣本方差的分布可能較為復(fù)雜。樣本方差分布性質(zhì)樣本均值與樣本方差的關(guān)系在正態(tài)分布中，樣本均值與樣本方差是相互獨(dú)立的，即一個(gè)的變化不會(huì)影響另一個(gè)。但在非正態(tài)分布中，這種獨(dú)立性可能不成立。樣本均值與總體均值、樣本方差與總體方差的關(guān)系樣本均值和樣本方差分別是總體均值和總體方差的無(wú)偏估計(jì)，隨著樣本量的增加，它們逐漸趨近于相應(yīng)的總體參數(shù)。樣本量對(duì)二者關(guān)系的影響隨著樣本量的增加，樣本均值和樣本方差的分布逐漸趨近于正態(tài)分布和卡方分布（或相應(yīng)的漸近分布），這使得在大樣本情況下，可以利用這些分布的性質(zhì)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷。二者關(guān)系探討順序統(tǒng)計(jì)量及其分布03定義：設(shè)$X_1,X_2,...,X_n$是來(lái)自總體$X$的樣本，$x_1,x_2,...,x_n$是樣本觀測(cè)值。將$x_1,x_2,...,x_n$按照從小到大的順序排列為$x_{(1)}leqx_{(2)}leq...leqx_{(n)}$，則稱(chēng)$X_{(1)},X_{(2)},...,X_{(n)}$為$X_1,X_2,...,X_n$的順序統(tǒng)計(jì)量。性質(zhì)$X_{(1)}=min{X_1,X_2,...,X_n}$，$X_{(n)}=max{X_1,X_2,...,X_n}$；$E(X_{(k)})$隨著$k$的增加而增加；$D(X_{(k)})$隨著$k$的增加先增加后減少。0102030405順序統(tǒng)計(jì)量定義和性質(zhì)對(duì)于連續(xù)型總體，順序統(tǒng)計(jì)量的分布可以通過(guò)以下步驟求解求出總體$X$的分布函數(shù)$F(x)$；對(duì)于第$k$個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量$X_{(k)}$，其分布函數(shù)為$F_{X_{(k)}}(x)=sum_{i=k}^{n}C_{n}^{i}[F(x)]^{i}[1-F(x)]^{n-i}$；順序統(tǒng)計(jì)量分布求解方法對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)，得到順序統(tǒng)計(jì)量的概率密度函數(shù)。對(duì)于離散型總體，順序統(tǒng)計(jì)量的分布可以通過(guò)以下步驟求解求出總體$X$的分布律；對(duì)于第$k$個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量$X_{(k)}$，其分布律為$P{X_{(k)}=x}=frac{C_{k-1}^{m-1}C_{n-k}^{N-m-1}}{C_{n}^{N}}$，其中$m$是總體中取值為$x$的個(gè)數(shù)，$N$是總體的個(gè)數(shù)。順序統(tǒng)計(jì)量分布求解方法在質(zhì)量控制中，經(jīng)常需要了解一批產(chǎn)品中最小或最大壽命的分布情況，這時(shí)就需要用到順序統(tǒng)計(jì)量的分布；在醫(yī)學(xué)研究中，經(jīng)常需要了解某種指標(biāo)（如血壓、血糖等）在人群中的分布情況，這時(shí)可以通過(guò)順序統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)該指標(biāo)在人群中的百分位數(shù)；在金融領(lǐng)域中，經(jīng)常需要了解一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，這時(shí)可以通過(guò)計(jì)算順序統(tǒng)計(jì)量的方差或標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)估計(jì)數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度。應(yīng)用舉例充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量043.不變性在某些變換下，充分統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)保持不變。定義充分統(tǒng)計(jì)量是指包含樣本中所有關(guān)于總體參數(shù)的信息的統(tǒng)計(jì)量。即，如果給定充分統(tǒng)計(jì)量的值，樣本的其他信息對(duì)于總體參數(shù)的推斷是無(wú)關(guān)的。1.信息壓縮充分統(tǒng)計(jì)量能夠壓縮樣本中的所有有用信息，不損失任何關(guān)于總體參數(shù)的信息。2.獨(dú)立性如果統(tǒng)計(jì)量是充分的，那么給定這個(gè)統(tǒng)計(jì)量的值，樣本的其他部分與總體參數(shù)是獨(dú)立的。充分統(tǒng)計(jì)量定義和性質(zhì)完備統(tǒng)計(jì)量定義和性質(zhì)定義完備統(tǒng)計(jì)量是指不能被任何其他同分布的統(tǒng)計(jì)量所替代的統(tǒng)計(jì)量，即它包含了所有可能從樣本中獲取的有關(guān)總體分布的信息。1.唯一性完備統(tǒng)計(jì)量是唯一的，沒(méi)有其他統(tǒng)計(jì)量能夠包含同樣多的信息。2.充分性完備統(tǒng)計(jì)量一定是充分的，因?yàn)樗怂锌赡艿男畔ⅰ?.不可壓縮性無(wú)法從完備統(tǒng)計(jì)量中進(jìn)一步提取有關(guān)總體參數(shù)的信息，而不損失信息的完整性。