2024屆浙江余姚八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆浙江余姚八中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定積分的值為()A． B． C． D．2．某小區(qū)的6個(gè)停車位連成一排,現(xiàn)有3輛車隨機(jī)停放在車位上,則任何兩輛車都不相鄰的停放方式有()種.A．24 B．72 C．120 D．1443．某醫(yī)療機(jī)構(gòu)通過(guò)抽樣調(diào)查(樣本容量n=1000)，利用2×2列聯(lián)表和統(tǒng)計(jì)量研究患肺病是否與吸煙有關(guān).計(jì)算得，經(jīng)查閱臨界值表知，下列結(jié)論正確的是()0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A．在100個(gè)吸煙的人中約有95個(gè)人患肺病 B．若某人吸煙，那么他有的可能性患肺病C．有的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)” D．只有的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”4．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．5．若點(diǎn)M為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到雙曲線漸近線的距離的最小值為（）A． B． C． D．6．“”是“函數(shù)存在零點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知，則（）A． B． C．2 D．8．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．9．64個(gè)直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個(gè)直徑為a的球，記其體積為，表面積為，則（）A．>且> B．<且<C．=且> D．=且=10．已知集合，，在集合內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)元素，則這個(gè)元素屬于集合的概率為（）A． B． C． D．11．已知集合，或，則（）A． B．C． D．12．（）A．＋2 B．＋4 C．＋2 D．＋4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則__________。14．在中，角的對(duì)邊分別為，其外接圓的直徑為，且滿足，則______________.15．設(shè),則等于_________.16．已知，且，則____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍.18．（12分）在二項(xiàng)式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項(xiàng)恰是常數(shù)項(xiàng).（1）求此常數(shù)項(xiàng)是第幾項(xiàng)；（2）求的范圍.19．（12分）如圖，在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求的大?。唬?）若，為外一點(diǎn)，，，求四邊形面積的最大值.20．（12分）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn).將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量(升)關(guān)于行駛速度(千米/小時(shí))的函數(shù)為．（1）當(dāng)千米/小時(shí)時(shí),行駛千米耗油量多少升？（2）若油箱有升油,則該型號(hào)汽車最多行駛多少千米？22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過(guò)點(diǎn),其參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為．求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；已知曲線和曲線交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【題目詳解】故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查微積分基本定理，屬于較易題.2、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，首先排好三輛車，在三輛車中間插入兩個(gè)空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后一個(gè)空車位利用插空法即可.詳解：根據(jù)題意，首先排好三輛車，共種，在三輛車中間插入兩個(gè)空位使三輛車任何兩輛車都不相鄰，最后把剩下的空車位插入空位中，則有種，由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的停車方法.點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意空位是相同的.3、C【解題分析】

將計(jì)算出的與臨界值比較即可得答案?！绢}目詳解】由題得，且由臨界值表知，所以有的把握認(rèn)為“患肺病與吸煙有關(guān)”，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，解題的關(guān)鍵是將估計(jì)值與臨界值比較，屬于簡(jiǎn)單題。4、B【解題分析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【題目詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過(guò)計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．5、B【解題分析】

首先判斷圓與漸近線的位置關(guān)系為相離，然后利用圓上一點(diǎn)到直線距離的最小值等于圓心到直線的距離減去圓的半徑，由此即可得到答案。【題目詳解】由題知，圓的圓心，半徑.由雙曲線的漸近線方程為，則圓心C到雙曲線漸近線的距離為，故圓C與雙曲線漸近線相離，圓C上動(dòng)點(diǎn)M到雙曲線漸近線的最小距離為，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生基本的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題，6、A【解題分析】顯然由于，所以當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)f(x)=m+log2x（x≥1）存在零點(diǎn);反之不成立，因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f(x)也存在零點(diǎn)，其零點(diǎn)為1，故應(yīng)選A．7、B【解題分析】

直接利用和角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】由,得,則,故.故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，和角公式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型．8、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.9、C【解題分析】

分別計(jì)算出、、、，再比較大小?！绢}目詳解】，，故=，>【題目點(diǎn)撥】已知直徑利用公式,分別計(jì)算出、、、，再比較大小即可。10、D【解題分析】

利用線性規(guī)劃可得所在區(qū)域三角形的面積，求得圓與三角形的公共面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【題目詳解】表示如圖所示的三角形，求得，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，既在三角形內(nèi)又在圓內(nèi)的點(diǎn)的軌跡是如圖所示陰影部分的面積，其面積等于四分之三圓面積與等腰直角三角形的面積和，即為，所以在集合內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)元素，則這個(gè)元素屬于集合的概率為，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.11、C【解題分析】

首先解絕對(duì)值不等式，從而利用“并”運(yùn)算即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，等價(jià)于，解得，于是，故答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合與不等式的綜合運(yùn)算，難度不大.12、A【解題分析】

