2024屆北師大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆北師大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足‘’，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實(shí)數(shù)C．恒大于0 D．恒小于02．現(xiàn)有5人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，每人依次從裝有5張獎(jiǎng)票（其中3張為中獎(jiǎng)票）的箱子中不放回地隨機(jī)抽取一張，直到3張中獎(jiǎng)票都被抽出時(shí)活動(dòng)結(jié)束，則活動(dòng)恰好在第4人抽完后結(jié)束的概率為（）A． B． C． D．3．某校從6名學(xué)生干部（其中女生4人，男生2人）中選3人參加學(xué)校的匯演活動(dòng)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為（）A． B． C． D．4．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，給出下列命題：①-2是函數(shù)的極值點(diǎn)；②是函數(shù)的極值點(diǎn)；③在處取得極大值；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.則正確命題的序號(hào)是A．①③ B．②④ C．②③ D．①④5．某食堂一窗口供應(yīng)2葷3素共5種菜，甲、乙兩人每人在該窗口打2種菜，且每人至多打1種葷菜，則兩人打菜方法的種數(shù)為（）A．64 B．81 C．36 D．1006．甲、乙、丙、丁4個(gè)人跑接力賽，則甲乙兩人必須相鄰的排法有（）A．6種 B．12種 C．18種 D．24種7．已知命題p：?x0>0，使得(A．?x≤0，總有(x+2)ex≥1 B．C．?x>0，總有(x+2)ex≥1 D．8．展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．30 B．15 C．0 D．-159．某家具廠的原材料費(fèi)支出與銷售量（單位：萬(wàn)元）之間有如下數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出與的線性回歸方程為，則為x24568y2535605575A．5 B．10 C．12 D．2010．用反證法證明命題“已知為非零實(shí)數(shù)，且，，求證中至少有兩個(gè)為正數(shù)”時(shí)，要做的假設(shè)是（）A．中至少有兩個(gè)為負(fù)數(shù) B．中至多有一個(gè)為負(fù)數(shù)C．中至多有兩個(gè)為正數(shù) D．中至多有兩個(gè)為負(fù)數(shù)11．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的，則輸入的整數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．12．已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．-1 B． C．1 D．-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的大小為_(kāi)_______14．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.15．已知（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若在上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是________.16．的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）（1）用分析法證明：;（2）如果是不全相等的實(shí)數(shù)，若成等差數(shù)列，用反證法證明：不成等差數(shù)列.18．（12分）如圖，在多面體中，底面為菱形，底面，.（1）證明：平面；（2）若，，當(dāng)長(zhǎng)為多少時(shí)，平面平面.19．（12分）在考察黃煙經(jīng)過(guò)藥物處理和發(fā)生青花病的關(guān)系時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：在試驗(yàn)的470株黃煙中，經(jīng)過(guò)藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒(méi)有發(fā)生青花??；未經(jīng)過(guò)藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒(méi)有發(fā)生青花?。囃茢嗨幬锾幚砀l(fā)生青花病是否有關(guān)系．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）《厲害了，我的國(guó)》這部電影記錄：到2017年底，我國(guó)高鐵營(yíng)運(yùn)里程達(dá)2.5萬(wàn)公里，位居世界第一位，超過(guò)第二名至第十名的總和，約占世界高鐵總量的三分之二.如圖是我國(guó)2009年至2017年高鐵營(yíng)運(yùn)里程（單位：萬(wàn)公里）的折線圖.根據(jù)這9年的高鐵營(yíng)運(yùn)里程，甲、乙兩位同學(xué)分別選擇了與時(shí)間變量的兩個(gè)回歸模型①：；②.（1）求，（精確到0.01）；（2）乙求得模型②的回歸方程為，你認(rèn)為哪個(gè)模型的擬合效果更好？并說(shuō)明理由.附：參考公式：，，.參考數(shù)據(jù)：1.3976.942850.220.093.7221．（12分）在中的內(nèi)角、、，，是邊的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），．（）求的大小．（）當(dāng)取最大值時(shí)，求的值．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)恰有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)，且時(shí)，證明：.（常數(shù)是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由且，不妨設(shè)，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.2、C【解題分析】試題分析：將5張獎(jiǎng)票不放回地依次取出共有種不同的取法，若活動(dòng)恰好在第四次抽獎(jiǎng)結(jié)束，則前三次共抽到2張中獎(jiǎng)票，第四次抽到最后一張中獎(jiǎng)票．共有種取法，∴考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式3、B【解題分析】

