2024屆福州市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024屆福州市第十九中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則()A．-2 B．0 C．2 D．43．若函數(shù)f(x)=(a∈R)是奇函數(shù)，則a的值為（）A．1 B．0 C．－1 D．±14．“”是“函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．德國數(shù)學(xué)家狄利克在1837年時提出：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)，”這個定義較清楚地說明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個法則，使得取值范圍中的每一個值，有一個確定的y和它對應(yīng)就行了，不管這個對應(yīng)的法則是公式、圖象，表格述是其它形式已知函數(shù)f（x）由右表給出，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．36．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），其中是的共軛復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．8．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：——結(jié)伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是（）A．30 B．40 C．42 D．489．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B． C． D．10．定積分的值為()A．3 B．1 C． D．11．經(jīng)過伸縮變換后所得圖形的焦距（）A． B． C．4 D．612．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時滿足以下三個條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動點(diǎn)，且到l、m的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則________.14．底面是直角三角形的直棱柱的三視圖如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，則該棱柱的表面積是________15．已知滿足約束條件則的最小值為______________.16．已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為軸上的動點(diǎn)，則的最小值_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠的某車間共有位工人，其中的人愛好運(yùn)動。經(jīng)體檢調(diào)查，這位工人的健康指數(shù)（百分制）如下莖葉圖所示。體檢評價標(biāo)準(zhǔn)指出：健康指數(shù)不低于者為“身體狀況好”，健康指數(shù)低于者為“身體狀況一般”。（1）根據(jù)以上資料完成下面的列聯(lián)表，并判斷有多大把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運(yùn)動有關(guān)系”？身體狀況好身體狀況一般總計愛好運(yùn)動不愛好運(yùn)動總計（2）現(xiàn)將位工人的健康指數(shù)分為如下組：，，，，，其頻率分布直方圖如圖所示。計算該車間中工人的健康指數(shù)的平均數(shù)，由莖葉圖得到真實值記為，由頻率分布直方圖得到估計值記為，求與的誤差值；（3）以該車間的樣本數(shù)據(jù)來估計該廠的總體數(shù)據(jù)，若從該廠健康指數(shù)不低于者中任選人，設(shè)表示愛好運(yùn)動的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。附：。18．（12分）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，解不等式；(2)若不等式有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍.19．（12分）(1)已知可逆矩陣的逆矩陣為，求的特征值.(2)變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對應(yīng)的變換矩陣是：變換對應(yīng)用的變換矩陣是，求函數(shù)的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）將，的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線？（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為．若上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值．21．（12分）已知函數(shù).（1）求的最大值；（2）若恒成立，求的值；（3）在（2）的條件下,設(shè)在上的最小值為求證：.22．（10分）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本萬元.此外，每生產(chǎn)件這種產(chǎn)品還需要增加投入萬元.經(jīng)測算，市場對該產(chǎn)品的年需求量為件，且當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為（單位：百件）時，銷售所得的收入約為（萬元）.（1）若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為（單位：百件），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量的函數(shù)；（2）當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年所得利潤最大？最大為多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

利用“左加右減”的平移原則，求得平移后解析式，即可求得對稱軸方程.【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，令，解得，令，解得.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖像的平移，以及函數(shù)對稱軸的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】令，則，據(jù)此可得：本題選擇D選項.3、B【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，利用，代入即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)是定義域R上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可得，代入可得，解得，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記奇函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】分析：先求函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)的解集，，再用集合的關(guān)系判斷充分條件、還是必要條件。詳解：函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，則，所以的解集那么是的子集，故充分非必要條件，選A點(diǎn)睛：在判斷命題的關(guān)系中，轉(zhuǎn)化為判斷集合的關(guān)系是容易理解的一種方法。5、D【解題分析】

采用逐層求解的方式即可得到結(jié)果.【題目詳解】∵，∴，則，∴，又∵，∴，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的基礎(chǔ)知識，強(qiáng)調(diào)一一對應(yīng)性，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】分析：設(shè)，利用的共軛復(fù)數(shù)是，列出方程組求a、b的值即可.詳解：設(shè)，的共軛復(fù)數(shù)是，又，，又，，.故選：A.點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算的應(yīng)用問題.7、D【解題分析】分析：先根據(jù)復(fù)數(shù)除法得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模求結(jié)果.詳解：因為，所以,因此選D.點(diǎn)睛：首先對于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點(diǎn)為、共軛為8、A【解題分析】

根據(jù)所給的圖形，計算出總?cè)藬?shù)，即可得到A的人數(shù)．【題目詳解】解：根據(jù)選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總?cè)藬?shù)為120人，故選擇A方式的人數(shù)為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．9、C【解題分析】

從橢圓方程確定焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸，然后根據(jù)求的值.【題目詳解】由橢圓方程得：，所以，又橢圓的焦點(diǎn)在上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是.【題目點(diǎn)撥】求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時，要先確定橢圓是軸型還是軸型，防止坐標(biāo)寫錯.10、C【解題分析】

