解的存在唯一性定理和

第三章一階微分方程解的

存在唯一性定理Existence&UniquenessTheorem

ofFirst-OrderODE2024/2/11常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人

第三章一階微分方程解的存在唯一性定理

/Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE/

解的存在唯一性定理與逐步逼近法

解的一般性質(zhì)

奇解*

近似計(jì)算和誤差估計(jì)2024/2/12常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人研究對(duì)象主要問題存在性，存在區(qū)間？唯一性？延拓性，最大存在區(qū)間？初值微小變動(dòng)時(shí)，解的變化情況？本章要求

掌握逐步逼近方法的基本思想

會(huì)用解的存在唯一性和延拓定理解決具體問題Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE

2024/2/13常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人

深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論

理解解的一般性質(zhì)

掌握求奇解的兩個(gè)方法

利用逐步逼近序列進(jìn)行似計(jì)算和誤差估計(jì)

掌握逐步逼近方法的本思想解的延拓解對(duì)初值的連續(xù)依賴性和可微性本章要求/Requirements/Ch.3Existence&UniquenessTheoremofFirst-OrderODE

2024/2/14常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人§3.1解的存在唯一性定理和

逐步逼近法

/Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod/概念和定義存在唯一性定理內(nèi)容提要/ConstantAbstract/§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/16常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人本節(jié)要求/Requirements/

掌握逐步逼近方法的本思想

深刻理解解的存在唯一性定理的條件與結(jié)論§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/17常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人一、概念與定義/ConceptandDefinition/1.一階方程的初值問題(Cauchyproblem)表示§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/18常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人2.利普希茲條件

函數(shù)稱為在矩形域:…………(3.1.5)關(guān)于y

滿足利普希茲(Lipschitz)條件，如果存在常數(shù)L>0使得不等式對(duì)所有都成立。L

稱為利普希茲常數(shù)?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/19常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人二、存在唯一性定理

定理1如果f(x,y)

在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件,則方程(3.1.1)存在唯一的連續(xù)解定義在區(qū)間,且滿足初始條件這里§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/110常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人定理1的證明需要證明五個(gè)命題：

命題1求解微分方程的初值問題等價(jià)于求解一個(gè)積分方程

命題2構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的逐步逼近序列

命題3證明此逐步逼近序列一致收斂

命題4證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解

命題5證明唯一性§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/111常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人定理1的證明命題1

設(shè)是初值問題的解的充要條件是是積分方程……(3.1.6)的定義于上的連續(xù)解。證明:微分方程的初值問題的解滿足積分方程（3.1.6）。積分方程（3.1.6）的連續(xù)解是微分方程的初值問題的解。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/112常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人證明因?yàn)槭欠匠?3.1.1)的解，故有:兩邊從積分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是積分方程在上的連續(xù)解.§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/113常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人反之，如果是(3.1.6)的連續(xù)解，則有：………(3.1.8)微分之，得到:又把

代入(3.1.8)，得到:因此，是方程(3.1.1)定義于上，且滿足初始條件(3.1.2)的解。命題1證畢.同理，可證在也成立?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/114常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人現(xiàn)在取，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下:§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/115常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/116常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人命題2

對(duì)于所有的(3.1.9)中函數(shù)在上有定義、連續(xù)，即滿足不等式:證明:

（只在正半?yún)^(qū)間來證明，另半?yún)^(qū)間的證明類似）當(dāng)n=1

時(shí),§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/117常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人即命題2當(dāng)n=1時(shí)成立?，F(xiàn)在用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任何正整數(shù)n

，命題2都成立。即當(dāng)n=k

時(shí)，在也就是滿足不等式在上有定義,連續(xù)上有定義，連續(xù)，而當(dāng)n=k+1

時(shí)，上有定義，連續(xù)。在§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/118常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人

