2024屆吉林省白城市數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆吉林省白城市數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長為，定點在棱上(不在端點上)，點是平面內(nèi)的動點，且點到直線的距離與點到點的距離的平方差為，則點的軌跡所在的曲線為A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線2．（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．直線與曲線相切于點，則的值為（）A．2 B．－1 C．1 D．－24．已知直線，，點為拋物線上的任一點，則到直線的距離之和的最小值為（）A．2 B． C． D．5．若均為第二象限角，滿足，，則（）A． B． C． D．6．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．7．大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙丙3個村小學(xué)進行支教，若每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的離心率為，則m=A．4 B．2 C． D．19．已知函數(shù)，，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．下列函數(shù)中與函數(shù)相同的是（）A． B． C． D．11．設(shè)為隨機變量，，若隨機變量的數(shù)學(xué)期望，則等于（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)y=fx的圖象在點M2,f2處的切線方程是y=x+4，則14．復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是___________．15．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值為___________．16．除以5的余數(shù)是三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4—4：坐標系與參數(shù)方程]在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）已知點是曲線上一點，若點到曲線的最小距離為，求的值．18．（12分）（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？19．（12分）已知數(shù)列滿足：.（Ⅰ）若，且，，成等比數(shù)列，求；（Ⅱ）若，且，，，成等差數(shù)列，求.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，∥，，．為的中點，點在上，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．21．（12分）已知.（Ⅰ）計算的值；（Ⅱ）若，求中含項的系數(shù)；（Ⅲ）證明：.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論在上的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求正整數(shù)的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

作，，連接，以為原點建立空間直角坐標系，利用勾股定理和兩點間距離公式構(gòu)造，整理可得結(jié)果.【題目詳解】作，，垂足分別為以為原點建立如下圖所示的空間直角坐標系：設(shè)，由正方體特點可知，平面，，整理得：的軌跡是拋物線本題正確選項：【題目點撥】本題考查立體幾何中點的軌跡問題，關(guān)鍵是能夠通過建立空間直角坐標系，求出動點滿足的方程，從而求得軌跡.2、A【解題分析】

通過求出，然后得到復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標．【題目詳解】由得所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點在第一象限．【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由切點滿足切線的方程和曲線的方程，解方程即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，直線與曲線相切于點，則點滿足直線，代入可得，解得，又由曲線，則，所以，解得，即，把點代入，可得，解答，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，合理準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】分析：由拋物線的定義可知P到直線l1，l1的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離．詳解：拋物線的焦點為F（﹣1，0），準線為l1：x=1．∴P到l1的距離等于|PF|，∴P到直線l1，l1的距離之和的最小值為F（﹣1，0）到直線l1的距離．故選：C．點睛：本題主要考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosα和sinβ的值，兩角和的三角公式求得cos（α+β）的值．【題目詳解】解：∵sinα，cosβ，α、β均為第二象限角，∴cosα，sinβ，∴cos（α+β）＝cosαcosβ-sinαsinβ?（），故答案為B【題目點撥】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

將橢圓方程化成標準式，根據(jù)橢圓的方程可求，進而可得長軸.【題目詳解】解：因為，所以，即，，所以，故長軸長為故選：【題目點撥】本題主要考查了橢圓的定義的求解及基本概念的考查，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，由此能求出小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率．【題目詳解】解：大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)鎮(zhèn)甲、乙、丙3個村小學(xué)進行支教，每個村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，基本事件總數(shù)n36，小明恰好分配到甲村小學(xué)包含的基本事件個數(shù)m12，∴小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為p．故選C．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概率、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

根據(jù)離心率公式計算．【題目詳解】由題意，∴，解得．故選B．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標準方程，由方程確定．9、C【解題分析】

對函數(shù)求導(dǎo)得出，由題意得出函數(shù)在上存在極小值點，然后對參數(shù)分類討論，在時，函數(shù)單調(diào)遞增，無最小值；在時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出，從而求出實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.①當時，對任意的，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，，則對任意的，.此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；②當時，解方程，得.當時，，當時，，此時，.（i）當時，即當時，則對任意的，，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，無最小值；（ii）當時，即當時，，當時，，由零點存在定理可知，存在和，使得，即，且當和時，，此時，；當時，，此時，.所以，函數(shù)在處取得極大值，在取得極小值，由題意可知，，，可得，又，可得，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，此時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，則，.因此，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.10、B【解題分析】

