2024屆北京第十二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京第十二中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足，在下列不等關(guān)系中，一定成立的（）A． B．C． D．2．已知，則的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．153．已知函數(shù)圖象如圖，是的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．B．C．D．4．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：則方差D(X)＝（）．A． B． C． D．5．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1446．甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)報(bào)名參加社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)愛老人?環(huán)境監(jiān)測(cè)?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動(dòng)五個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件為“5名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)愛老人項(xiàng)目”,則()A． B． C． D．7．已知某一隨機(jī)變量ξ的概率分布列如圖所示，且E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．88．設(shè)等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，若，則=A．20 B．35 C．45 D．909．給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．10．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象有可能是（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既有極大值又有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，已知每一局甲勝的概率為．比賽采用“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）制”，則甲獲勝的概率是____．15．若,則在的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)為_________16．如圖,在長方體中,,,則三棱錐的體積為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學(xué)一名數(shù)學(xué)老師對(duì)全班50名學(xué)生某次考試成績分男女生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中120分（含120分）以上為優(yōu)秀，繪制了如圖所示的兩個(gè)頻率分布直方圖：（1）根據(jù)以上兩個(gè)直方圖完成下面的列聯(lián)表：性別成績優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)男生女生總計(jì)（2）根據(jù)（1）中表格的數(shù)據(jù)計(jì)算，你有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系？2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8280.150.100.050.0250.0100.0050.001附：，其中.18．（12分）已知二項(xiàng)式的展開式的第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)（1）求的值；（2）求的值19．（12分）現(xiàn)有9名學(xué)生，其中女生4名，男生5名.（1）從中選2名代表，必須有女生的不同選法有多少種？（2）從中選出男、女各2名的不同選法有多少種？（3）從中選4人分別擔(dān)任四個(gè)不同崗位的志愿者，每個(gè)崗位一人，且男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)，有多少種安排方法？20．（12分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求：①展開式中的中間一項(xiàng)；②展開式中常數(shù)項(xiàng)的值；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù).21．（12分）已知，．（1）如果函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（3）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（10分）如圖四棱錐中，底面是正方形，，，且，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可知，則在上單調(diào)遞增，由此可得，整理可得結(jié)果.【題目詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，即本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問題，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用已知不等關(guān)系判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性.2、B【解題分析】分析：利用定積分的運(yùn)算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項(xiàng)的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個(gè)因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個(gè)因式取﹣2y，另一個(gè)因式取3z，剩余的4個(gè)因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項(xiàng)，∴xm﹣2yz=x4yz項(xiàng)的系數(shù)等于故選：B．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等。3、C【解題分析】結(jié)合函數(shù)的圖像可知過點(diǎn)的切線的傾斜角最大，過點(diǎn)的切線的傾斜角最小，又因?yàn)辄c(diǎn)的切線的斜率，點(diǎn)的切線斜率，直線的斜率，故，應(yīng)選答案C．點(diǎn)睛：本題旨在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．求解時(shí)充分借助題設(shè)中所提供的函數(shù)圖形的直觀，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答．先將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，再將經(jīng)過兩切點(diǎn)的直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與函數(shù)的圖像相切，這個(gè)過程很容易發(fā)現(xiàn)，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解．4、B【解題分析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出詳解：故選點(diǎn)睛：本題考查了隨機(jī)變量的分布列的相關(guān)計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機(jī)變量的期望與方差的計(jì)算方法5、D【解題分析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對(duì)女生插空即可.【題目詳解】由插空法得．選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

由條件概率與獨(dú)立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【題目詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】分析：先根據(jù)分布列概率和為1得到b的值，再根據(jù)E(X)=6.3得到a的值.詳解：根據(jù)分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因?yàn)镋(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和隨機(jī)變量的期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①，；②.8、C【解題分析】

利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)得到S9=，直接求解．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4+a6=10，∴S9=故選：C．【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查的是數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有:直接根據(jù)等差等比數(shù)列公式求和；已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。9、D【解題分析】

