湖北省十堰市2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖北省十堰市2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，則“”是“表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)的導函數(shù)是（）A． B．C． D．3．設，則使得的的取值范圍是（）A． B． C． D．4．六安一中高三教學樓共五層，甲、乙、丙、丁四人走進該教學樓2~5層的某一層樓上課，則滿足且僅有一人上5樓上課，且甲不在2樓上課的所有可能的情況有（）種A．27 B．81 C．54 D．1085．是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．今年全國高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學考試成績(，試卷滿分150分),統(tǒng)計結(jié)果顯示數(shù)學考試成績高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學考試成績高于100分且低于130分的學生人數(shù)約為（）A．1300 B．1350 C．1400 D．14508．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構(gòu)造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）A． B． C． D．9．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．212．甲、乙二人進行圍棋比賽，采取“三局兩勝制”，已知甲每局取勝的概率為，則甲獲勝的概率為()．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若關(guān)于的不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是__________.14．某單位在周一到周六的六天中安排人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天，則不同的值班安排種數(shù)為______.（用數(shù)字作答）15．觀察下面幾個算式：；；；1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25.利用上面算式的規(guī)律，計算______16．已知，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知四棱錐的底面為等腰梯形,,垂足為是四棱錐的高,為中點,設（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標方程；（2）設點的極坐標為，點在曲線上，求面積的最大值．19．（12分）（1）化簡：；（2）我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于的概率是多少?20．（12分）設函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)恰有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）某周末，鄭州方特夢幻王國匯聚了八方來客.面對該園區(qū)內(nèi)相鄰的兩個主題公園“千古蝶戀”和“西游傳說”，成年人和未成年人選擇游玩的意向會有所不同.某統(tǒng)計機構(gòu)對園區(qū)內(nèi)的100位游客（這些游客只在兩個主題公園中二選一）進行了問卷調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示，在被調(diào)查的50位成年人中，只有10人選擇“西游傳說”，而選擇“西游傳說”的未成年人有20人.（1）根據(jù)題意，請將下面的列聯(lián)表填寫完整；選擇“西游傳說”選擇“千古蝶戀”總計成年人未成年人總計（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認為選擇哪個主題公園與年齡有關(guān).附參考公式與表：（）.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82822．（10分）已知函數(shù)（其中），．（Ⅰ）若命題“”是真命題，求的取值范圍；（Ⅱ）設命題：；命題：．若是真命題，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先要理解橢圓方程的基本形式，再利用兩個命題的關(guān)系即可得出必要不充分．【題目詳解】當且時，表示圓，充分性不成立；當表示橢圓時，且，必要性成立，所以“”是“表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．【題目點撥】本題考查了橢圓方程的基本形式，以及命題之間的關(guān)系．2、D【解題分析】

根據(jù)導數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【題目詳解】解：由，得故選：D．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的基本運算，屬基礎題．3、B【解題分析】分析：根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當x≥1時，對函數(shù)f（x）求導分析可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結(jié)合單調(diào)性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．詳解：根據(jù)題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數(shù)y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），當x≥1時，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，則有f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，f（x+1）＜f（2x﹣2）?f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）?f（|x|）＜f（|2x﹣3|）?|x|＞|2x﹣3|，變形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集為（1，3）；故選：B．點睛：處理抽象不等式問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性的問題或解不等式(組)的問題，若為偶函數(shù)，則，若函數(shù)是奇函數(shù)，則．4、B【解題分析】

以特殊元素甲為主體，根據(jù)分類計數(shù)原理，計算出所有可能的情況，求得結(jié)果.【題目詳解】甲在五樓有33甲不在五樓且不在二樓有C3由分類加法計數(shù)原理知共有54+27=81種不同的情況，故選B.【題目點撥】該題主要考查排列組合的有關(guān)知識，需要理解排列組合的概念，根據(jù)題目要求分情況計數(shù)，屬于簡單題目.5、B【解題分析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.【題目詳解】所以（逆否命題）必要性成立當，不充分故是必要不充分條件，答案選B【題目點撥】本題考查了充分必要條件，屬于簡單題.6、C【解題分析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.7、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算，即【題目詳解】100分是數(shù)學期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000－200＝2800，因此成績高于100分低于130分的人數(shù)為．故選C．【題目點撥】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若，則，．8、B【解題分析】

由題意，數(shù)表的每一行從右往左都是等差數(shù)列，且第一行公差為1,第二行公差為2,第三行公差為4,…,第2015行公差為，故第1行的從右往左第一個數(shù)為：，第2行的從右往左第一個數(shù)為：，第3行的從右往左第一個數(shù)為：，…第行的從右往左第一個數(shù)為：，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是.9、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關(guān)鍵要結(jié)合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.10、B【解題分析】當α⊥β時，平面α內(nèi)的直線m不一定和平面β垂直，但當直線m垂直于平面β時，根據(jù)面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．11、A【解題分析】

