天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

天津市十二重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．2018年元旦期間，某高速公路收費(fèi)站的三個(gè)高速收費(fèi)口每天通過(guò)的小汽車(chē)數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)三個(gè)收費(fèi)口均能正常工作，則這個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過(guò)700輛的概率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率為（）A． B．1 C． D．3．若函數(shù)在時(shí)取得極值，則（）A． B． C． D．4．若a，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分必要條件5．設(shè)集合，，則()A． B． C． D．6．已知直線(xiàn)（為參數(shù)）與曲線(xiàn)的相交弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則等于（）A． B． C． D．7．設(shè)，為兩條不同的直線(xiàn)，，為兩個(gè)不同的平面，則（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則8．已知橢圓E:x2a2+y24=1，設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+1k∈R交橢圓A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=09．某校1000名學(xué)生中,型血有400人,型血有250人,型血有250人,型血有100人,為了研究血型與色弱的關(guān)系,要從中抽取一個(gè)容量為60人的樣本,按照分層抽樣的方法抽取樣本,則型血、型血、型血、型血的人要分別抽的人數(shù)為（）A．24,15,15,6 B．21,15,15,9 C．20,18,18,4 D．20,12,12,610．從標(biāo)有1、2、3、4、5的五張卡片中，依次不放回地抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為()A． B． C． D．11．使不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C．或 D．12．對(duì)于函數(shù)，曲線(xiàn)在與坐標(biāo)軸交點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，由于曲線(xiàn)在切線(xiàn)的上方，故有不等式．類(lèi)比上述推理：對(duì)于函數(shù)，有不等式（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)_______．14．設(shè)，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.15．已知函數(shù)，若正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是__________．16．設(shè)每門(mén)高射炮命中飛機(jī)的概率為，且每一門(mén)高射炮是否命中飛機(jī)是獨(dú)立的，若有一敵機(jī)來(lái)犯，則需要______門(mén)高射炮射擊，才能以至少的概率命中它．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；若在處取得極值，直線(xiàn)y=與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍．18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于軸的焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)為，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線(xiàn)，互相垂直，直線(xiàn)過(guò)且與橢圓交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)且與橢圓交于，兩點(diǎn).求的值.19．（12分）已知?jiǎng)訄A既與圓：外切，又與圓：內(nèi)切，求動(dòng)圓的圓心的軌跡方程.20．（12分）已知，是正數(shù)，求證：.21．（12分）某校在一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)的頒獎(jiǎng)儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會(huì)組委會(huì)在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺(tái)抽獎(jiǎng).求或沒(méi)有上臺(tái)抽獎(jiǎng)的概率.（3）抽獎(jiǎng)活動(dòng)的規(guī)則是：代表通過(guò)操作按鍵使電腦自動(dòng)產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”，則該代表中獎(jiǎng)；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)，求該代表中獎(jiǎng)的概率.22．（10分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性求解即可.詳解：根據(jù)正態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，每個(gè)收費(fèi)口超過(guò)輛的概率，這三個(gè)收費(fèi)口每天至少有一個(gè)超過(guò)輛的概率，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查正態(tài)分布的性質(zhì)與實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)正態(tài)分布的應(yīng)用題考查知識(shí)點(diǎn)較為清晰，只要掌握以下兩點(diǎn)，問(wèn)題就能迎刃而解：（1）仔細(xì)閱讀，將實(shí)際問(wèn)題與正態(tài)分布“掛起鉤來(lái)”；（2）熟練掌握正態(tài)分布的性質(zhì)，特別是狀態(tài)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性以及各個(gè)區(qū)間概率之間的關(guān)系.2、A【解題分析】分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，切線(xiàn)的方程，代入（0，0），求切點(diǎn)坐標(biāo)，切線(xiàn)的斜率．詳解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切線(xiàn)的斜率是，切線(xiàn)的方程為y﹣lna=（x﹣a），將（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切線(xiàn)的斜率是=故選：A．點(diǎn)睛：與導(dǎo)數(shù)幾何意義有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略①已知切點(diǎn)求切線(xiàn)方程．解決此類(lèi)問(wèn)題的步驟為：①求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即曲線(xiàn)在點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率；②由點(diǎn)斜式求得切線(xiàn)方程為．②已知斜率求切點(diǎn)．已知斜率，求切點(diǎn)，即解方程.③求切線(xiàn)傾斜角的取值范圍．先求導(dǎo)數(shù)的范圍，即確定切線(xiàn)斜率的范圍，然后利用正切函數(shù)的單調(diào)性解決．3、D【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在時(shí)取得極值，得到，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在時(shí)取得極值，所以，解得.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問(wèn)題，屬于?？碱}型.4、B【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的概念，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】解不等式得或；所以由“”能推出“或”，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件與必要條件的概念，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、D【解題分析】函數(shù)有意義，則，函數(shù)的值域是，即.本題選擇D選項(xiàng).6、A【解題分析】

