高等量子力學14-2

§14-2密度算符和密度矩陣希望找到一個單一的數學量描寫混合態(tài)就是密度算符定義

對于純態(tài)以前，用Hilbert空間的一個矢量描寫狀態(tài)現(xiàn)在，找另一種描寫純態(tài)的量A在態(tài)中的平均值：1歸一化！(14.5)式中完全決定于密度算符歸一化物理量A在態(tài)中取值的概率：(14.6)(14.7)在本征態(tài)中的平均值由(14.5)、(14.7)知道：對于純態(tài)，

凡是能用給出的信息替代描寫純態(tài)

現(xiàn)在用也可給出另一種數學量

對于混合態(tài)(14.8)求物理量A在該混合態(tài)中的平均值兩次平均手續(xù)：①QM平均②統(tǒng)計物理平均求出各量子平均的不同概率出現(xiàn)時的平均(14.9)式中(14.10)混合態(tài)的密度算符(或統(tǒng)計算符),是參與混合的那些純態(tài)的密度算符的加權平均物理量A在混合態(tài)中取值的概率：QM的概率統(tǒng)計物理的概率(14.11)對比：純態(tài)混合態(tài)(14.9)(14.11)(14.10)(14.5)(14.7)(14.6)找到描寫混合態(tài).是Hilbert空間中的算符,比用(14.8)表示混合態(tài)方便.可以看到,純態(tài)是混合態(tài)的特例,例如,對于(14.8)當時,混合態(tài)純態(tài).

劉維(Liouville)方程

在HP,

在SP,不含t不含t(14.12)(14.13)則

密度算符的運動方程，稱劉維方程.注意與海森伯方程不同：(11.23)(14.14)

運用劉維方程計算不含t的物理量在混合態(tài)的平均值

隨t的變化：(14.9)(4.21)(14.14)(○)(4.21)(○)ABBA(4.21)(○)(4.21)(14.9)(14.15)

正是對海森伯方程在混合態(tài)中求平均值.

密度矩陣密度算符在具體表象中的矩陣不含t,在HP

K表象(基矢)中的密度矩陣：對角矩陣,對角元是相應本征態(tài)中的權重(14.16)若參加構成混合態(tài)的都是K的本征態(tài)含t,在SP對情況的驗證：又若K=X位置表象,則連續(xù)矩陣(14.17)(14.18)密度矩陣的一些性質混合態(tài)(14.19)通常系統(tǒng)的哈密頓的各個本征態(tài).基矢,但有簡并時,未必互相.互相下面的討論和證明中,不一定,但歸一化.線性無關純態(tài)是混合態(tài)(14.19)取的特例.討論密度算符的跡,有對純態(tài)混合態(tài)PF:1[]上式[]中只要i,j不是只有一個值(純態(tài)),則(1.1)當(若二態(tài),則=0)(1.1)于是[]中:(混合態(tài))對純態(tài),,于是(純態(tài))[#]上述證明不論是否兩兩正交,都成立.

由(14.19)密度算符具有厄米性:對(14.19)若，則的,即本征矢本征值(14.22)PF:(#)對于非彼此,該性質不成立.但在這種情況下,密度算符(14.19)仍是厄米的,肯定有一系列本征矢.設的,即本征矢本征值

可以構成基矢,于是1則可以寫成(14.23)由于厄米算符的本征矢,它們可以是彼此.同一個密度算符(14.19)不全(14.23)彼此從實驗上看:(14.19)與(14.23)是分別由兩套不同的參與態(tài)

構成的混合態(tài),是不同的態(tài).從理論上看:對于(14.19)與(14.23)兩個混合態(tài),QM所能得

到的信息完全一樣,從密度算符上完全無法判

別它們的不同,可以認為是同一個態(tài).

本書采用后一種看法.

兩個不同參與態(tài)的混合態(tài),給出的密度算符相同.而由

得到的信息,如物理量平均值,取值概率

都相同,即由給出的信息,是這兩個混

合態(tài)都具有的相同信息.從這一點上

看它們可以認為

是同一個混合態(tài).而這兩個混合態(tài)具有的不同信息(或者

說兩者之間的不同或差異)

在密度算符中體現(xiàn)不出

來,這是密度算符(密度矩陣)理論本身所造成的.**一個密度算符為的混合態(tài)，可用不同的參與態(tài)以不同的權重構成。但要求參與態(tài)彼此正交，則只有一種構成方式，這時參與態(tài)就是的一組本征態(tài)。

的本征值有簡并時，不成立?！庾拥募儜B(tài)線偏振光（沿z方向傳播）

——光子的混合態(tài)

—線偏振光在角方向上偏振的概率。例如（1）（2）結果表明，上述兩種混合態(tài)具有相同的密度矩陣。結論同一個用

(都是的本征態(tài))構成注意此時的本征值是簡并的情況。上述—特殊的密度矩陣，可以有任意多種正交參與態(tài)(線偏振光)的形式構成，只要兩個參與態(tài)(線偏振光)正交且權重相同，任意方向都可以。構成不同其中用到用一組基矢作為參與態(tài)，把系統(tǒng)的所有混合態(tài)(包括參與態(tài)不完全正交的)表現(xiàn)出來？PF:

（14.24）式中（14.25）滿足兩個必要條件：

（14.26）11

—厄米由(14.24)—(14.26)

可以用一組基矢表現(xiàn)系統(tǒng)的任何混合態(tài)：

（14.27）

（14.28）(14.27)是(14.10)的推廣，相應是的推廣。不一定是混合態(tài)的參與態(tài)。①當參與態(tài)是時，

(對角矩陣)(14.27)—(14.10)；②當參與態(tài)不是,而是其它基矢或不完全正交的一組態(tài)時，

混合態(tài)要用(14.27)表示。

(14.25)約化密度矩陣有一個大系統(tǒng)，而希望求出平均值的那個物理量只與系統(tǒng)的一部分有關。例如在兩個粒子1、2構成的系統(tǒng)中，希望求粒子1的某一物理量F(1)的平均值。上述內容仍適用，可做簡化。簡單計，以雙粒子系統(tǒng)為例粒子基矢則在1、2兩粒子空間的直積空間中,系統(tǒng)的歸一化態(tài)矢的一般形式：（14.29）其中

（14.30）處于純態(tài)，系統(tǒng)的密度算符：密度矩陣元

其中用到：

(14.31)(5.30)求粒子1的物理量F(1)的平均值

(14.33)其中(14.32)

11

—只對粒子2取跡，取跡后的仍是粒子1空間中的算符，稱為粒子1的約化密度算符，它在粒子1的某一表象(例如為基矢)中的矩陣，稱為粒子1的約化密度矩陣。(14.33)表述完全與粒子2無關，只與粒子1空間有關。從(14.33)

在一個雙粒子系統(tǒng)中只討論粒子1的物理量平均值的關系粒子1處于一個單粒子狀態(tài)的情況。當大系統(tǒng)處于純態(tài)

(14.29),這個等價的單粒子態(tài)不一定是純態(tài)(在什么情況下一定是純態(tài)?),可能是一個混合態(tài)

（14.34）

(14.27),這種混合態(tài)是一種等價的混合態(tài),是QM本身原因所產生的混合態(tài).(14.32)§14.3例舉幾個自