2024屆廣西欽州市靈山縣高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣西欽州市靈山縣高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“（，）”的過程中，由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是（）A． B．C． D．2．函數(shù)的部分圖像可能是（）A． B． C． D．3．若對任意實(shí)數(shù)，有，則（）A． B． C． D．4．設(shè)函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)f（x）的最大值為﹣1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣2） B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣2]5．在一項(xiàng)調(diào)查中有兩個(gè)變量和，下圖是由這兩個(gè)變量近8年來的取值數(shù)據(jù)得到的散點(diǎn)圖，那么適宜作為關(guān)于的回歸方程的函數(shù)類型是()A． B．C． D．（）6．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍得函數(shù)的圖象，則在下列區(qū)間上為單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A． B． C． D．7．關(guān)于函數(shù)的四個(gè)結(jié)論：的最大值為；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后可得到函數(shù)的圖象；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；圖象的對稱中心為其中正確的結(jié)論有()A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8．在20張百元紙幣中混有4張假幣，從中任意抽取2張，將其中一張?jiān)隍?yàn)鈔機(jī)上檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是假幣，則這兩張都是假幣的概率是()A． B． C． D．以上都不正確9．某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種10．已知，則（）A． B．186 C．240 D．30411．已知A2,3,B4,-3且APA．6,9 B．(3,0) C．6,-9 D．2,312．如圖所示十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有不同的行車路線有()A．24種 B．16種 C．12種 D．10種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果球的體積為，那么該球的表面積為________14．若(x-ax2)615．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為___________16．已知，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個(gè)菱形，三角形PAD是一個(gè)等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點(diǎn)E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．20．（12分）已知都是正數(shù)（1）若，求證：；（2）若，求證：21．（12分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求復(fù)數(shù)的模.22．（10分）已知（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

把用替換后兩者比較可知增加的式子．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以由推導(dǎo)時(shí)，不等式的左邊增加的式子是，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，掌握數(shù)學(xué)歸納法的概念是解題基礎(chǔ)．從到時(shí)，式子的變化是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵．2、B【解題分析】

先判斷函數(shù)奇偶性，再根據(jù)存在多個(gè)零點(diǎn)導(dǎo)致存在多個(gè)零點(diǎn)，即可判斷出結(jié)果.【題目詳解】∵，∴為奇函數(shù)，且存在多個(gè)零點(diǎn)導(dǎo)致存在多個(gè)零點(diǎn)，故的圖像應(yīng)為含有多個(gè)零點(diǎn)的奇函數(shù)圖像.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，熟記函數(shù)性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3、B【解題分析】分析：根據(jù)，按二項(xiàng)式定理展開，和已知條件作對比，求出的值，即可求得答案.詳解：，且，.故選：B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù).4、D【解題分析】

考慮x≥1時(shí)，f（x）遞減，可得f（x）≤﹣1，當(dāng)x＜1時(shí)，由二次函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）max＝1+a，由題意可得1+a≤﹣1，可得a的范圍．【題目詳解】當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）＝﹣log1（x+1）遞減，可得f（x）≤f（1）＝﹣1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得最大值﹣1；當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）＝﹣（x+1）1+1+a，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，f（x）取得最大值1+a，由題意可得1+a≤﹣1，解得a≤﹣1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值求法，注意運(yùn)用對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．5、B【解題分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的趨勢，選定正確的選項(xiàng).【題目詳解】散點(diǎn)圖呈曲線，排除A選項(xiàng)，且增長速度變慢，排除選項(xiàng)C、D，故選B．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查散點(diǎn)圖，考查回歸直線方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】

先利用輔助角公式將函數(shù)化為的形式，再寫出變換后的函數(shù),最后寫出其單調(diào)遞減區(qū)間即可．【題目詳解】的圖象向左平移個(gè)單位長度，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍變換后，在區(qū)間上單調(diào)遞減故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)變換，及其單調(diào)區(qū)間．屬于中檔題．7、B【解題分析】

