安徽省六安二中、霍邱一中、金寨一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

安徽省六安二中、霍邱一中、金寨一中2024屆數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．四大名著是中國(guó)文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動(dòng)中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢(mèng)》、《三國(guó)演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知的三邊滿足條件，則（）A． B． C． D．3．在長(zhǎng)方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)則（）A． B． C． D．4．設(shè)，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．6．已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)是，則過(guò)點(diǎn)P且平行極軸的直線方程是A． B． C． D．7．有一個(gè)偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：248142232…610162434……12182636………202838…………3040……………42…………………則第20行第4列的數(shù)為（）A．546 B．540 C．592 D．5988．設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，且，則有（）A． B．C． D．9．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A． B． C． D．10．設(shè)：實(shí)數(shù)，滿足，且；：實(shí)數(shù)，滿足；則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線PQ與面ABC所成角的最大值為則該三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．12．在中，，若，則A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限.14．某一部件由三個(gè)電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000，1002），且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1100小時(shí)的概率為_________(附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則.15．已知，，設(shè)，則_______.16．從1、3、5、7中任取2個(gè)數(shù)字，從0、2、4、6中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有________個(gè).（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）試用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.18．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線與相交于兩點(diǎn)，求過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．（12分）設(shè)，，已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)增區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意，函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）將一枚六個(gè)面的編號(hào)為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后擲兩次，記第一次出的點(diǎn)數(shù)為，第二次出的點(diǎn)數(shù)為，且已知關(guān)于、的方程組.（1）求此方程組有解的概率；（2）若記此方程組的解為，求且的概率.21．（12分）某企業(yè)對(duì)設(shè)備進(jìn)行升級(jí)改造，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，若該項(xiàng)指標(biāo)值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設(shè)備改造后的頻數(shù)分布表.表1，設(shè)備改造后樣本的頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請(qǐng)估計(jì)該企業(yè)在設(shè)備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對(duì)合格品進(jìn)行等級(jí)細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)240元，質(zhì)量指標(biāo)值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)180元，其它的合格品定為三等品，每件售價(jià)120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級(jí)產(chǎn)品的概率，現(xiàn)有一名顧客隨機(jī)購(gòu)買兩件產(chǎn)品，設(shè)其支付的費(fèi)用為X（單位：元），求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）已知雙曲線，為上的任意點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

通過(guò)分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對(duì)于甲來(lái)說(shuō)，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.2、D【解題分析】

由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【題目詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、A【解題分析】

由平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理，即可化簡(jiǎn)，得到答案．【題目詳解】如圖所示，由平面向量線性運(yùn)算及平面向量基本定理可得：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，以及平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算法則和平面向量的基本定理是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

利用定積分的知識(shí)求解出，從而可列出展開式的通項(xiàng)，由求得，代入通項(xiàng)公式求得常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】展開式通項(xiàng)公式為：令，解得：，即常數(shù)項(xiàng)為：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理中的指定項(xiàng)系數(shù)的求解問(wèn)題，涉及到簡(jiǎn)單的定積分的求解，關(guān)鍵是能夠熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的形式.5、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公差的值，可得結(jié)論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】分析：把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)且平行極軸的直線直角坐標(biāo)方程，再把它化為極坐標(biāo)方程．詳解：把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為故過(guò)點(diǎn)且平行極軸的直線方程是，

化為極坐標(biāo)方程為，

故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查把點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，把直角坐標(biāo)方程化為即坐標(biāo)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】分析：觀察數(shù)字的分布情況，可知從右上角到左下角的一列數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個(gè)數(shù)再減去即可，進(jìn)而歸納每一行第一個(gè)數(shù)的規(guī)律即可得出結(jié)論．詳解：順著圖中直線的方向，從上到下依次成公差為2的等差數(shù)列，要想求第20行第4列的數(shù)，只需求得23行第一個(gè)數(shù)再減去即可.觀察可知第1行的第1個(gè)數(shù)為：；第2行第1個(gè)數(shù)為：；第3行第1個(gè)數(shù)為：.……第23行第1個(gè)數(shù)為：.所以第20行第4列的數(shù)為.故選A.點(diǎn)睛：此題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過(guò)觀察得出數(shù)字的排列規(guī)律，是中檔題．8、A【解題分析】

由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【題目詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.9、C【解題分析】

試題分析：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由得或所以，故答案為C．考點(diǎn)：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的位置關(guān)系．10、A【解題分析】