運(yùn)用定積分運(yùn)算公式，進(jìn)行求解計算.【題目詳解】，故本題選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

用，表示出，，代入原方程得出變換后的方程，從而得出焦距．【題目詳解】由得，代入得，∴橢圓的焦距為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了伸縮變換，橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標(biāo)系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點(diǎn)軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，判斷即可．【題目詳解】若冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，則由m1﹣3m+3＝1解得：m＝1或m＝1，m＝1時，f（x）＝x，是增函數(shù)，m＝1時，f（x）＝1，是常函數(shù)（不合題意，舍去），故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

根據(jù)三視圖,畫出空間幾何體,即可求得表面積.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱柱,畫出空間結(jié)構(gòu)體如下:該三棱柱的高為2,上下底面為等腰直角三角形,腰長為所以上下底面的面積為側(cè)面積為所以該三棱柱的表面積為故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查由三視圖還原空間結(jié)構(gòu)體,棱柱表面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、8【解題分析】

由題意畫出可行域，利用圖像求出最優(yōu)解，再將最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出的最小值.【題目詳解】由題意畫出約束條件的可行域如圖所示，由圖像知，當(dāng)過點(diǎn)時，取得最小值，聯(lián)立，解得，代入目標(biāo)函數(shù)，.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

求出圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可得到的最小值.【題目詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓的對稱圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最小值轉(zhuǎn)化為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析；有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運(yùn)動有關(guān)系”；（2）誤差值為；（3）數(shù)學(xué)期望【解題分析】

（1）根據(jù)莖葉圖補(bǔ)全列聯(lián)表，計算可得，從而得到結(jié)論；（2）利用平均數(shù)公式求得真實值；利用頻率直方圖估計平均數(shù)的方法求得估計值，作差得到結(jié)果；（3）可知，利用二項分布數(shù)學(xué)期望計算公式求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由莖葉圖可得列聯(lián)表如下：身體狀況好身體狀況一般總計愛好運(yùn)動不愛好運(yùn)動總計有的把握認(rèn)為“身體狀況好與愛好運(yùn)動有關(guān)系”（2）由莖葉圖可得：真實值由直方圖得：估計值誤差值為：（3）從該廠健康指數(shù)不低于的員工中任選人，愛好運(yùn)動的概率為：則數(shù)學(xué)期望【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗、莖葉圖和頻率分布直方圖的相關(guān)知識、二項分布數(shù)學(xué)期望的計算，涉及到卡方的計算、利用頻率分布直方圖估計平均數(shù)、隨機(jī)變量服從二項分布的判定等知識，屬于中檔題.18、（1）（2）【解題分析】試題分析：(1)將絕對值不等式兩邊平方可得不等式的解集為(2)將原問題轉(zhuǎn)化為，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)可得實數(shù)a的取值范圍是.試題解析：(1)依題意得，兩邊平方整理得解得或，故原不等式的解集為(2)依題意，存在使得不等式成立，∴∵，∴，∴19、（1），.（2）【解題分析】

(1)根據(jù)得出的逆矩陣，結(jié)合特征值的性質(zhì)即可求解;(2)先求出,再求點(diǎn)的變換，從而利用函數(shù)求出變換作用下所得曲線的方程.【題目詳解】（1）解：由可知，所以，，所以，；所以，，由，，.（2）.設(shè)變換后圖像上任一點(diǎn)，與之對應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則，也就是，即，所以所求曲線的方程是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了逆矩陣、特征值以及矩陣變換等知識，意在考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.20、（1）表示以為圓心，1為半徑的圓，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；（2）.【解題分析】試題分析：（1）分別將曲線、的參數(shù)方程利用平方法消去參數(shù)，即可得到，的方程化為普通方程，進(jìn)而得到它們分別表示什么曲線；（2），利用點(diǎn)到直線距離公式可得到直線的距離，利用輔助角公式以及三角函數(shù)的有界性可得結(jié)果.試題解析：（1）的普通方程為，它表示以為圓心，1為半徑的圓，的普通方程為，它表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓．（2）由已知得，設(shè)，則，直線：，點(diǎn)到直線的距離，所以，即到的距離的最小值為．21、（1）；（2）2；（3）證明見解析.【解題分析】

（1），判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解最大值；（2）要使成立必須，，判斷單調(diào)性求解即可得解（3），得，令判斷其單調(diào)性進(jìn)而求得，得，再求的范圍進(jìn)而得證【題目詳解】（1）,由得；得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故，即；（2）要使成立必須.因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又，所以滿足條件的只有2，即.（3）由（2）知，所以.令，則，是上的增函數(shù)；又，所以存在滿足，即，且當(dāng)時，；當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.所以，即.所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查了零點(diǎn)存在定理和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，在（3）的證明過程中，利用零點(diǎn)存在定理轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)屬中檔題．22、(1);(2)當(dāng)年產(chǎn)量為件時，所得利潤最大.【解題分析】分析：（1）利用銷售額減去成本即可得到年利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)