令，先求出方程的三個根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結(jié)果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點個數(shù)為、、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題．12、C【解題分析】

先確定事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，再利用獨立重復試驗的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率．【題目詳解】事件“甲獲勝”包含“甲三局贏兩局”和“前兩局甲贏”，若甲三局贏兩局，則第三局必須是甲贏，前面兩局甲贏一局，所求概率為，若前兩局都是甲贏，所求概率為，因此，甲獲勝的概率為，故選C．【題目點撥】本題考查獨立重復事件的概率，考查概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(－∞，6]【解題分析】由題意可設，則當時，；當時，；當時，不等式可化為。在平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖像如圖，結(jié)合圖像可知當，不等式的解集是空集，則實數(shù)的取值范圍是，應填答案。14、【解題分析】

依題意，先求出相鄰2天的所有種數(shù)，再選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天利用分步乘法計數(shù)原理即可求得答案．【題目詳解】單位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值兩天，值兩天的必須是相鄰的兩天．故相鄰的有12，34，5，6和12，3，45，6和12，3，4，56和1，23，45，6和1，23，4，56和1，2，34，56，共6種情形，選2名值相鄰的2天，剩下2人各值1天，故有種，故答案為：144.【題目點撥】本題主要考查了求事件的排列數(shù)，解題關(guān)鍵是理解題意結(jié)合排列數(shù)公式進行求解，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.15、10000【解題分析】觀察歸納中間數(shù)為2，結(jié)果為4＝22；中間數(shù)為3，結(jié)果為9＝32；中間數(shù)為4，結(jié)果為16＝42；于是中間數(shù)為100，結(jié)果應為1002＝10000.故答案為：10000點睛：這個題目考查的是合情推理中的數(shù)學式子的推理；一般對于這種題目，是通過數(shù)學表達式尋找規(guī)律，進而得到猜想．或者通過我們學習過程中的一些特例取歸納推理，注意觀察題干中的式子的規(guī)律，以免出現(xiàn)偏差．16、【解題分析】

利用兩角差的正切公式展開，代入相應值可計算出的值．【題目詳解】.【題目點撥】本題考查兩角差的正切公式的應用，解題時，首先應利用已知角去配湊所求角，然后在利用兩角差的公式展開進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法證明·＝0即得PE⊥BC.（2）利用線面角的向量公式求直線與平面所成角的正弦值．詳解：以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖，則A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)證明：設C(m,0,0)，P(0,0，n)(m<0，n>0)，則D(0，m,0)，E(，，0)．可得＝(，，－n)，＝(m，－1,0)．因為·＝-＋0＝0，所以PE⊥BC.(2)由已知條件可得m＝－，n＝1，故C(－，0,0)，D(0，－，0)，E(，－，0)，P(0，0,1)．設n＝(x，y，z)為平面PEH的法向量，則，即，因此可以取n＝(1，，0)．由＝(1,0，－1)，可得|cos〈，n〉|＝，所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為.點睛：（1）本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系的證明，考查直線平面所成角的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象能力轉(zhuǎn)化能力.(2)直線和平面所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法）證（定義）指求（解三角形），其關(guān)鍵是找到直線在平面內(nèi)的射影作出直線和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直線的方向向量，是平面的法向量，是直線和平面所成的角.18、（1）；（2）【解題分析】

試題分析：（1）設出P的極坐標，然后由題意得出極坐標方程，最后轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為；（2）利用（1）中的結(jié)論，設出點的極坐標，然后結(jié)合面積公式得到面積的三角函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值為.試題解析：解：（1）設P的極坐標為（）（＞0），M的極坐標為（）由題設知|OP|=，=.由|OP|=16得的極坐標方程因此的直角坐標方程為.（2）設點B的極坐標為（）.由題設知|OA|=2，，于是△OAB面積當時，S取得最大值.所以△OAB面積的最大值為.點睛:本題考查了極坐標方程的求法及應用，重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力.在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是將其化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解.要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程.19、（1）詳見解析；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)組合數(shù)的運算公式求解；（2）首先列舉所有不超過30的素數(shù)，然后按照古典概型寫出概率.【題目詳解】（1）（2）不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10個，任取2個不同的數(shù)有種方法，其中和為30的有共三組，則【題目點撥】本題考查組合數(shù)的證明和古典概型的概率公式意在考查推理與證明和計算能力，屬于基礎題型20、(1);(2).【解題分析】分析：