2024屆山東省昌樂縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆山東省昌樂縣第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若滿足約束條件，則的最大值為（）A．9 B．5 C．11 D．32．曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．3．已知隨機變量，，若，，則（）A．0.1 B．0.2 C．0.32 D．0.364．從裝有形狀大小相同的3個黑球和2個白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，則第三次抽得白球的概率等于（）A． B． C． D．5．利用獨立性檢驗的方法調(diào)查高中生的寫作水平與離好閱讀是否有關(guān)，隨機詢問120名高中生是否喜好閱讀，利用2×2列聯(lián)表，由計算可得K2＝4.236P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照附表，可得正確的結(jié)論是（）A．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”B．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”C．有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”D．有97.5%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀無關(guān)”6．已知復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的虛部為i B．C．為純虛數(shù) D．7．已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影為（）A．0 B．1C．2 D．8．已知實數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．9．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c10．在極坐標系中，圓的圓心的極坐標是（）A． B． C． D．11．由曲線與直線，所圍成的封閉圖形面積為（）A． B． C．2 D．12．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，則使成立的值是____________.14．若函數(shù)是偶函數(shù),且在上是增函數(shù),若,則滿足的實數(shù)的取值范圍是__________．15．已知可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)滿足，若函數(shù)恰有個零點，則所有這些零點之和為__________．16．設(shè)，，，則的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動,消費每超過600元(含600元),均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種.方案一:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3個球,其中獎規(guī)則為:若摸到3個紅球,享受免單優(yōu)惠；若摸到2個紅球,則打6折；若摸到1個紅球,則打7折；若沒摸到紅球,則不打折.方案二:從裝有10個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3個,黑球7個)的抽獎盒中,有放回每次摸取1球,連摸3次,每摸到1次紅球,立減200元.(1)若兩個顧客均分別消費了600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受6折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客消費恰好滿1000元,試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算.18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，點在直線上．（1）求角的值；（2）若，求的面積．19．（12分）5G網(wǎng)絡(luò)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò)，其峰值理論傳輸速度可達每8秒1GB，比4G網(wǎng)絡(luò)的傳輸速度快數(shù)百倍．舉例來說，一部1G的電影可在8秒之內(nèi)下載完成．隨著5G技術(shù)的誕生，用智能終端分享3D電影、游戲以及超高畫質(zhì)（UHD）節(jié)目的時代正向我們走來．某手機網(wǎng)絡(luò)研發(fā)公司成立一個專業(yè)技術(shù)研發(fā)團隊解決各種技術(shù)問題，其中有數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)，物理專業(yè)畢業(yè)，其它專業(yè)畢業(yè)的各類研發(fā)人員共計1200人．現(xiàn)在公司為提高研發(fā)水平，采用分層抽樣抽取400人按分數(shù)對工作成績進行考核，并整理得如上頻率分布直方圖（每組的頻率視為概率）．（1）從總體的1200名學(xué)生中隨機抽取1人，估計其分數(shù)小于50的概率；（2）研發(fā)公司決定對達到某分數(shù)以上的研發(fā)人員進行獎勵，要求獎勵研發(fā)人員的人數(shù)達到30%，請你估計這個分數(shù)的值；（3）已知樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分，樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員人數(shù)與物理及其它專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)和相等，估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)．20．（12分）已知數(shù)列，的前n項和分別為，，，且.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)求的通項公式.21．（12分）已知數(shù)列滿足，.（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖,在一個水平面內(nèi),河流的兩岸平行,河寬1(單位:千米)村莊A,B和供電站C恰位于一個邊長為2(單位:千米)的等邊三角形的三個頂點處,且A,C位于河流的兩岸,村莊A側(cè)的河岸所在直線恰經(jīng)過BC的中點D.現(xiàn)欲在河岸上A,D之間取一點E,分別修建電纜CE和EA,EB.設(shè)∠DCE=θ,記電纜總長度為f(θ)(單位:千米).(1)求f(θ)的解析式；(2)當∠DCE為多大時,電纜的總長度f(θ)最小,并求出最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先作出不等式組所表示的可行域，然后平移直線，觀察直線在軸上的截距取最大值時對應(yīng)的最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入函數(shù)即可得出答案?！绢}目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，得，點的坐標為，平移直線，當該直線經(jīng)過點，它在軸上的截距取最大值，此時，取最大值，即，故選：A.【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，解題思路就是作出可行域，平移直線觀察在坐標軸上的截距變化尋找最優(yōu)解，是?？碱}型，屬于中等題。2、C【解題分析】

求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點，再計算切線方程.【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點為：切線方程為：故答案選C【題目點撥】本題考查了曲線的切線，意在考查學(xué)生的計算能力.3、A【解題分析】

由求出，進而，由此求出.【題目詳解】解：因為，，，所以，解得或（舍），由，所以.故選：A.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】分析：這是一個條件概率，可用古典概型概率公式計算，即從5個球中取三個排列，總體事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的條件下抽排第一次和第三次球.詳解：.點睛：此題是一個條件概率，條件是第二次抽取的是黑球，不能誤以為是求第二次抽到黑球，第三次抽到白球的概率，如果那樣求得錯誤結(jié)論為.5、A【解題分析】