先求出女生甲被選中的情況下的基本事件總數(shù)，再求出在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，結(jié)合條件概率的計(jì)算方法，可得.【題目詳解】女生甲被選中的情況下，基本事件總數(shù)，在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中包含的基本事件個(gè)數(shù)為，則在女生甲被選中的情況下，男生乙也被選中的概率為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率的求法，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：由條件利用導(dǎo)函數(shù)的圖象特征，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可得，y=f′（x）在（﹣∞，﹣2）上大于零，在（﹣2，2）、（2，+∞）上大于零，且f′（﹣2）=0，故函數(shù)f（x）在（﹣∞，﹣2）上為減函數(shù)，在（﹣2，+∞）、（2，+∞）上為增函數(shù)．故﹣2是函數(shù)y=f（x）的極小值點(diǎn)，故①正確；故1不是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，故②不正確；根據(jù)函數(shù)-1的兩側(cè)均為單調(diào)遞增函數(shù)，故-1不是極值點(diǎn).根據(jù)y=f（x）=在區(qū)間（﹣2，2）上的導(dǎo)數(shù)大于或等于零，故f（x）在區(qū)間（﹣2，2）上單調(diào)遞增，故④正確，故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查命題真假的判斷，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，屬于中檔題．導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)代表了原函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)即導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，但是必須是變號(hào)零點(diǎn)，即在零點(diǎn)兩側(cè)正負(fù)相反；極值即將極值點(diǎn)代入原函數(shù)取得的函數(shù)值，注意分清楚這些概念.5、B【解題分析】

由題甲，乙均有兩種情況，一葷一素和兩素，再由分步原理可得種數(shù)。【題目詳解】甲有兩種情況：一葷一素，種；兩素，種.故甲共有種，同理乙也有9種，則兩人打菜方法的種數(shù)為種.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解題分析】

甲乙兩人捆綁一起作為一個(gè)人與其他2人全排列，內(nèi)部2人全排列．【題目詳解】因?yàn)榧滓覂扇吮仨毾噜?，看成一個(gè)整體，所以甲乙兩人必須相鄰的排法有種，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問(wèn)題，相鄰問(wèn)題用捆綁法求解．7、C【解題分析】

原命題為特稱命題，則其否定為全稱命題，即可得到答案【題目詳解】∵命題p：?x0∴?p：?x>0，總有(x+2)故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是命題及其關(guān)系，命題的否定是對(duì)命題結(jié)論的否定，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

根據(jù)的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式找出中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)做差即可．【題目詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故中函數(shù)含項(xiàng)的系數(shù)是和項(xiàng)的系數(shù)是所以展開(kāi)式中的系數(shù)為-=0【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項(xiàng)式定理是解本題的關(guān)鍵．9、B【解題分析】分析：先求樣本中心，代入方程求解即可。詳解：，，代入方程，解得，故選B點(diǎn)睛：回歸直線方程必過(guò)樣本中心。10、A【解題分析】分析：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而命題的否定為：“a、b、c中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”，由此得出結(jié)論．詳解：用反證法證明某命題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)命題的否定成立，而：“中至少有二個(gè)為正數(shù)”的否定為：“中至少有二個(gè)為負(fù)數(shù)”．故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，把要證的結(jié)論進(jìn)行否定，得到要證的結(jié)論的反面是解題的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力．11、A【解題分析】