即命題２在n=k＋１時(shí)也成立。由數(shù)學(xué)歸納法得知命題２對(duì)于所有n

均成立。命題３在上是一致收斂的。命題２證畢函數(shù)序列考慮級(jí)數(shù):它的部分和為：§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/119常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人為此，進(jìn)行如下的估計(jì)，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/120常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,不等式成立，于是，由數(shù)學(xué)歸納法得到：對(duì)于所有的正整數(shù)k，有如下的估計(jì):§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/121常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人由此可知，當(dāng)時(shí)(3.1.14)的右端是正項(xiàng)收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，由維爾斯特拉斯(Weierstrass)判別法(簡(jiǎn)稱維氏判別法),級(jí)數(shù)(3.1.11)在上一致收斂,因而序列也在上一致收斂。命題3證畢§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/122常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人則也在又可知現(xiàn)設(shè)上連續(xù)，且由(3.1.10)命題4

是積分方程(3.1.6)的定義于證明:由利普希茲條件以及在上一致收斂于上的連續(xù)解?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/123常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人因而，對(duì)(3.1.9)兩邊取極限,得到:即即知序列在一致收斂這就是說,是積分方程(3.1.16)的定義于上的連續(xù)解。命題4證畢§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/124常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人命題5也是積分方程(3.1.6)的定義于

上的一個(gè)連續(xù)解,則證明若首先證明也是序列的一致收斂極限函數(shù)。為此，從進(jìn)行如下的估計(jì)§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/125常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人現(xiàn)設(shè)則有§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/126常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人有故由數(shù)學(xué)歸納法得知對(duì)于所有的正整數(shù)n

，有下面的估計(jì)式§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/127常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人因此，在上有:是收斂級(jí)數(shù)的公項(xiàng),故時(shí)因而在上一致收斂于根據(jù)極限的唯一性，即得:命題5證畢綜合命題1-5，即得到存在唯一性定理的證明?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/128常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人例求初值問題的第三次近似解?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/129常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人附注/Remark/1）如果在R

上存在且連續(xù),則f(x,y)

在R上關(guān)于

y

滿足利普希茲條件，反之不成立。證在R上連續(xù)，則在R上有界，記為L(zhǎng)由中值定理故

f(x,y)

在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件。§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/130常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人這條件是充分條件，而非必要條件。例1R為中心在原點(diǎn)的矩形域但故

f(x,y)

在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件。在R上存在且有界

f(x,y)

在R上關(guān)于y滿足利普希茲條件。在R上存在且無界

f(x,y)

在R上關(guān)于y不滿足利普希茲條件?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/131常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人2)定理1中的兩個(gè)條件是保證CauchyP存在唯一的充分條件，而非必要條件。例2

當(dāng)連續(xù)條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。f(x,y)

在以原點(diǎn)為中心的矩形域中不連續(xù)，但解存在唯一§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/132常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人例3

當(dāng)Lipscitz條件不滿足時(shí)，解也可能存在唯一。f(x,y)

在(x,0)的任何鄰域內(nèi)不滿足Lipscitz條件，但解存在唯一不可能有界§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/133常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人xy§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/134常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人

例4

設(shè)方程(3.1)為線性方程則當(dāng)P(x),Q(x)

在區(qū)間上連續(xù)，則由任一初值所確定的解在整個(gè)區(qū)間上都存在。3）若f(x,y)在帶域中連續(xù)，且對(duì)y滿足Lipschitz條件，則在整個(gè)區(qū)間中存在唯一滿足條件的方程的解。記§3.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/135常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人4)一階隱式方程的解的存在唯一性定理2如果在點(diǎn)的某一鄰域中，對(duì)所有的變?cè)B續(xù)，且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；則上述初值問題的解在的某一鄰域存在?！?.1Existence&UniquenessTheorem&ProgressiveMethod2024/2/136常微分方程-重慶科技學(xué)院-李可人事實(shí)上，由條件知所確定的隱函數(shù)在鄰域內(nèi)存在且連續(xù)，且在鄰域內(nèi)連續(xù)，在以為中心的某一閉矩形區(qū)域D中有界，所以f(x,y)在D中關(guān)于y滿足L