根據(jù)參數(shù)方程與普通方程的互化，得直線(xiàn)的普通方程為，由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，得曲線(xiàn)普通方程為，再利用“平方差”法，即可求解．【題目詳解】由直線(xiàn)（為參數(shù)），可得直線(xiàn)的普通方程為，由曲線(xiàn)，可得曲線(xiàn)普通方程為，設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，，則，，兩式相減，可得.所以，即直線(xiàn)的斜率為，所以，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及中點(diǎn)弦問(wèn)題的應(yīng)用，其中解答中熟記互化公式，合理應(yīng)用中點(diǎn)弦的“平方差”法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

根據(jù)空間線(xiàn)面關(guān)系、面面關(guān)系及其平行、垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷．【題目詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，若，，則與平行、相交、異面都可以，位置關(guān)系不確定；對(duì)于B選項(xiàng)，若，且，，，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理知，，，但與不平行；對(duì)于C選項(xiàng)，若，，在平面內(nèi)可找到兩條相交直線(xiàn)、使得，，于是可得出，，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可得；對(duì)于D選項(xiàng)，若，在平面內(nèi)可找到一條直線(xiàn)與兩平面的交線(xiàn)垂直，根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理得知，只有當(dāng)時(shí)，才與平面垂直．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線(xiàn)面關(guān)系以及面面關(guān)系有關(guān)命題的判斷，判斷時(shí)要根據(jù)空間線(xiàn)面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行，考查邏輯推理能力，屬于中等題．8、D【解題分析】

在直線(xiàn)l中取k值，對(duì)應(yīng)地找到選項(xiàng)A、B、C中的m值，使得直線(xiàn)與給出的直線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)具有對(duì)稱(chēng)性得出答案。【題目詳解】當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)-1,0，取m=-1，直線(xiàn)l和選項(xiàng)A中的直線(xiàn)重合，故排除A；當(dāng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)1,0，取m=-1，直線(xiàn)l和選項(xiàng)B中的直線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除B；當(dāng)k=0時(shí)，取m=0，直線(xiàn)l和選項(xiàng)C中的直線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除C；直線(xiàn)l的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)0,1，選項(xiàng)D中的直線(xiàn)的斜率為m，且過(guò)點(diǎn)0,-2，這兩條直線(xiàn)不關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故被橢圓E所截得的弦長(zhǎng)不可能相等。故選：D。【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中等題。9、A【解題分析】

根據(jù)分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等可得出每種血型的人所抽的人數(shù).【題目詳解】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)可知，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，型血的人要抽取的人數(shù)為，故答案為A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分層抽樣，考查分層抽樣中每層樣本容量，解題時(shí)要充分利用分層抽樣中各層抽樣比與總體抽樣比相等來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】由題意，記“第一次抽到奇數(shù)”為事件A，記“第二次抽到偶數(shù)”為事件B，則，，所以.故選B.11、A【解題分析】

首先解出不等式，因?yàn)槭遣坏仁匠闪⒌囊粋€(gè)充分不必要條件，所以滿(mǎn)足是不等式的真子集即可．【題目詳解】因?yàn)?，所以或，需要是不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，則需要滿(mǎn)足是的真子集的只有A,所以選擇A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解不等式以及命題之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】