利用充分必要性定義及不等式性質(zhì)即可得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)，且時(shí)，顯然成立，故充分性具備；反之不然，比如：a=100，b=0.5滿足，但推不出，且，故必要性不具備，所以是的充分不必要條件.故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐P﹣ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【題目詳解】三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直線PQ與平面ABC所成角為θ，如圖所示；則sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距離為，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圓圓心為O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H為PA的中點(diǎn)，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的表面積是S=4πR2=4×=57π．故答案為C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理和線面位置關(guān)系，考查了幾何體外接球的應(yīng)用問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.解題的關(guān)鍵求外接球的半徑．12、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【題目詳解】即：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、四【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和加法運(yùn)算公式得到結(jié)果即可.詳解：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（）位于第四象限.故答案為：四.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.14、【解題分析】

先通過(guò)信息計(jì)算出每個(gè)電子元件使用壽命超過(guò)1100小時(shí)的概率，再計(jì)算該部件的使用壽命超過(guò)1100小時(shí)的概率．【題目詳解】由于三個(gè)電子元件的使用壽命都符合正態(tài)分布N（1000，1002），且.每個(gè)電子元件使用壽命超過(guò)1100小時(shí)的概率故該部件的使用壽命超過(guò)1100小時(shí)的概率【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)應(yīng)用及相互獨(dú)立事件的概率求解，屬于中檔題．15、【解題分析】

對(duì)求導(dǎo)，代值計(jì)算可得.【題目詳解】，又，故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)；(2)；(3)()16、1【解題分析】

題目要求得到能被5整除的數(shù)字，注意0和5的排列，分三種情況進(jìn)行討論，四位數(shù)中包含5和0的情況，四位數(shù)中包含5，不含0的情況，四位數(shù)中包含0，不含5的情況，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【題目詳解】解：①四位數(shù)中包含5和0的情況：．②四位數(shù)中包含5，不含0的情況：．③四位數(shù)中包含0，不含5的情況：．四位數(shù)總數(shù)為．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)典型的排列問(wèn)題，數(shù)字問(wèn)題是排列中的一大類問(wèn)題，條件變換多樣，把排列問(wèn)題包含在數(shù)字問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根據(jù)，可猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，通過(guò)證明當(dāng)時(shí)，猜想也成立，從而得到證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，則時(shí)，由，得，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，由①②可知，對(duì)任意均成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理及用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.18、（1）曲線的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用消參和極坐標(biāo)公式，化參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程為普通方程；（2）直線和橢圓相交，聯(lián)立求中點(diǎn)即為圓心，弦長(zhǎng)即為直徑，所以過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．試題解析：（1）由消去參數(shù)，得，即曲線的普通方程為，由，得，即，即．即曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓是以線段為直徑的圓，令．由，得，所以，所以圓心坐標(biāo)為，又因?yàn)榘霃?，所以過(guò)兩點(diǎn)且面積最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．19、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（I）將代入函數(shù)的解析式，并將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)的解析式去絕對(duì)值，表示為分段函數(shù)的形式，并判斷出該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)，得出關(guān)于與的不等式關(guān)系，利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）因?yàn)?，且，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①若，則在和上無(wú)零點(diǎn)，由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知，至多有兩個(gè)零點(diǎn)；故，即對(duì)任意恒成立，可知.②當(dāng)時(shí)，若或成立，則由的單調(diào)性及零點(diǎn)的存在性定理可知至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故，即成立，注意到，故，即對(duì)任意成立，可知，綜上可知，.因?yàn)?，所?設(shè)，其頂點(diǎn)在，（即線段）上運(yùn)動(dòng).若，顯然存在字圖與拋物線只有兩個(gè)交點(diǎn)的情況，不符合題意，故，如圖畫出草圖.顯然當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)圖象總有，兩個(gè)交點(diǎn)，故只需要字形圖象右支與拋物線有交點(diǎn)即可，即有兩個(gè)正根，滿足，即對(duì)任意都成立，即，又，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查了絕對(duì)值函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，利用單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的常用方法，考查分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先根據(jù)方程組有解得關(guān)系，再確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果；（2）先求方程組解，再根據(jù)解的情況得關(guān)系，進(jìn)而確定取法種數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【題目詳解】（1）因?yàn)榉匠探M有解，所以而有這三種情況，所以所求概率為；（2）因?yàn)榍?，所以因此即有種情況，所以所求概率為；【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型概率以及二元一次方程組的解，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、(1)30.2；(2)分布列見解析，400.【解題分析】

（1）每個(gè)矩形的中點(diǎn)橫