根據(jù)題意，先利用定積分性質(zhì)可得，，然后利用微積分基本定理計(jì)算，利用定積分的幾何意義計(jì)算，即可求出答案。【題目詳解】因?yàn)?，，，所以，故選A。【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用定積分的性質(zhì)、幾何意義以及微積分基本定理計(jì)算定積分。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解題分析】

將原式變?yōu)椋瑥亩傻谜归_式的通項(xiàng)，令可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：則展開式通項(xiàng)為：當(dāng)，即時(shí)，本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的形式來(lái)進(jìn)行展開.14、【解題分析】

先利用余弦定理化簡(jiǎn)已知得，所以，再利用正弦定理求解.【題目詳解】由及余弦定理，得，得，得，即，所以，所以.由正弦定理，得，則.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】設(shè)，則，則．應(yīng)填答案。16、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的模運(yùn)算可以求得.【題目詳解】由復(fù)數(shù)相等得：解得：故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)相等和復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）a=2；（2）.【解題分析】

（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切線的方程可得，的方程，進(jìn)而得到；（2）求得的導(dǎo)數(shù)，討論，，，求得單調(diào)性和極值，最值，結(jié)合圖象可得所求范圍．【題目詳解】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由在處的切線方程為，可得，，解得，；（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)，由可得，即在遞增，有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，遞減，，遞增，可得處取得極大值，且為最大值，由題意可得，解得，綜上可得時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)性、極值和最值，考查方程思想和分類討論思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）5；（2）≤≤.【解題分析】分析：（1）求出通項(xiàng)，由以及，即可求出答案；（2）由只有常數(shù)項(xiàng)為最大項(xiàng)且，可得，即可得到答案.詳解：(1)設(shè)Tr+1=(axm)12-r·(bxn)r=a12-r·brxm(12-r)+nr為常數(shù)項(xiàng),則有m(12-r)+nr=0,因?yàn)?m+n=0,所以m(12-r)-2mr=0,解得r=4,故可知常數(shù)項(xiàng)是第5項(xiàng).(2)因?yàn)榈?項(xiàng)又是系數(shù)最大的項(xiàng),所以因?yàn)閍>0,b>0,所以由①②可得點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）由余弦定理和誘導(dǎo)公式整理，得到，求出；（2）在中，用余弦定理表示出，判斷是等腰直角三角形，再利用三角形面積公式表示出，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，求出四邊形面積的最大值.【題目詳解】（1）在中，由，所以∵，∴，∴，又∵，∴.又∵，∴，即為.（2）在中，，，由余弦定理可得，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積有最大值，最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理解三角形、誘導(dǎo)公式、三角形面積公式和利用三角函數(shù)求最值，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1），可得，在菱形中，求出，由勾股定理的逆定理，即可證明；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面和平面的法向量坐標(biāo)，根據(jù)空間向量面面角公式，求出二面角的余弦，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）證明：∵，∴，∴.∵四邊形為菱形，∴.∵，∴；又，，∴，∴，∴，∴，∴.（2）解：以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，，，，，，.設(shè)平面法向量，由得，取，∴.同理可得面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，∴.故二面角的正弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系，直線垂直的證明，利用空間向量法求二面角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.21、(1)11.95(升)．(2)千米．【解題分析】分析：（1）由題意可得當(dāng)x=64千米/小時(shí)，要行駛千米需要小時(shí)，代入函數(shù)y的解析式，即可得到所求值；（2）設(shè)22.5升油能使該型號(hào)汽車行駛a千米，代入函數(shù)y的式子，可得．令，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）的最小值，進(jìn)而得到a的最大值．詳解：(1)當(dāng)千米/小時(shí)時(shí),要行駛千米需要小時(shí)，要耗油(升)．(2)設(shè)升油能使該型號(hào)汽車行駛千米,由題意得，，所以，設(shè)則當(dāng)最小時(shí)，取最大值，令當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取最大值為所以若油箱有升油,則該型號(hào)汽車最多行駛千米．點(diǎn)睛：解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分：①讀不懂實(shí)際背景，不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．②對(duì)涉及的相關(guān)公式，記憶錯(cuò)誤．③在求解的過(guò)程中計(jì)算錯(cuò)誤.另外需要熟練掌握求解方程、不等式、函數(shù)最值的方法，才能快速正確地求解．含有絕對(duì)值的問題突破口在于分段去絕對(duì)值，分段后在各段討論最值的情況.22、（1）,；（2）或.【解題分析】

(1)直接消參得到曲線C1的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的公式求曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線C1的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程代入曲線C2的直角坐標(biāo)方程利用直線參數(shù)方程t的幾何意義解答.【題目詳解】C1的參數(shù)方程為消參得普通方程為x－y－a＋1＝0，C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，