列舉出算法的每一步循環(huán)，根據(jù)算法輸出結(jié)果計(jì)算出實(shí)數(shù)的取值范圍，于此可得出整數(shù)的最小值.【題目詳解】滿足條件，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；滿足條件，執(zhí)行第二次循環(huán)，，.滿足條件，調(diào)出循環(huán)體，輸出的值為.由上可知，，因此，輸入的整數(shù)的最小值是，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查算法框圖的應(yīng)用，解這類問(wèn)題，通常列出每一次循環(huán)，找出其規(guī)律，進(jìn)而對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12、D【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算可得z＝1﹣3i，從而可得答案．【題目詳解】,∴復(fù)數(shù)z的虛部是-3故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角計(jì)算即可.【題目詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個(gè)側(cè)面所成的二面角的平面角，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，是基礎(chǔ)題.14、【解題分析】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．15、【解題分析】

先按照和兩種情況求出，再對(duì)和分別各按照兩種情況討論求出，最后令，求出函數(shù)的零點(diǎn)，恰好有三個(gè).因此只要求出的三個(gè)零點(diǎn)滿足各自的范圍即可.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得無(wú)解，當(dāng)時(shí)，由，可得.因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，分段函數(shù)，分類討論的思想，屬于難題.16、243【解題分析】分析：先得到二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù)．詳解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，∴展開(kāi)式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛：對(duì)于非二項(xiàng)式的問(wèn)題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題處理，對(duì)于無(wú)法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題，可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù)，此時(shí)要注意考慮問(wèn)題的全面性，防止漏掉部分情況．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解題分析】分析：（1）利用分析法證明，平方、化簡(jiǎn)、再平方，可得顯然成立，從而可得結(jié)果；（2）假設(shè)成等差數(shù)列，可得，結(jié)合可得，與是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾，從而可得結(jié)論.詳解：（1）欲證只需證：即只需證：即顯然結(jié)論成立故（2）假設(shè)成等差數(shù)列，則由于成等差數(shù)列，得①那么，即②由①、②得與是不全相等的實(shí)數(shù)矛盾．故不成等差數(shù)列．點(diǎn)睛：本題主要考查反證法的應(yīng)用以及利用分析法證明不等式，屬于難題.分析法證明不等式的主要事項(xiàng)：用分析法證明不等式時(shí)，不要把“逆求”錯(cuò)誤的作為“逆推”，分析法的過(guò)程僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件，也就是說(shuō)，分析法的思維是逆向思維，因此在證題時(shí)，應(yīng)正確使用“要證”、“只需證”這樣的連接關(guān)鍵詞.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）1【解題分析】

(1)先證明面面，從而可得平面.

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立坐標(biāo)系，設(shè),易知平面的法向量為，求出平面的法向量，根據(jù)法向量垂直可求解.【題目詳解】證明：（1）：∵，面，面，∴面.同理面，又，面，面，∴面面，又面，∴平面.（2）∵，，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸，建立坐標(biāo)系.則，，，令，則，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，∴.易知平面的法向量為，當(dāng)平面平面時(shí)，，解之得.所以當(dāng)時(shí)，平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題考查線面平行的證明和根據(jù)面面垂直求線段的長(zhǎng)度，屬于中檔題.19、在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的．【解題分析】

先完成列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照表格數(shù)據(jù)即可得結(jié)論【題目詳解】由已知條件得列聯(lián)表如下：藥物處理未經(jīng)藥物處理合計(jì)青花病25185210無(wú)青花病60200260合計(jì)85385470提出假設(shè)：經(jīng)過(guò)藥物處理跟發(fā)生青花病無(wú)關(guān)系．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得的觀測(cè)值.因?yàn)楫?dāng)成立時(shí)，的概率約為0.005，而此時(shí)，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下，認(rèn)為藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的．【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題20、（1）（2）模型②的擬合效果較好【解題分析】分析：（1）求出，代入最小二乘法公式即可求得，（2）利用公式求得，比較大小可得結(jié)論.詳解：（1），，．（2），，因?yàn)?，所以模型②的擬合效果較好．點(diǎn)睛：本小題主要考查回歸直線、回歸分析等