對(duì)A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號(hào)即可得選項(xiàng).【題目詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定導(dǎo)函數(shù)大于0的范圍和小于0的x的范圍，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減確定原函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間．詳解：由的圖象易得當(dāng)時(shí)

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．11、A【解題分析】分析：先求導(dǎo)得到，轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，再利用根的分布來解答得解.詳解：由題得，原命題等價(jià)于方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，所以.故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的極值問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題有兩個(gè)關(guān)鍵，其一是轉(zhuǎn)化為方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，其二是能準(zhǔn)確找到方程在（0,2）內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根的等價(jià)不等式組,它涉及到二次方程的根的分布問題.12、A【解題分析】

令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x【題目詳解】令xex=t，構(gòu)造g(x)=xex，求導(dǎo)得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時(shí)，g(x)<0，x>0時(shí)，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1?故選A.【題目點(diǎn)撥】解決函數(shù)零點(diǎn)問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

首先將題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)和時(shí)，利用函數(shù)的圖象易得交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)，利用表示直線的斜率，結(jié)合圖象即可求出的范圍.【題目詳解】由題知：函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn).等價(jià)于函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有一個(gè)交點(diǎn)，舍去.當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如圖設(shè)與的切點(diǎn)為，，，，則切線方程為，原點(diǎn)代入，解得，.因?yàn)楹瘮?shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知.綜上所述：或.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，分類討論和數(shù)形結(jié)合為解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.14、；【解題分析】

利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算求解，甲獲勝，則比賽打了5局，且最后一局甲勝利.【題目詳解】由題意知，前四局甲、乙每人分別勝2局，則甲獲勝的概率是：.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】分析：由定積分求得，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，進(jìn)而可求解的系數(shù).詳解：由，所以二項(xiàng)式為，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，，即的系數(shù)為.點(diǎn)睛：本題主要考查了定積分的計(jì)算和二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記微積分基本定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理和運(yùn)算能力.16、3【解題分析】分析：等體積轉(zhuǎn)化詳解：根據(jù)題目條件，在長方體中,==3所以三棱錐的體積為3點(diǎn)睛：在求解三棱錐體積問題時(shí)，如果所求椎體高不好確定時(shí)，往往要通過等體積轉(zhuǎn)化，找到合適的高所對(duì)應(yīng)的椎體進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，要深刻體會(huì).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）有【解題分析】分析:(1)根據(jù)已知的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表.(2)先計(jì)算，再判斷有多大把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.詳解：（1）性別成績優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)男生131023女生72027總計(jì)203050（2）由（1）中表格的數(shù)據(jù)知，，∵，∴有95%的把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與性別之間有關(guān)系.點(diǎn)睛：本題主要考查2×2列聯(lián)表和獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.18、(1).(2)0.【解題分析】

分析：（1）利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，即可求出的值；（2）結(jié)合（1）化為.詳解：（1）二項(xiàng)式通式因?yàn)榈陧?xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以，解得（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，所以原式點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)以及二項(xiàng)式的應(yīng)用，屬于中檔題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.19、（1）26；（2）60；（3）2184【解題分析】

（1）采用間接法；（2）采用直接法；（3）先用間接法求出從中選4人，男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)的選法種數(shù)，再分配到四個(gè)不同崗位即可.【題目詳解】（1）從中選2名代表，沒有女生的選法有種，所以從中選2名代表，必須有女生的不同選法有種.（2）從中選出男、女各2名的不同選法有種.（3）男生中的甲與女生中的乙至少有1人被選的不同選法有種，將這4人安排到四個(gè)不同的崗位共有種方法，故共有種安排方法.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列與組合的綜合問題，考查學(xué)生的邏輯思想能力，是一道基礎(chǔ)題.20、（1）①；②；（2）.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可求出特定的項(xiàng)以及常數(shù)項(xiàng)的值；（2）根據(jù)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于求出的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)．【題目詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，的展開式共有項(xiàng)，展開式中的中間一項(xiàng)為；②展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，所求常數(shù)項(xiàng)的值為；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于，而展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，即，解得.所以，展開式通項(xiàng)為，令，解得，因此，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式