根據(jù)題意知觀測值，對照臨界值得出結(jié)論.【題目詳解】利用獨立性檢驗的方法求得，對照臨界值得出：有95%的把握認為“寫作水平與喜好閱讀有關(guān)”．故選A項．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)化為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的基本知識以及四則運算法則來判斷各選項的正誤．【題目詳解】，的虛部為，，為純虛數(shù)，，故選C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、復(fù)數(shù)的概念、共軛復(fù)數(shù)等的理解，解題的關(guān)鍵就是將復(fù)數(shù)化為一般形式，借助相關(guān)概念進行理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】試題分析：在方向上的投影為，故選D.考點：向量的投影.8、C【解題分析】

設(shè)，，則，對進行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【題目點撥】本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題9、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因為所以b<a所以b<a<c.故選D．10、B【解題分析】

先把圓的極坐標方程化為直角坐標方程，確定其圓心的直角坐標再化成極坐標即可．【題目詳解】圓化為,，配方為，因此圓心直角坐標為，可得圓心的極坐標為故選B【題目點撥】本題考查極坐標方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，點的直角坐標與極坐標的轉(zhuǎn)化，比較基礎(chǔ)．11、D【解題分析】根據(jù)題意作出所圍成的圖形，如圖所示，圖中從左至右三個交點分別為，所以題中所求面積為，故選D12、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-4或2【解題分析】

當0時，；當時，．由此求出使成立的值．【題目詳解】，當0時，解得當時，，解得故答案為-4或2.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．14、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得出在上是減函數(shù)，由此可得不等式．【題目詳解】∵是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，，∴在上是減函數(shù)，．又，∴，解得且．故答案為．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，由奇偶性和單調(diào)性結(jié)合起來解函數(shù)不等式，這種問題一類針對偶函數(shù)，一類針對奇函數(shù)，它們有固定的解題格式．如偶函數(shù)在上是增函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，奇函數(shù)在上是增函數(shù)，首先把不等式轉(zhuǎn)化為再轉(zhuǎn)化為．15、【解題分析】

根據(jù)為奇函數(shù)得到關(guān)于對稱，，關(guān)于對稱，所以關(guān)于對稱，計算得到答案.【題目詳解】函數(shù)為奇函數(shù)關(guān)于對稱函數(shù)滿足關(guān)于對稱關(guān)于對稱恰有個零點所有這些零點之和為：故答案為：【題目點撥】本題考查了函數(shù)的中心對稱，找出中心對稱點是解題的關(guān)鍵.16、.【解題分析】

把分子展開化為，再利用基本不等式求最值．【題目詳解】由，得，得，等號當且僅當，即時成立．故所求的最小值為．【題目點撥】使用基本不等式求最值時一定要驗證等號是否能夠成立．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）該顧客選擇第一種抽獎方案更合算，詳見解析【解題分析】

（1）選擇方案一，利用積事件的概率公式計算出兩位顧客均享受到免單的概率值；（2）選擇方案一，計算出付款金額的分布列和數(shù)學(xué)期望值，選擇方案二，計算出付款金額數(shù)學(xué)期望值，比較大小可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）選擇方案一：若享受到6折優(yōu)惠，則需要摸出2個紅球，設(shè)顧客享受到6折優(yōu)惠為事件A，則，所以兩位顧客均享受到6折優(yōu)惠的概率為；（2）若選擇方案一，設(shè)付款金額為元，則可能的取值為0,600,700,1000，，，故的分布列為06007001000所以（元）；若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為元，則，由已知可得，故，，所以（元），因為，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算.【題目點撥】本題考查獨立事件的概率乘法公式，考查隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望，在列隨機變量的分布列時，要弄清變量所滿足的分布列類型，結(jié)合相關(guān)概率公式進行計算，考查計算能力，屬于中等題．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）代入點到直線的方程，根據(jù)正弦定理完成角化邊，對比余弦定理求角；（2）將等式化簡成“平方和為零”形式，計算出的值，利用面積公式計算的面積.【題目詳解】解：（1）由題意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，結(jié)合，得.（2）由，得，從而得，所以的面積.【題目點撥】本題考查正、余弦定理的簡單應(yīng)用，難度較易.使用正弦定理進行角化邊或者邊化角的過程時，一定要注意“齊次”的問題.19、（1）0.1；（2）77.5；（3）540人.【解題分析】

（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是0.1,由此能估計總體中分數(shù)小于50的概率；（2）根據(jù)頻率分布直方圖,第六組的頻率為0.4,第七組頻率為0.2,由此能求出這個分數(shù)；（3）樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為240人,從而樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,從而樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為180人,由此能估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)【題目詳解】解：（1）由題意可知,樣本中隨機抽取一人,分數(shù)小于50的概率是,所以估計總體中分數(shù)小于50的概率0.1（2）根據(jù)頻率分布直方圖，第六組的頻率為0.04×10=0.4,第七組頻率為0.02×10=0.2,此分數(shù)為（3）因為樣本中不低于70分的研發(fā)人員人數(shù)為400×（0.4+0.2）=240人,所以樣本中不低于70分的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員為120人,又因為樣本中有三分之二的數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員分數(shù)不低于70分,所以樣本中的是數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)120÷=180人,故估計總體中數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)的研發(fā)人員的人數(shù)為：1200×=540人【題目點撥】本題考查概率、頻數(shù)的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì),考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題．20、（1）（2）【解題分析】

（1）先將表示為，然后利用裂項求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項和，于是得出，然后利用作差法可求出數(shù)列的通項公式．【題目詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以.當時.；當時，.故【題目點撥】本題考查裂項