廣東省廣州三中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

廣東省廣州三中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，的面積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．由曲線和直線，，（）所圍成圖形（陰影部分）的面積的最小值為()．A． B． C． D．3．某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)同時(shí)搶4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)紅包，且紅包全被搶光，4個(gè)紅包中有兩個(gè)2元，兩個(gè)5元(紅包中金額相同視為相同的紅包)，則甲、乙兩人同搶到紅包的情況有()A．36種 B．24種 C．18種 D．9種4．“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)是增函數(shù)(大前提)，而是指數(shù)函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)是增函數(shù)(結(jié)論)”，上面推理的錯(cuò)誤在于A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò) D．大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)5．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．6．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π7．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．9．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°10．已知命題對(duì)，，成立，則在上為增函數(shù)；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，的一組數(shù)據(jù)如下表：245682040607080根據(jù)上表，利用最小二乘法得到關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.512．已知關(guān)于的方程，，若對(duì)任意的，該方程總存在唯一的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都有，類比可得對(duì)任意正實(shí)數(shù)都有_______________．14．已知函數(shù)，則曲線在處的切線方程為_____15．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______．16．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是__________．①②③④三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求.18．（12分）甲、乙兩人各進(jìn)行次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率，（Ⅰ）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)次的概率．19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求的最小值.20．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，，.（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）求的值.21．（12分）已知半徑為5的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線過點(diǎn)．22．（10分）知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的解集;(2)已知，，若對(duì)于,都有成立,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由的面積為，可得，再由余弦定理求出，根據(jù)雙曲線的定義可得，從而可得結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)榈拿娣e為，，所以，可得，，，所以離心率，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，屬于中檔題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解．2、C【解題分析】

利用定積分求出陰影部分區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最小值，可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)陰影部分區(qū)域的面積為，則，，其中，令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，且最小值為，因此，陰影部分區(qū)域面積的最小值為，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分計(jì)算曲邊多邊形的面積，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，在利用定積分思想求曲邊多邊形的面積時(shí)，要確定被積函數(shù)和被積區(qū)間，結(jié)合定積分公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題．3、C【解題分析】

分三種情況：（1）都搶到2元的紅包（2）都搶到5元的紅包（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，由分類計(jì)數(shù)原理求得總數(shù)。【題目詳解】甲、乙兩人都搶到紅包一共有三種情況：（1）都搶到2元的紅包，有種；（2）都搶到5元的紅包，有種；（3）一個(gè)搶到2元，一個(gè)搶到5元，有種，故總共有18種．故選C．【題目點(diǎn)撥】利用排列組合計(jì)數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是正確進(jìn)行分類和分步，分類時(shí)要注意不重不漏.在本題中，是根據(jù)得紅包情況進(jìn)行分類。4、A【解題分析】試題分析：大前提：指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)錯(cuò)誤，只有在時(shí)才是增函數(shù)考點(diǎn)：推理三段論5、B【解題分析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計(jì)算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.6、C【解題分析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個(gè)相同的半圓錐與一個(gè)半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù).7、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.8、B【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模計(jì)算即可.詳解：，則.故選：B.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過程．9、B【解題分析】分析：由題意可得，，進(jìn)而得到與，再由，可得結(jié)論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模.10、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷命題的真假再判斷各選項(xiàng)的真假即可.【題目詳解】命題當(dāng)時(shí),因?yàn)楣?；?dāng)時(shí),因?yàn)楣剩还孰S的增大而增大.故命題為真.命題,因?yàn)?故命題為假命題.故為真命題.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了命題真假的判定與函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn).【題目詳解】樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)榛貧w直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸直線的性質(zhì).12、B【解題分析】由成立，得，設(shè)，，則則時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；且，使得對(duì)于任意，對(duì)任意的，方程存在唯一的解，則，即，即，所以，所以實(shí)數(shù)得取值范圍是，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用問題，其中解得中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值和函數(shù)與方程等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，試題有一定的難度，屬于難題，解答中把方程存在唯一的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解答的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】分析：根據(jù)類比的定義，按照題設(shè)規(guī)律直接寫出即可.詳解：由任意正實(shí)數(shù)，都有，推廣到則.故答案為點(diǎn)睛：考查推理證明中的類比，解此類題型只需按照原題規(guī)律寫出即可，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線斜率，由點(diǎn)斜式即可求得切線方程。【題目詳解】因?yàn)?，所以，切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：即?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)曲線在某點(diǎn)處的切線方程。15、【解題分析】

由復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn),,可得,即可計(jì)算.【題目詳解】復(fù)數(shù)、分別對(duì)應(yīng)點(diǎn),,可得:,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)平面和數(shù)量積,主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義.掌握復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)是解本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.16、①【解題分析】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。因，故，即，所以命題①正確；因，故，即，則命題②不正確；又因?yàn)椋瑒t，即，則命題③不正確；又因?yàn)?，則，即，則命題④不正確。應(yīng)填答案①。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，這是解答本題的突破口和瓶頸。只要能構(gòu)造出函數(shù)的解析式為，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系就分別驗(yàn)證四個(gè)答案即可巧妙獲解。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）先計(jì)算，再分別取時(shí)兩個(gè)等式相減得到，計(jì)算得到.（2）先計(jì)算，，利用裂項(xiàng)求和得到答案.【題目詳解】（1），當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，也成立.,.（2），，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式和方法的靈活運(yùn)用及計(jì)算能力.18、（1）分布列（見解析），Eξ=1.5；（2）.【解題分析】

試題分析：（1）因甲每次是否擊中目標(biāo)相互獨(dú)立，所以ξ服從二項(xiàng)分布，即，由期望或(二項(xiàng)分布)；（2）甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次：分為2類，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互獨(dú)立概率相乘.試題解析：甲射擊三次其集中次數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布：(1)P(ξ＝0)＝,P(ξ＝1)＝P(ξ＝2)＝,P(ξ＝3)＝ξ

0

1

2

3

P

ξ的概率分布如下表：Eξ＝，（2）甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次：分為2類，甲3次乙1次，甲2次乙0次.甲乙相互獨(dú)立概率相乘..考點(diǎn)：（1）二項(xiàng)分布及其概率計(jì)算；（2）獨(dú)立事件概率計(jì)算.19、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）將參數(shù)方程利用代入法消去參數(shù)可得直線的普通方程，利用即可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）先證明直線過定點(diǎn)，點(diǎn)在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，取得最小值，利用勾股定理可得結(jié)果..詳解：（1）將（為參數(shù)，）消去參數(shù)，得直線，，即.將代入，得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的普通方程為，其中，又，∴，則直線過定點(diǎn)，∵圓的圓心，半徑，，故點(diǎn)在圓的內(nèi)部.當(dāng)直線與線段垂直時(shí)，取得最小值，∴.點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化以及勾股定理求圓的弦長，屬于中檔題.消去參數(shù)方程中的參數(shù)，就可把參數(shù)方程化為普通方程，消去參數(shù)的常用方法有：①代入消元法；②加減消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，只要將和換成和即可.20、（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.【解題分析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊”得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）解：在中，因?yàn)?，故由，可?由已知及余弦定理，有，所以.由正弦定理,得.所以，的值為，的值為.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.21、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)【解題分析】

本試題主要考查圓的方程的求解，以及直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用．解：（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以，即．因?yàn)闉檎麛?shù)，故．故所求圓的方程為．…………………4分（2）把直線ax-y+5=0，即y=ax+5代入圓的方程，消去y整理，的（Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，直線的斜率為的方程為，即由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，所以，解得．由于，故存在實(shí)數(shù)使得過點(diǎn)的直線垂直平分