把已知函數(shù)解析式變形,然后結(jié)合型函數(shù)的性質(zhì)逐一核對四個(gè)命題得答案．【題目詳解】函數(shù)的最大值為,故錯(cuò)誤；函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后,得即得到函數(shù)的圖象,故正確;由解得∴的單調(diào)遞增區(qū)間為故錯(cuò)誤；由,得圖象的對稱中心為,故錯(cuò)誤.∴其中正確的結(jié)論有1個(gè)。故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),考查三角函數(shù)的平移變換,難度一般.8、A【解題分析】設(shè)事件A表示“抽到的兩張都是假鈔”，事件B表示“抽到的兩張至少有一張假鈔”，則所求的概率即P(A|B).又，由公式.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：條件概率的求解方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，得.9、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，選用排除法，分3步，①計(jì)算從7人中，任取4人參加志愿者活動(dòng)選法，②計(jì)算選出的全部為男生或女生的情況數(shù)目，③由事件間的關(guān)系，計(jì)算可得答案．詳解：分3步來計(jì)算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動(dòng)，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時(shí)，有1種情況，因女生只有3人，故不會(huì)都是女生，

③根據(jù)排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當(dāng)從正面來解所包含的情況比較多時(shí)，則采取從反面來解，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果．10、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個(gè)二項(xiàng)式的乘積的形式，利用兩個(gè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，就可以求出的會(huì)下，最后可以計(jì)算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設(shè)的通項(xiàng)公式為：，則常數(shù)項(xiàng)、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，正確求出通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵.11、C【解題分析】

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，根據(jù)題意得到AP與PB的坐標(biāo)，由AP=-2【題目詳解】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，因?yàn)锳2,3所以AP=(x-2,y-3)，BP因?yàn)锳P=-2PB，所以因此x-2=2(x-4)y-3=2(y+3)，解得x=6y=-9，即故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、C【解題分析】根據(jù)題意，車的行駛路線起點(diǎn)有4種，行駛方向有3種，所以行車路線共有種，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)球的體積公式：求出球的半徑，然后由表面積公式：即可求解?！绢}目詳解】，又因?yàn)?，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。14、4【解題分析】試題分析：(x-ax2考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.15、【解題分析】

令，得，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，于此可得出實(shí)數(shù)的值?！绢}目詳解】令，得，構(gòu)造函數(shù)，其中，問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值。，令，得，列表如下：極小值作出圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知，，因此，，故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，求解方法有如下兩種：（1）分類討論法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，借助圖象列出有關(guān)參數(shù)的不等式組求解即可；（2）參變量分離法：令原函數(shù)為零，得，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象，一般要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，利用圖象求解。16、180【解題分析】，，，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于中檔題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）計(jì)算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋偃?，即時(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；②若，時(shí)，令的兩根為，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.③當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，.則則要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點(diǎn)存在定理可知：在上唯一實(shí)根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因?yàn)椋?dāng)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)在于分類討論思想的應(yīng)用，同時(shí)掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡，考驗(yàn)分析能力以及極強(qiáng)的邏輯推理能力，綜合性較強(qiáng)，屬難題.18、（I）；（II）.【解題分析】分析：(1)先求切線的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求切線的方程.(2)分類討論求，再解≥0，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，，即曲線在處的切線的斜率為，又，所以所求切線方程為.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，易知，①若，則恒成立，在上單調(diào)遞增；又，所以當(dāng)時(shí)，，符合題意.②若，由，解得，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以時(shí)，函數(shù)取得最小值.則當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何題意和切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.(2)解答第2問由兩次分類討論，第一次是分類的起因是解不等式時(shí)，右邊要化成，由于對數(shù)函數(shù)定義域的限制所以要分類討論，第二次分類的起因是是否在函數(shù)的定義域內(nèi),大家要理解掌握.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點(diǎn),連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，,，設(shè)面的法向量為則可得；設(shè)面的法向量為則可得由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線線垂直、線面垂直的證明，考查利用空間向量計(jì)算二面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、(1)證明見解析；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)基本不等式得，，再利用不等式性質(zhì)三式相乘得結(jié)果，（2）根據(jù)基本不等式得，，再三式相加得結(jié)果【題目詳解】證明：因?yàn)闉檎龜?shù)，所以，同理，所以因?yàn)椋裕?）證明：由，且，可得，同理可得，三式相加，可得，即為，則成立．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用基本不等式證明不等式，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、（1）（2）【解題分析】

（1）將復(fù)數(shù)代入，令其實(shí)部為0，虛部不為0，可解得m，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)z；（2）先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算w，再