判斷各個選項中的函數(shù)和函數(shù)是否具有相同的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，從而得出結(jié)論．【題目詳解】由于函數(shù)yt，和函數(shù)具有相同的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系，故是同一個函數(shù)，故B滿足條件．由于函數(shù)y和函數(shù)的定義域不同，故不是同一個函數(shù)，故排除D．由于函數(shù),y|x|和函數(shù)的值域不同，故不是同一個函數(shù)，故排除A,C．故選：A．【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的三要素，只有兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域都相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

根據(jù)解得，所以.【題目詳解】因為，得，即.所以.故選【題目點撥】本題主要考查二項分布，同時考查了數(shù)學(xué)期望，熟記公式是解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.12、B【解題分析】

先將化為,再令,則問題轉(zhuǎn)化為:,然后通過導(dǎo)數(shù)求得的最大值代入可得.【題目詳解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,則問題轉(zhuǎn)化為:,因為,當時,;當時,,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以,所以.故選B.【題目點撥】本題考查了不等式能成立問題,屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7.【解題分析】試題分析：由函數(shù)y=f(x)的圖象在點M(2,f(2))處的切線方程是y=x+4，則f'(2)=1，且f(2)=2+4=6，所以考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．14、【解題分析】

點對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，求出圓心到原點的距離，最短距離要減去半徑即可得解.【題目詳解】解：復(fù)數(shù)滿足，點對應(yīng)的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，連接圓心與原點，長度是，最短距離要減去半徑故答案為：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，本題解題的關(guān)鍵是看出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在圓上，根據(jù)圓上到原點的最短距離得到要求的距離，屬于基礎(chǔ)題．15、4【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，將條件轉(zhuǎn)化為距離問題即可得到答案【題目詳解】設(shè)，由得所以即點是圓心為，半徑為1的圓上的動點，表示的是點與點的距離所以其最小值為點到圓心的距離減去半徑即故答案為：4【題目點撥】本題考查的是復(fù)數(shù)模的幾何意義，圓當中的最值問題一般向圓心進行轉(zhuǎn)化.16、1【解題分析】試題分析：，它除以5余數(shù)為1．考點：二項式定理，整除的知識．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；.(2)或.【解題分析】試題分析：（1）消去參數(shù)得到的普通方程為．利用可以把的極坐標方程化為直角坐標方程．（2）把的直角方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，利用點到直線的距離公式算出距離為，利用得到．因為直線與橢圓是相離的，所以或，分類討論就可以得到相應(yīng)的值．解析：（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，可得的普通方程為：．由曲線的極坐標方程得，∴曲線的直角坐標方程為．（2）設(shè)曲線上任意一點為，，則點到曲線的距離為．∵，∴，，當時，，即；當時，，即．∴或．點睛：一般地，如果圓錐曲線上的動點到直線的距離有最小值，那么這條直線和圓錐曲線的位置關(guān)系式相離的．18、（1）.（2）【解題分析】

（1）把三個不同的小球分別放入5個不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，即可求得答案.（2）因為3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，所以一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，即可求得答案.【題目詳解】（1）把3個不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，共有種結(jié)果，共有：方法．（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有種共有：放法．【題目點撥】本題的求解按照分步計數(shù)原理可先將球分組，選擇盒子，再將球排列到選定的盒子里，這種先選后排的方法是最常用的思路，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、（Ⅰ）或；（Ⅱ）是小于等于的所有實數(shù)值.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等比數(shù)列，列出等式，求出；（Ⅱ）根據(jù)所給的遞推公式，把，用表示，然后根據(jù)，，成等差數(shù)列，列出等式，求出；【題目詳解】（I）因為，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，①時，所以，得；②當，所以，得（舍）或綜合①②可知，或.（II）因為，所以，，因，，，成等差數(shù)列，而顯然，，成等差數(shù)列且公差為4，所以得，即，故即所求是小于等于的所有實數(shù)值.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，考查了絕對值的運算，考查了數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查了分類思想.20、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；（Ⅱ）采用建系法，以為原點建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，再由向量夾角的余弦公式求解即可；【題目詳解】（Ⅰ）由于平面，平面，則，由題意可知，且，由線面垂直的判定定理可得平面．（Ⅱ）以點為坐標原點，平面內(nèi)與垂直的直線為軸，，方向為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，易知：，，，，由可得點的坐標為，由可得，設(shè)平面的法向量為：，則，據(jù)此可得平面的一個法向量為：，很明顯平面的一個法向量