聯(lián)系1.完備統(tǒng)計(jì)量一定是充分的，因?yàn)樗怂锌赡艿男畔ⅰ?.充分統(tǒng)計(jì)量可能是完備的，也可能不是，這取決于它是否包含了所有可能的信息。二者關(guān)系探討輸入標(biāo)題02010403二者關(guān)系探討區(qū)別3.在某些情況下，一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量可能不是完備的，因?yàn)樗赡軟](méi)有包含所有可能的信息。2.充分統(tǒng)計(jì)量可以有多個(gè)，而完備統(tǒng)計(jì)量是唯一的。1.充分性關(guān)注的是統(tǒng)計(jì)量是否包含了所有關(guān)于總體參數(shù)的信息，而完備性關(guān)注的是統(tǒng)計(jì)量是否包含了所有可能從樣本中獲取的有關(guān)總體分布的信息。指數(shù)族分布下統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)05

指數(shù)族分布概述定義指數(shù)族分布是一類(lèi)具有特定形式的概率分布，其概率密度函數(shù)或概率質(zhì)量函數(shù)可以表示為指數(shù)形式。特點(diǎn)指數(shù)族分布具有許多良好的性質(zhì)，如共軛性、可加性、可乘性等，這些性質(zhì)使得指數(shù)族分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)中得到廣泛應(yīng)用。常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)的指數(shù)族分布包括正態(tài)分布、泊松分布、指數(shù)分布、二項(xiàng)分布、多項(xiàng)分布等。指數(shù)族下常見(jiàn)統(tǒng)計(jì)量性質(zhì)充分統(tǒng)計(jì)量對(duì)于指數(shù)族分布，通常存在一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量，該統(tǒng)計(jì)量包含了樣本中所有與未知參數(shù)相關(guān)的信息。共軛性指數(shù)族分布具有共軛性，即當(dāng)先驗(yàn)分布和似然函數(shù)都屬于指數(shù)族時(shí)，后驗(yàn)分布也屬于同一指數(shù)族。完備性指數(shù)族分布通常具有完備性，即對(duì)于任意兩個(gè)不同的參數(shù)值，都存在一個(gè)統(tǒng)計(jì)量能夠區(qū)分它們?？杉有院涂沙诵灾笖?shù)族分布具有可加性和可乘性，即當(dāng)多個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量服從同一指數(shù)族分布時(shí)，它們的和或積仍然服從該指數(shù)族分布。線性回歸中的正態(tài)分布假設(shè)在線性回歸模型中，通常假設(shè)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，而正態(tài)分布是指數(shù)族分布的一種。因此，可以利用指數(shù)族分布的性質(zhì)對(duì)線性回歸模型進(jìn)行推斷和參數(shù)估計(jì)。泊松回歸中的泊松分布假設(shè)在泊松回歸模型中，響應(yīng)變量服從泊松分布，而泊松分布也是指數(shù)族分布的一種。因此，可以利用指數(shù)族分布的性質(zhì)對(duì)泊松回歸模型進(jìn)行推斷和參數(shù)估計(jì)。貝葉斯統(tǒng)計(jì)中的共軛先驗(yàn)在貝葉斯統(tǒng)計(jì)中，通常選擇共軛先驗(yàn)作為參數(shù)的先驗(yàn)分布。由于指數(shù)族分布的共軛性，當(dāng)似然函數(shù)屬于指數(shù)族時(shí)，選擇共軛先驗(yàn)可以簡(jiǎn)化后驗(yàn)分布的計(jì)算。應(yīng)用舉例大樣本近似分布與中心極限定理06當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，樣本統(tǒng)計(jì)量的分布可以用某種已知的分布來(lái)近似，這種已知的分布稱(chēng)為大樣本近似分布。大樣本近似分布的存在使得在樣本量足夠大的情況下，我們可以利用已知的分布性質(zhì)對(duì)樣本統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行推斷和分析，簡(jiǎn)化了統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程。大樣本近似分布概念及意義意義大樣本近似分布中心極限定理內(nèi)容：設(shè)從均值為μ、方差為σ^2（有限）的任意一個(gè)總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ^2/n的正態(tài)分布。1.樣本量n必須足夠大。應(yīng)用條件2.總體分布不要求正態(tài)，但若有嚴(yán)重偏態(tài)或異常值，會(huì)影響近似效果。9字9字9字9字中心極限定理內(nèi)容及應(yīng)用條件要點(diǎn)三例1質(zhì)量控制：在制造業(yè)中，經(jīng)常需要檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)是否合格。通過(guò)抽取大量樣本，計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差，利用中心極限定理，可以判斷該批產(chǎn)品的質(zhì)量是否穩(wěn)定。要點(diǎn)一要點(diǎn)二例2民意調(diào)查：在