求導(dǎo)，求出函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出在交點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率，代入點(diǎn)斜式方程求出切線(xiàn)，在與函數(shù)圖像的位置比較，即可得出答案．【題目詳解】由題意得，且的圖像與軸的交點(diǎn)為，則在處的切線(xiàn)斜率為，在處的切線(xiàn)方程為，因?yàn)榍芯€(xiàn)在圖像的上方，所以故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查由導(dǎo)函數(shù)求切線(xiàn)方程以及函數(shù)圖像的位置，屬于一般題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，畫(huà)出可行域，平移直線(xiàn)，找到z的最大值．【題目詳解】x，y滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖：

，則經(jīng)過(guò)可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由，解得，所以的最大值為1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了畫(huà)圖能力．利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14、6【解題分析】試題分析：設(shè)第項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則，令可得故答案為6考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理15、【解題分析】因?yàn)?，所以函?shù)為單調(diào)遞增奇函數(shù)，因此由，得因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.16、【解題分析】

設(shè)需要門(mén)高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數(shù)的最小值.【題目詳解】設(shè)需要門(mén)高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門(mén)高射炮.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，在涉及“至少”問(wèn)題時(shí)，可以利用對(duì)立事件的概率公式來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、【解題分析】

解：（Ⅰ），

①當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0即，解得或，

由f′（x）＜0得，

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和（，＋∞）；f（x）的單調(diào)減區(qū)間是．

（Ⅱ）因?yàn)閒（x）在x＝?1處取得極大值，

所以，∴a＝1．

所以，

由f′（x）＝0解得．

由（1）中f（x）的單調(diào)性可知，f（x）在x＝?1處取得極大值f（?1）＝1，

在x＝1處取得極小值f（1）＝?2．

因?yàn)橹本€(xiàn)y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，m的取值范圍是（?2，1）；18、（1）（2）【解題分析】分析：（1）根據(jù)周長(zhǎng)確定，由通徑確定，求得，因而確定橢圓的方程．（2）分析得直線(xiàn)、直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，根據(jù)過(guò)焦點(diǎn)可設(shè)出AB直線(xiàn)方程為，因而直線(xiàn)的方程為.聯(lián)立橢圓方程消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程.由韋達(dá)定理求得和，進(jìn)而.當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，求得，，所以．當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，求得，，所以．即可判斷．詳解：（1）將代入，得，所以.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，，將代入，可得，所以橢圓的方程為.（2）（i）當(dāng)直線(xiàn)、直線(xiàn)的斜率存在且不為時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為.由消去得.由韋達(dá)定理得，，所以，.同理可得..（ii）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，，，.（iii）當(dāng)直線(xiàn)的斜率為時(shí)，，，.綜上，.點(diǎn)睛：本題綜合考查了圓錐曲線(xiàn)的定義、應(yīng)用，對(duì)直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置問(wèn)題，常見(jiàn)方法是設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立曲線(xiàn)方程，得到一元二次方程，利用韋達(dá)定理解決相關(guān)問(wèn)題，思路較為清晰，關(guān)鍵是注意計(jì)算，綜合性強(qiáng)，屬于難題．19、【解題分析】

化已知兩圓方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，畫(huà)出圖形，利用橢圓定義求得動(dòng)圓的圓心的軌跡方程．【題目詳解】：，：，設(shè)動(dòng)圓圓心，半徑為，則，∴是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12的橢圓，∴，，∴所求軌跡方程為.【題目點(diǎn)撥】本題考查軌跡方程的求法，考查圓與圓的位置關(guān)系，本質(zhì)考查橢圓定義求方程，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力．20、見(jiàn)證明【解題分析】

運(yùn)用基本不等式即可證明【題目詳解】證明：因?yàn)?，是正?shù)，所以.所以.即.當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)【題目點(diǎn)撥】本題考查了基本不等式，較為簡(jiǎn)單，注意需要滿(mǎn)足“一正二定三相等”的條件21、（1）160；（2）；（3）【解題分析】本題考查概